2023-2024学年河南省洛阳市第一高级中学高一上学期期中达标数学测评卷（B卷）含答案

这是一份2023-2024学年河南省洛阳市第一高级中学高一上学期期中达标数学测评卷（B卷）含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，应用题，证明题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知函数，则的值为（ ）
A．3B．0C．D．
【答案】D
【分析】先求，进而求出.
【详解】由题意得，，则.
故选：D.
2．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得出，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为命题“，”为假命题，则，解得.
故选：B.
3．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】讨论和，求得集合，再由新定义，得到的方程，即可解得的值．
【详解】解：集合，，
，，
若，则，
即有；
若，可得，，
不满足；
若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集，
可得或，解得或．
综上可得，或或2.
故选：A.
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
【分析】取特殊值可判断ACD，根据不等式的性质，分类讨论可判断B.
【详解】取，则，故A错误；
若，因为，所以，若，因为，所以，
所以，综上，时，成立，故B正确；
取，则，故C错误；
取，则，故D错误.
故选：B
5．若函数与图象关于对称，且，则必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】求出函数的解析式，利用求出函数的图象所过的定点坐标，然后利用两函数图象的对称关系可求出函数所过定点的坐标.
【详解】，，，
所以，函数的图象过定点，
又函数与图象关于对称，因此，函数必过定点.
故选：D.
【点睛】本题考查函数图象所过定点坐标的计算，在解题时要熟悉指数、对数以及幂函数所过定点的坐标，考查计算能力，属于基础题.
6．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值为（ ）
A．1B．C．或1D．或
【答案】B
【分析】利用定义法进行判断.
【详解】把代入，得：，解得：或.
当时，可化为：，解得：，此时“”是“”的充要条件，应舍去；
当时，可化为：，解得：或，此时“”是“”的充分不必要条件.
故.
故选：B
7．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的解集为，得不等式的解集为．从而得到实数的取值范围.
【详解】因为关于的不等式的解集为，所以关于的不等式的解集为．
当，即时，，解集为成立；
当，即时，，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
故选:C．
8．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．
【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．

【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
二、多选题
9．对于集合，，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若是高一（1）班全体同学组成的集合，是高一（1）班全体女同学组成的集合，则
D．若，则2一定是集合中的元素
【答案】AC
【分析】根据所给定义判断A、C正确；选项BD可以通过举反例来证明错误.
【详解】对于A：或，又，
所以，故A正确；
对于B：令，，则，显然，故B错误；
对于C：表示高一（1）班全体同学中去除全体女同学后剩下的全体同学的集合，
即为高一（1）班全体男同学的集合，则必有，故C正确；
对于D：令，，则，，此时，故D错误；
故选：AC
10．已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）
A．为偶函数B．为增函数
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质可判断ABC，利用，作差可判断D.
【详解】将点代入函数得：，则，
所以，
∴的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确；
函数在定义域上为增函数，所以B正确；
当时，，即，所以C正确；
若时，
=
=.
即成立，所以D正确.
故选：BCD.
11．已知正数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是1
B．的最小值是2
C．的最小值是4
D．的最小值是
【答案】ABD
【解析】多项选择题需要对选项一一验证；用均值不等式判断A，对B、D进行“1的代换”，对C取特殊值进行验证.
【详解】由，得，所以(当且仅当时取等号)，故A正确；(当且仅当时取等号)故B正确；
∵，∴(当且仅当时取等号)，故C错误；(当且仅当时取等号)，故D正确.
故选ABD.
【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
①“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
12．某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（ ）
A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为
B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元
C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为
D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用
【答案】ABC
【分析】直接根据函数图像求得函数解析式，进而分析各个选项.
【详解】根据图像甲厂的费用与礼品数量满足的函数为一次函数，且过（0,1），（8,5）两点，所以甲厂的费用与礼品数量满足的函数关系为，故A正确；
当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为，所以乙厂的加工费平均每个为元，故B正确；
易知当时，与之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式为，故C正确；
当时，，，因为，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确.
故选：ABC.
三、填空题
13．已知：，：，若是的必要不充分条件，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由命题的否定及必要不充分条件的性质可转换条件为或或，即可得解.
【详解】由题意，：或，：或，
因为是的必要不充分条件，
所以或或，
所以且等号不同时成立，解得.
故答案为：.
14．设函数，当时，恒成立，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】由已知可得，分、、三种情况讨论，结合可得出的取值范围，综合即可得解.
【详解】，
当时，，可得；
当时，，可得，；
当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
则，.
故的最大值是.
故答案为：.
15．已知，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先将表示为，再结合不等式的性质即可求解.
【详解】设，
则，∴
即，
又∵，，
∴，，
∴，
即 ，
∴的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题考查不等式的性质，考查运算能力，是基础题.
16．已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】由题意可得，则函数在R上为减函数，
又函数是R上的奇函数，可得，从而列不等式组求解即可得答案.
【详解】解：因为函数对任意给定的实数，，恒成立，即，
所以函数在R上为减函数，
又函数是R上的奇函数，所以，
则不等式，可得或
即或，解得，
所以原不等式的解集为.
四、应用题
17．一个服装厂生产风衣，月销售量x（件）与售价p（元/件）之间的关系为，生产x件的成本（元）（假设生产的风衣可以全部售出）.
(1)当该厂月产量多大时，月利润不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)当月产量在20到45件之间（含20件和45件）时，月获利不少于1300元
(2)当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元
【分析】（1）设该厂月获利为元，则，解不等式可得答案；
（2）由（1）知，利用配方法求的最大值即可.
【详解】（1）设该厂月获利为，则由题意得，
由，得，
所以，，解得，
所以当月产量在20到45件之间（含20件和45件）时，月获利不少于1300元.
（2）由（1）知，
因为为正整数，
所以或33时，取得最大值为1612元，
所以当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.
五、证明题
18．若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”．
(1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由．
(2)设集合A是“好集”，求证：若，则．
(3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由．
【答案】(1)有理数集Q是“好集”，集合B不是“好集”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)命题“若，则”为真命题，理由见解析
【分析】利用“好集”的定义，结合元素与集合的关系解决即可.
【详解】（1）集合B不是“好集”，理由如下：
因为，，，
所以集合B不是“好集”．
有理数集Q是“好集”，理由如下：
因为，，对任意，，都有，且时，，
所以有理数集Q是“好集”．
（2）因为集合A是“好集”，所以．
若，则，即，
所以，即，命题得证．
（3）命题“若，则”为真命题，理由如下：
当x，y中有0或1时，显然有．
当x，y中不存在0，1时，由“好集”的定义得，，，
所以，所以．
所以由（2）可得，同理得，
当或时，显然有．
当或时，显然有，
所以，所以，
由（2）得，所以．
综上得时，．
六、解答题
19．设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝xcm，DP＝ycm．

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求△ADP的最大面积及相应x的值．
【答案】(1)
(2)最大面积为，
【分析】（1）设AB＝x，则，进而，结合勾股定理计算即可求解；
（2）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）设AB＝x，则，
∵AB＞AD，
∴x＞12﹣x，解得x＞6，
∴6＜x＜12，
由题意可知，，
则，
在△ADP中，由勾股定理可得，，
故，
故y与x之间的函数关系式为．
（2）,
当且仅当即时，等号成立，
故当时，△ADP的最大面积为．
20．定义域在R的单调函数满足恒等式，且.
(1)求，；
(2)判断函数的奇偶性，并证明；
(3)若对于任意都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)函数是奇函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）取代入函数满足的等式，整理可得，再令，根据，可算出；
（2）令，可得，即，可得函数为奇函数；
（3）根据函数是单调函数且，得是定义域在上的增函数，再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出的取值范围.
【详解】（1）令可得，令∴∴∴；
（2）令∴∴，即
∴函数是奇函数.
（3）是奇函数，且在时恒成立，
∴在时恒成立，
又∵是定义域在R的单调函数，且∴是R上的增函数，∴即在时恒成立，∴在时恒成立.令，
∵∴.由抛物线图象可得∴，则实数的取值范围为.