2023-2024学年河南省南阳六校高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省南阳六校高一上学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，问答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合交集及补集定义计算即可.
【详解】 由题意可得，所以．
故选：C.
2．已知，则下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．且B．且C．且D．且
【答案】B
【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合特例法与不等式的性质求解即可
【详解】因为且不能推出，所以且不是的充分条件，A错；
因为且不能推出，所以且不是的充分条件，C错；
因为且不能推出，所以且不是的充分条件，D错；
对于B，由且可得，充分性成立，若不能推出且，例如时，满足，而且，必要性不成立，所以且是成立的一个充分不必要条件，B符合题意．
故选：B.
3．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得且，将化为求解即可.
【详解】由于关于的不等式的解集是，
所以则有且，
所以等价于，
解得，即不等式的解集为．
故选：D.
4．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由是幂函数且在上单调递增，求出的值，代入中，结合指数函数图象所过的定点，求图象过的定点.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或．
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故，此时，当时，，即的图象过定点．
故选：A
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由函数的定义域为求出的定义域，再结合可得答案
【详解】要使函数有意义，
则故或，
所以的定义域为．
故选：C.
6．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简可得，进而可得答案.
【详解】因为，
所以．
故选：A.
7．已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在区间和上单调递减
B．是偶函数，且在区间上单调递减
C．是奇函数，且在区间上单调递减
D．是奇函数，且在区间和上单调递减
【答案】D
【分析】利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，画出图象判断函数的单调性，从而可得答案.
【详解】对于BC，，而，所以在区间上不单调，BC错误；
因为的定义域为R，关于原点对称，
又，所以函数为奇函数，A错误；
由题意得，画出函数的大致图象，如图，
观察图象可知，单调递减区间是，D正确.
故选：D.
8．已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先判断奇偶性，再根据单调性求解不等式.
【详解】易知函数的定义域为，且为偶函数．
当时，，易知此时单调递增，
所以，
所以，解得或，
故选：C
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式性质逐个判断即可.
【详解】对于A：由，得，则，A正确；
对于B：由两边同时乘以，不等号反向，得，B正确；
对于C：由两边同时除以，得，C不正确；
对于D：由可得，同除以，可得，D正确，
故选：ABD
10．下列各组中两个函数是同一函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】BC
【分析】根据两个函数的定义域与对应法则是否都相同，分别判断即可.
【详解】和定义域不相同，不是同一函数，A不符合题意；
和定义域相同，对应法则相同，是同一函数，B符合题意；
和定义域都是R，对应法则相同，是同一函数，C符合题意；
和定义域不相同，不是同一函数，D不符合题意；
故选：BC.
11．若函数的图象上存在不同的两点到直线的距离均为1，则的解析式可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】分别作出指数函数，以及选项中的函数图象，逐项分析，即可求解.
【详解】分别作出指数函数和，，和相应的图象，如图所示：
对于A中，函数的图象上存在两点与到直线的距离均为1，所以A正确；
对于B中，函数的图象在直线上方的部分仅存在一点到直线的距离为1，
在直线下方的部分满足，到直线的距离均小于1，
故不存在符合条件的两点，所以B错误；
对于C中，因为，故其图象上所有点到直线的距离均大于1，所以C错误；
对于D中，由点作直线的垂线，垂足为，
在等腰直角中，可得点直线的距离为，
由指数函数的图象知，在点的两边各存在一点到直线的距离为1，所以D正确．
故选：AD.
12．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】对于AC：根据指数幂运算求解；对于B：利用基本不等式运算求解；对于D：根据对数运算结合选项B中结论分析求解.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：因为，则，即，
可得，即，所以，故A正确；
对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立，
又因为，则，解得，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，所以，故C错误；
对于选项D：设，则，所以，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题
13．已知集合，则中元素的个数为 ．
【答案】4
【分析】由两个集合中元素的特征可知，是满足的自然数对，列举即可.
【详解】因为，所以满足的自然数对有，
即中的元素有4个．
故答案为：4
14．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】
【分析】构造新函数，先求新函数的最大值与最小值之和，再求的最大值与最小值之和.
【详解】设函数，则的最大值为，最小值为，
易知是奇函数，所以，所以，
故答案为：
15．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先分离常数，再根据分式函数单调性求参数.
【详解】函数，由时，单调递减，
得，解得，
故答案为：
16．已知函数，则满足的的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分、、三种情况解不等式，综合可得出所求满足条件的的取值范围.
【详解】由题意知，当时，，则恒成立；
当时，则，则恒成立；
当时，则，则，
解得，所以．
综上，的取值范围是．
故答案为：.
四、计算题
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)100
(2)12
【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解；
（2）根据对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）原式；
（2）原式
．
18．已知集合．
(1)若，求；
(2)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出和集合，进而求出；
（2）根据真子集，即可列不等式求解.
【详解】（1）由得，故，
由得，
因为，故，
若，则，所以；
（2）若是成立的充分不必要条件，则，
则有解得，此时满足，
所以的取值范围是．
五、问答题
19．已知函数且的图象经过点．
(1)求的值；
(2)比较与的大小；
(3)求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接代入即可求出值；
（2）根据指数函数单调性即可比较大小；
（3）求出，再根据指数函数值域即可得到答案.
【详解】（1）因为的图象经过点，
所以，又且，所以．
（2）因为，所以在上单调递增．
又因为，所以，
所以．
（3）当时，，则，
所以，即，
所以的值域为．
20．（1）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）讨论三种情况，，，，结合判别式的符号，可求实数的取值范围；
（2）等价于，结合二次函数的性质可求实数的取值范围．
【详解】（1）当时，显然，满足题意；
若，因为，
所以恒成立，满足题意；
若，则需，解得．
综上，实数的取值范围是．
（2）由题可知，当时，恒成立．
因为，
所以等价于．
在区间上的最大值为，
所以，在区间上的最小值为，
所以只需即可，
所以实数的取值范围是．
六、应用题
21．近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资200万元，每个城市都至少要投资70万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足，在乙城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足．
(1)当在甲城市投资125万元时，求该公司的总收益；
(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
【答案】(1)（万元）
(2)当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大
【分析】（1）把已知数据代入收益的算式中，计算即可；
（2）设在甲城市投资万元，表示出总收益，通过换元，利用二次函数的性质求最大值成立的条件.
【详解】（1）当在甲城市投资125万元时，在乙城市投资75万元，
所以总收益为（万元）．
（2）设在甲城市投资万元，则在乙城市投资万元，
总收益为，
依题意得解得．
故．
令，则，
所以，
因为该二次函数的图象开口向下，且对称轴，
所以当，即时，取得最大值65，
所以当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大，且最大总收益为65万元．
七、证明题
22．已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)判断的单调性并用定义证明；
(3)若当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)函数在上是增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，结合和，求得的值；
（2）化简函数，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解；
（3）根据题意，把不等式转化为任意， 成立，设，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为在定义域上是奇函数，所以，即，所以．
又由，即，解得，
经检验，当时，函数，满足，原函数是奇函数，
所以．
（2）解：函数在上是增函数.
证明如下：
由（I）知，在上是增函数．
证明：任取，设，
则
，
因为，所以，又因为，所以，
即，所以函数在上是增函数．
（3）解：因为是奇函数，
所以不等式等价于，
又因为在上是增函数，所以，
即对任意，都有成立．
设，令，则有，
所以，
所以，即的取值范围为．