2023-2024学年重庆市田家炳中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市田家炳中学高一上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题，问答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合M＝{－1，1，2}，集合N＝{y|y＝x2，x∈M}，则M∩N＝（ ）
A．{1，2，4}B．{1}
C．{1，2}D．{4}
【答案】B
【分析】根据题意，求得集合，再求集合交集即可.
【详解】∵M＝{－1，1，2}，x∈M，
∴x＝－1或1或2.
由y＝x2得y＝1或4，
∴N＝{1，4}．
∴M∩N＝{1}．
故选：.
【点睛】本题考查集合交集得运算，属简单题.
2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．，
B．，
C． ，
D．，
【答案】C
【分析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
3．已知函数若，则实数（ ）
A．－5B．5C．－6D．6
【答案】A
【分析】先求，再由列方程求解即可.
【详解】由题意可得，
因为，即，
所以，得，
故选：A
4．若，下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】若，
对于A，，所以，故A不成立；
对于B，，所以，故B不成立；
对于C，因为，，，故C成立；
对于D，由，所以，即，故D成立.
故选：C.
5．若，是两个实数，且，有如下三个式子：① ，②，③ .其中恒成立的有.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】利用作差法以及举例的方法证明每个不等式是否恒成立.
【详解】①
不恒成立；
②恒成立；
③当时，，所以不恒成立.故选B.
【点睛】本题考查不等式的证明，难度一般.利用作差法证明不等式时，可通过因式分解的方式然后判断与的大小关系得出结果.
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，
由，，故C错误，
故选：A.
7．已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】由已知判断出函数的单调性，结合奇偶性可得，再解不等式可得答案.
【详解】函数是定义在上的偶函数，所以，
对于任意不等实数，不等式恒成立，
所以在上单调递减，
所以，解得.
故选：C.
8．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数解析式判断的单调性、奇偶性，结合已知条件可得，进而有，应用基本不等式求最值即可.
【详解】由解析式易知在定义域上单调递增，且为奇函数即，
∵，
∴，则，且，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故选：D
二、多选题
9．下列关系中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据元素与集合的关系及集合与集合的包含关系即可求解.
【详解】解：对A：，故选项A错误；
对B：，故选项B正确；
对C：，故选项C正确；
对D：，故选项D正确.
故选：BCD.
10．已知正数a，b满足，则（ ）
A．ab的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为4D．的最小值为2
【答案】AB
【分析】由利用基本不等式求ab的最大值，再求的最小值，由利用基本不等式求其最小值，再求的最小值.
【详解】∵ a，b为正实数，
∴ ，当且仅当时等号成立，又，
∴ ，当且仅当，时等号成立，
∴ ab的最大值为，A对，
时取等号 ，因为,
∴ ,其 最小值不是2，D错，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
又，
∴ ，当且仅当，时等号成立，
∴的最小值为， B对，
∵ ，
∴ ，当且仅当，时等号成立，
∴ 的最小值为8，C错，
故选：AB.
11．下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】对于ACD项，根据充分条件和必要条件的定义，结合集合的包含关系进行判断即可．
对于B项，根据存在量词命题的否定形式可判断.
【详解】A.若“”，则或
“”是“”的充分不必要条件.
B.根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知，B正确.
C.设，若“且”，则“”
若，不一定有且，比如也可
“且”是“”的充分不必要条件.
D. 若，不一定有
若，则一定有
“”是“”的必要不充分条件.
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试，
12．设函数，（），则下列说法正确的有（ ）
A．函数的单调递减区间为
B．若函数为偶函数，则
C．若函数定义域为，则
D．，，使得，则
【答案】BCD
【分析】对A求得定义域，根据复合函数“同增异减”判断即可；对B，的多项式为偶函数，奇此项为0；对C， 在上恒成立，计算；对D，计算，然后使用分离参数计算即可.
【详解】对A，令或，
所以函数的定义域为，且在单调递减
所以函数的单调递减区间为，故A错；
对B，，由该函数为偶函数，
故，故B正确；
对C，等价于在上恒成立，
所以，所以，故C正确；
对D，，，依题意等价于，
即，，即所以，故D正确；
故选：BCD
三、双空题
13．已知，，则的取值范围为 ，的取值范围为 .
【答案】
【分析】先由得，再由同向不等式的可加性可得的取值范围，再由的范围，求得的范围，再利用同向不等式的可乘性，即可求得 的取值范围.
【详解】解：由得.又因为，所以.
由得.又因为，所以.
【点睛】本题考查了同向不等式的可加性及可乘性，属基础题.
四、填空题
14．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数有意义及抽象函数定义域的求法求解即可.
【详解】由题意，得，
解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
15．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值为 .
【答案】
【分析】根据基本不等式，求出的最小值，根据题意，得到，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
因为关于的不等式在上恒成立，
即，所以，即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由基本不等式研究不等式恒成立的问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型.
16．若对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由可得函数为增函数，再由分段函数递增，则各段递增、整体递增即可求解.
【详解】依题意，得函数是上的增函数，则有
，解得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
五、解答题
17．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得集合，然后求得.
（2）根据是的真子集求得的取值范围.
【详解】（1）或，
所以，，
当时，，
所以.
（2）若是的充分不必要条件，
则是的真子集，
所以，所以的取值范围是.
18．已知函数是定义在上的奇函数，且，
（1）求实数m，n的值
（2）用定义证明在上是增函数．
【答案】（1），（2）证明见解析
【分析】(1)奇函数在原点有定义时，，从而可求得，而由可求出m；
(2)根据增函数的定义，设，，且，通过作差的方法证明即可．
【详解】(1)为上的奇函数，
，，
，；
(2)；
设，，且，则：
，，且；
，；
，即；
在上是增函数．
【点睛】本题考查奇函数的定义，以及根据增函数的定义证明函数为增函数的方法与过程．属于一般题．
六、问答题
19．若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)当的解集为时，求b的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得和1是方程的两个根，从而求得的值，进而解不等式即可，
（2）由（1）可知的解集为，从而分类讨论，结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为的解集是，
所以和1是方程的两个根，且，即，
所以，解得，
所以不等式化为，
即，解得或，
所以不等式的解集为.
（2）因为的解集为，
由（1）可知的解集为，
当，即时，
若，不等式可化为，显然满足题意；
若，不等式可化为，显然解集不为，不满足题意；
当时，则有，解得；
综上：，所以的取值范围为.
七、解答题
20．已知定义在上的函数满足：.
(1)求函数的表达式；
(2)若函数在区间上最小值为，求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题可知函数满足①，将①式中换成可得②式，联立①②，即可求出函数的表达式；
（2）由（1）可求出，根据二次函数的图象与性质易知开口向上且关于对称，结合题目条件，分类讨论当，，三种情况下的函数在区间上的单调性，进而求得的最小值，从而可得实数的值.
【详解】（1）解：根据题意，可知函数满足：①，
将①式中换成可得②式：
即：②，
联立①②得，
解得：，
所以函数的表达式为.
（2）解：由（1）可得，
而在区间上最小值为，
，易知二次函数开口向上且关于对称，
当，即时，在区间上单调递增，
则，解得：，满足题意，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则 ，解得：或（舍去），
当，即时，在区间上单调递减，
则，解得：（舍去），
所以综上得：.
八、应用题
21．今年前8个月，我国光伏新增装机达到4447万千瓦，同比增长2241万千瓦．某公司生产光伏发电机的全年固定成本为1000万元，每生产x（单位：百台）发电机组需增加投入y（单位：万元），其中，该光伏发电机年产量最大为10000台．每台发电机的售价为16000元，全年内生产的发电机当年能全部售完．
(1)将利润P（单位：万元）表示为年产量x（单位：百台）的函数；
(2)当年产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入=总成本+利润）．
【答案】(1)
(2)当年产量为3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元
【分析】（1）根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可；
（2）根据二次函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）当时，；
当时，，
所以.
（2）当时，，
所以当时，；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，即.
因为，
所以当年产量为3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元.
九、问答题
22．已知
(1)求函数的解析式；
(2)若是定义在上的奇函数，且时，，求函数的解析式；
(3)，若不等式恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用凑配法，求函数的解析式；
（2）设，则，再利用函数的奇函数，求函数的解析式；
（3）利用的性质推得恒成立，再分类讨论的取值情况，结合基本不等式即可得解..
【详解】（1）因为，
令，，所以，
则函数的解析式为.
（2）当时，，
又为上的奇函数.
所以当时，，
故函数的解析式为.
（3）由，可得，
又由幂函数的性质可知在上单调递减，
所以，即，
因为，
当时，不等式可化为，即，显然恒成立，
当时，则，故，
令，则，，
所以恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即t的取值范围为.