2023-2024学年广东省茂名市第一中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省茂名市第一中学高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据并集的定义计算．
【详解】，，
∴.
故选：D.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】通过举反例，结合不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，即可判定出结果.
【详解】若，，则满足，不满足；
由可得，不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】结论点睛：
判定充分条件与必要条件时，一般根据概念直接判断，有时也需要可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
3．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．
【详解】解：不等式可转化为，即，即，
所以不等式等价于解得：，
所以原不等式的解集是
故选：B
4．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x≥0B．x＜0或x＞2C．x∈{－1,3,5}D．x≤或x≥3
【答案】C
【分析】先解不等式2x2－5x－3≥0，然后再根据充分不必要条件判断．
【详解】2x2－5x－3≥0或，C是一个充分不必要条件．
故选：C．
5．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，解不等式即可求出答案.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，所以，
解得，
故实数的取值范围是．
故选：B．
6．已知，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，若，则，则，故A正确；
对于B，若，不等式两边同时乘以，则，故B正确；
对于C，，
因为，所以，
所以，即，故C错误；
对于D，因为，
因为，所以，，，故D正确.
故选：C.
7．集合 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合中元素满足的特征即可求解.
【详解】∵集合
∴，
，
∴，
故选：A
8．关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D． 或
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解，即可求解.
【详解】由可得；
若，则不等式解集为空集；
若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数，
则这两个整数为2、3，则；
若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数，
则这两个整数为；所以；
综上或，
故选：A
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）
A．命题，则命题的否定是
B．“”是“”的必要条件
C．命题“”的是真命题
D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】AD
【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件等逐项判断即可.
【详解】命题的否定是，故A正确；
不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；
当时，，故C错误；
关于x的方程有一正一负根，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故选：AD.
10．不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据二次函数图像与性质，以及二次不等式关系，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为不等式的解集是，
可得，且，所以，所以，
所以A、C正确，D错误．
因为二次函数的两个零点为，且图像开口向下，
所以当时，，所以B正确．
故选：ABC．
11．若，，且，则下列不等式恒成立的（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.
【详解】因为，，且，则，
当且仅当时，等号成立，所以，，A对；
，
当且仅当时，等号成立，B对；
，当且仅当时，等号成立，C错；
因为，则，故，
当且仅当时，等号成立，D对.
故选：ABD.
12．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.
【详解】由题设，的解集为，
∴，则，
∴，，则A、D正确；
原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，
∴由图知：，，故B错误，C正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.
三、填空题
13．“，不等式”的否定是 .
【答案】.
【分析】根据存在量词命题的否定形式书写即可.
【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，“，不等式”的否定是
“.”
故答案为：“.”
14．已知集合，且，则的值为 .
【答案】0
【分析】根据集合相等，列出关于m的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案.
【详解】因为，所以，解得或，
当时，，
而集合的元素具有互异性，故，所以，
故答案为：0
15．已知实数x，y满足，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，得，，得到，计算范围得到答案.
【详解】设，
故，解得，，，，
故，故.
故答案为：.
16．已知正数x，y，z满足，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】变化条件，利用基本不等式求解即可.
【详解】由条件得，则，
于是
当且仅当，且，即时取等号．
故答案为：
四、解答题
17．设全集，集合，.
（1）求及；
（2）求.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据集合的交并集运算求解即可；
（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.
【详解】解：（1）因为，，
所以，
（2）因为，所以，
所以.
18．（1）已知，求的最大值；
（2）设均为正数，且，求的最小值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据基本不等式即可求解，
（2）利用乘“1”法即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，.
故，
当且仅当，即x时取等号.
故的最大值为；
（2）因为均为正数，且，
则4，
当且仅当b且，即， 时取等号，
所以的最小值为4．
19．（1）已知集合，，若，求实数的取值范围．
（2）已知集合，，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）首先解分式不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，根据得到不等式组，解得即可；
（2）首先求出时参数的取值范围，从而得到时参数的取值范围.
【详解】（1）不等式可改写为，
即，等价于，解得，
所以，
由，即，
又，解得，所以
因为，
所以，解得，
所以实数的范围为；
（2）当时，
若时，则，即，
若时，则或，
解得或，
综上，当时，或，
故当时，实数的取值范围为．
五、应用题
20．某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）．
(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元
【分析】（1）根据，求出，从而可求出，再根据利润公式求函数关系式即可；
（2）根据（1）中结论，再结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得，∴，
所以每件产品的销售价格为（元），
∴2020年的利润；
（2）∵当时，，
∴，
当且仅当即时等号成立．
∴，
即万元时，（万元），
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
六、解答题
21．（1）求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的x的值.
（2）已知函数在上的最大值为4，求a的值.
【答案】（1）当，最小值；当，最大值为19；（2）或.
【分析】（1）化成顶点式，得到对称轴，根据二次函数性质即可得到最值；
（2）先求出对称轴，再分和讨论即可.
【详解】（1）把二次函数解析式配成顶点式, 得：
，
因为，所以抛物线开口方向向上，对称轴是，
所以顶点的纵坐标即为最小值，是，
而当时，函数值最大，
所以最大值是.
综上当，；当，.
（2）
其对称轴为，其图象开口向上，，
①当，即时，此时离对称轴更远，
当时有最大值，最大值为，
，解得；
②当，即时，此时离对称轴更远，
则当时函数有最大值，最大值为，
，解得.
综上所述的值为或.
22．己知函数，．
(1)恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，求不等式的解集；
(3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）将不等式化为；当时易知满足题意；当时，根据一元二次不等式恒成立问题的求法可求得结果；
（2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果；
（3）由基本不等式可求解得，根据题意，将题中条件转化为有两个不同正根，由二次函数根的分布列不等式组，由求解的取值范围.
【详解】（1）由得恒成立，恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
（2）当时，；
令，解得：，；
当，即时，恒成立，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（3）当时，令，
当且仅当时取等号，
依题意可得关于的方程有四个不等实根，
令，则转化为存在使得关于的方程，
即有两个不同正根，
则 ，由第二个与第三个不等式可得，
由知，存在使不等式成立，
把看成主元代入，故，即，
解得或，综合可得，
故实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④韦达定理；⑤端点函数值符号四个方面分析．