2023-2024学年江西省宁冈中学高一上学期11月期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省宁冈中学高一上学期11月期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，作图题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，若，则集合B可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项错误.
B选项，，B选项正确.
C选项，，C选项错误.
D选项，，D选项错误.
故选：B
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，
所以其否定为“，”．
故选：B．
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据被开方数大于等于零列不等式，解不等式可得到函数的定义域.
【详解】因为，
所以，
解得,
所以函数的定义域为.
故选：B
4．下列函数中，在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本初等函数的单调性进行判断，对四个选项逐一分析判断即可.
【详解】对选项A，因为在上单调递减，故选项A错误；
对选项B，因为在上单调递减，故选项B错误；
对选项C，因为在上单调递减，故选项C错误；
对选项D，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增.
故选：D.
5．已知，则x等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由指数幂与根式的关系，结合对应根次数确定根即可.
【详解】因为7为奇数，8的7次方根只有一个，为．
故选：B
6．若为奇函数，则（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】D
【分析】由奇函数性质求参数，再由奇偶性定义验证即可.
【详解】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数，
所以，
故，
由，为奇函数，满足题设.
所以.
故选：D
7．设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则是上的增函数，再利用复合函数的单调性求解.
【详解】解：设，对称轴为，
∵是上的增函数，
∴要使在区间单调递减，
则在区间单调递减，
即，
故实数a的取值范围是．
故选：A．
8．已知则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指对互化可得，再利用基本不等式与换底公式可得与，从而利用指数函数的单调性即可得解．
【详解】因为，所以，
因为，
所以，则，
所以；
因为，
所以，则，
所以；
综上，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握，从而得到与，由此得解.
二、多选题
9．下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】ABD
【分析】根据指数式与对数式的互化公式且可得答案.
【详解】根据指数式与对数式的互化公式且可知，ABD正确；
对于C，，故C错误.
故选：ABD
10．下列函数中，不是指数函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据指数函数的定义即可判断．
【详解】对于A，中底数，指数是自变量，指数式的系数为，所以是指数函数，故A不合题意；
对于B，中指数不是自变量，所以不是指数函数，故B符合题意；
对于C，中底数必须满足且时，才是指数函数，故C符合题意；
对于D，中指数式的系数不为1，所以不是指数函数，故D符合题意，
故选：BCD．
11．下列各图中，可能是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的概念即可求解
【详解】对于B选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，故B错误，
其他选项均满足函数的概念，是函数的图象.
故选：ACD.
12．设，用表示不超过的最大整数，称为高斯函数，也叫取整函数.如.设，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．函数的图象关于原点对称
C．
D．函数的值域为
【答案】AD
【分析】对于A，直接计算即可判断正确；对于B，举出反例即可判断错误；对于C，不失一般性，不妨设，结合的定义即可判断错误；对于D，由C可知是周期为1的周期函数，故只需求出在内的值域即可判断正确.
【详解】对于A，因为，所以，故A选项正确；
对于B，因为，，
所以，即函数的图象不关于原点对称，故B选项错误；
对于C，因为，使得，此时有，
所以，，故C选项错误；
对于D，由C选项分析可知，总有，即是周期为1的周期函数，
不妨设，则此时有，因此函数的值域为，故D选项正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：对于A、B两个选项的判断比较常规，而判断C选项的关键是发现，使得，从而结合的定义即可判断，判断D选项的关键是利用C选项的结论，即是周期为1的周期函数，故只需求出在内的值域即可，这一类题目是新定义题目，我们只需读懂定义，结合所学知识并严格按照新定义来求解即可.
三、填空题
13．计算：＝ .
【答案】44
【分析】利用分数指数幂运算法则计算出答案.
【详解】.
故答案是：44.
14．在中，实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】由负分数指数幂化为根式，根据偶次根式有意义求出参数的范围.
【详解】，故，
解得，故实数a的取值范围是.
故答案为：
15．已知，，求 ．
【答案】2
【分析】利用对数的换底公式，结合对数的运算求解即可.
【详解】解：由，，
可得
，
故答案为：
16．设定义域为R的函数，且，则x的值所组成的集合为 .
【答案】
【分析】首先换元，令求出的范围，从而对进行分类讨论求方程的根即可.
【详解】令，
当时，有单调递增，
所以此时，
当时，有，
当时，有单调递增，
所以此时，
综上所述，
将方程转化成，
由以上分析可知当且仅当，或时，，
即当且仅当或，
由以上分析可知：
当时， 有，此时方程无解，
当时，有，此时存在使得恒有解，即此时的解集为，
当时，有，所以，
又，所以.
综上所述：满足题意的x的值所组成的集合为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是换元，令求出的范围，从而分类讨论即可顺利求解.
四、解答题
17．计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）1（2）3
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，即可求得本题答案；
（2）根据对数的运算法则，即可求得本题答案.
【详解】（1）原式;
（2）原式 .
18．求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）求出所有函数值即可得值域；
（2）根据二次函数的性质即可得值域.
【详解】（1）因为
所以，
所以的值域为；
（2）因为，
所以的值域为.
19．已知命题，；命题，.
(1)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)或
(2)或或
【分析】（1）根据判别式即可求解,
（2）分别求解为真命题时的范围，即可分两种情况求解.
【详解】（1）由题意可知，得或
（2）命题p为真命题时，
若时，显然满足，
当时，则，解得，
综上可得p为真命题时，；
当命题p真q假时，，解得；
当命题p假q真时，得或
所以当命题p，q中恰有一个为真命题时，实数m的取值范围为或或.
20．（1）已知，求函数的解析式.
（2）已知函数满足，求函数的解析式.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用换元法或配凑法运算即可得解.
（2）利用方程组法运算即可得解.
【详解】（1）解法一（换元法）：令, 则，
则有，
所以函数的解析式为.
解法二（配凑法）：.
因为，所以函数的解析式为.
注：未写范围扣2分.
（2）解：因为 ①
所以 ②
联立①②式消去可解得：.
五、作图题
21．已知函数是指数函数，且它的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)求，，；
(3)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式．
【答案】(1)
(2)，，
(3)作图见解析，．
【分析】设函数，且，把点代入即可求得的值，进而可得函数的解析式．
根据函数的解析式求得、、的值．
画出指数函数的图象，由不等式，可得，由此解得的范围．
【详解】（1）设函数，且，
把点代入可得，求得，
所以函数的解析式为．
（2）由（1）可知，所以，，．
（3）画出指数函数的图象如下图所示：

所以函数在上单调递增；
由不等式，
可得，解得，
故不等式的解集为．
六、解答题
22．已知函数的图象过点，．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数区间上单调递减，求实数的取值范围；
(3)设，若对于任意，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）根据函数过点代入求出的值，即可得解；
（2）根据复合函数的单调性可知函数在上单调递减且大于零恒成立，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可；
（3）首先求出，再求出，依题意可得，即，设，利用单调性的定义证明的单调性，从而得到，结合单调性，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为函数的图象过点，
所以，所以，
所以.
（2）由于，所以在上单调递增，
函数在区间上单调递减，
由复合函数单调性可知，函数在上单调递减且大于零恒成立，
则，解得，∴实数的取值范围.
（3）因为且，所以且，
因为，对称轴方程为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则的最大值是或．
因为
，即．
所以，
若，只需，
即，则，
设，
任取，且，
则
，
因为，所以，，
，即，所以，
所以，即，
所以在区间上单调递增，且，
所以，即，
所以，即的取值范围是．
【点睛】关键点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立⇔；
（2）恒成立⇔.