2023-2024学年辽宁省大连市第二十四中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市第二十四中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共30页。试卷主要包含了 函数的图像为， 设函数，若奇函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1. 请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.
2. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若全集，集合，，则（ ）
A. B.
C D.
2. 命题“，”否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
4. “，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数的图像为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知是定义在上的函数，，则“为增函数”是“为增函数”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
7. “若，恒成立”是真命题，则实数可能取值是（ ）
A. B. C. 4D. 5
8. 设函数，若奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A.
B. ，
C.
D.
10. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数是定义在上增函数，且其图像是连续不断的曲线.若，（，），那么对上述常数，下列选项正确的是（ ）
A. 一定存在，使得
B. 一定存在，使得
C. 不一定存在，使得
D. 不一定存在，使得
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 为奇函数
B. 值域为
C. 若，且，则
D. 当时，恒有成立
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设，，若，则实数的值为______.
14. 若函数在上为单调函数，则实数的取值范围为_______.
15. 已知正数满足，则的最小值为____________.
16. 若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为_________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集为，．
（1）求集合；
（2）设不等式的解集为，若且“”是“”的充分不必要条件，试求实数的取值范围.
18 设．
（1）若不等式有实数解，试求实数的取值范围；
（2）当时，试解关于的不等式.
19. 已知函数.
（1）若，判断的奇偶性并加以证明.
（2）若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围.
20. 已知函数，，
（1）若的解集为，求a的值；
（2）试问是否存在实数，使得对于时，不等式恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数，.
（1）若函数在上为偶函数，试求实数的值；
（2）在（1）的条件下，当的定义域为时，解答以下两个问题：
①判断函数在定义域上的单调性并加以证明；
②若，试求实数的取值范围.
22. 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有.
（1）判断并证明区间是否为函数的“美好区间”；
（2）若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围；
（3）已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”.
2023-2024学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷
命题人：张军 校对人：沙绿洲
注意事项：
1. 请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.
2. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定，再计算交集得到答案.
【详解】，，故.
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题“，”为全称量词命题，
其否定为：，.
故选：B
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由的定义域求出，再令，解得即可.
【详解】函数的定义域为，即，所以，
令，解得，所以函数的定义域为.
故选：A
4. “，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出不等式恒成立时参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】因为对，关于的不等式恒成立，
当时恒成立，符合题意；
当时，，解得；
综上可得.
因为，
所以“，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件可以是.
故选：B
5. 函数的图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
6. 已知是定义在上的函数，，则“为增函数”是“为增函数”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】取特殊函数分别按照充分和必要条件判断即可.
【详解】取，则在不单调；
取单调递增，但单调递减，
故“为增函数”是“为增函数”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
7. “若，恒成立”是真命题，则实数可能取值是（ ）
A. B. C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由题得到恒成立，求出即可得到答案.
【详解】，，即恒成立，
，当且仅当，即时等号成立，故.
对比选项知A满足.
故选：A
8. 设函数，若是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先得到的解析式，再根据为奇函数求出参数的值，即可得到的解析式，最后代入计算可得.
【详解】因为，所以
，
因为是奇函数，
所以，即，又，
所以，解得，
所以，
所以.
故选：C
二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A.
B. ，
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过函数的定义域，对应法则是否一致进行判断.
【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
对于B，因为时，；时，；所以表示同一函数；
对于C，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
对于D，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
故选：ACD.
10. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式性质确定且，再依次判断每个选项得到答案.
【详解】不等式的解集为，故且，即，
对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，错误；
故选：AC
11. 已知函数是定义在上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若，（，），那么对上述常数，下列选项正确的是（ ）
A. 一定存在，使得
B. 一定存在，使得
C. 不一定存在，使得
D. 不一定存在，使得
【答案】AB
【解析】
【分析】取，构造函数，确定函数单调递增，根据零点存在定理得到存在使得，再依次判断每个选项得到答案.
【详解】函数是定义在上的增函数，故，
对任意值，，考虑，函数单调递增，
则，，
故存在使得，即，
对选项A：，存在，使得，正确；
对选项B：，存在，使得，正确；
对选项C：，存在，使得，错误；
对选项D：，存，使得，错误；
故选：AB.
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 为奇函数
B. 值域为
C. 若，且，则
D. 当时，恒有成立
【答案】AC
【解析】
【分析】应用奇偶性定义判断A；在上，令研究其单调性和值域，再判断的区间单调性和值域判断B；利用解析式推出，根据已知得到，再应用基本不等式判断C；特殊值法，将代入判断D.
【详解】由解析式知：函数定义域为，且，
所以为奇函数，A对；
当时，令，当且仅当时等号成立，
由对勾函数性质知：在上递减，在上递增，且值域为，
而在上递增，故在上递减，在上递增，且，
由奇函数的对称性知：在上递增，在上递减，且，
所以值域为，B错；
由，若且，
所以，故，当且仅当时等号成立，
而时，故等号不成立，所以，C对；
由，即时，D错；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：对于C选项，根据解析式推导出，进而得到为关键.
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设，，若，则实数的值为______.
【答案】或
【解析】
【分析】依题意可得，分和两种情况讨论.
【详解】因为，
又，所以，
当时，符合题意；
当，则，解得，
综上可得或.
故答案为：或
14. 若函数在上为单调函数，则实数的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】确定函数单调递增，得到且，解得答案.
【详解】在上为单调函数，，为单调递增函数，
故，单调递增，，
且，即，故.
故答案为：
15. 已知正数满足，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】令，则且，即可得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值.
【详解】因为，，令，则且，
因为，所以，
所以，即，所以，
又，当且仅当，即时取等号，
所以或（舍去），
所以的最小值为，当且仅当、时取等号.
故答案为：
16. 若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为_________.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】不妨设，则，
由，得，则，
构造函数，则，，
所以函数在上单调递减，
因为为偶函数，所以，
则，
所以函数为偶函数，且函数的定义域为，
由，得，即，
所以，解得且，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集为，．
（1）求集合；
（2）设不等式的解集为，若且“”是“”的充分不必要条件，试求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，再解一元二次不等式即可；
（2）依题意可得的解集非空且是的真子集，设，即可得到，解得即可.
【小问1详解】
由，得，
由，得，解得，
故.
【小问2详解】
因为且“”是“”的充分不必要条件，
所以的解集非空且是的真子集，
设，
则，即，解得或，
当时不等式的解集为，符合题意；
当时不等式的解集为，符合题意；
综上，实数的取值范围为．
18. 设．
（1）若不等式有实数解，试求实数的取值范围；
（2）当时，试解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）依题意不等式有实数解，分、、三种情况讨论，当时需，即可求出参数的取值范围；
（2）原不等式可化为，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【小问1详解】
依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则符合题意.
当时，取，则成立，符合题意.
当时，二次函数的图像开口向下，
要有解，当且仅当，所以.
综上，实数的取值范围是.
【小问2详解】
不等式，
因为，所以不等式可化为，
当，即时，不等式无解；
当，即时，；
当，即时，；
综上， 当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．
19. 已知函数.
（1）若，判断的奇偶性并加以证明.
（2）若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出的解析式，再根据奇偶性的定义证明即可；
（2）设（）， 依题意只需，再分、、、四种情况讨论，求出的最小值，从而求出的取值范围.
【小问1详解】
为奇函数，证明如下：
因，所以，
则的定义域为，且，
所以为奇函数.
【小问2详解】
时，不等式恒成立，
对恒成立.
设（）， 则只需即可.
当时，则在单调递增，
所以，解得，所以；
当时，因为在单调递减，单调递增.
①当，即时，在单调递减，
所以，解得，舍去；
②当，即时，在单调递增，
所以，解得，所以此时；
③当，即时，
，解得，所以此时；
综上，实数的取值范围为.
20. 已知函数，，
（1）若的解集为，求a的值；
（2）试问是否存在实数，使得对于时，不等式恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2 （2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）代入数据得到，根据不等式与方程的关系确定，代入计算得到答案.
（2）题目转化为，根据单调性计算，根据二次函数性质考虑和两种情况，计算最值得到答案.
【小问1详解】
，即，
整理得到，不等式的解集为，
故为方程的根，即，解得，
故，解得，则.
小问2详解】
对，，恒成立，只需.
在上单调递增，因此；
的对称轴为.
当，即时，，故，即，
无解，舍；
当，即时，，故，
解得，舍.
综上所述：不存在实数符合题意.
21. 已知函数，.
（1）若函数在上为偶函数，试求实数的值；
（2）在（1）的条件下，当的定义域为时，解答以下两个问题：
①判断函数在定义域上的单调性并加以证明；
②若，试求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）①在上单调递增，证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据偶函数确定且，解得答案.
（2）任取满足，计算得到函数单调递增，变换，考虑函数的单调性结合函数定义域计算得到答案.
【小问1详解】
在上偶函数，故，
，即，解得或，
由区间定义可知，即，不满足，所以.
【小问2详解】
①函数在上单调递增；
证明如下：，，任取满足，
，
由于，故，，
于是，则，
则在上单调递增.
②函数的定义域为，关于原点对称，
，则为奇函数，
由，即，
又因为在上单调递增，则，解得，
所以实数的取值范围是.
22. 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有.
（1）判断并证明区间是否为函数的“美好区间”；
（2）若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围；
（3）已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”.
【答案】（1）是，证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题设中的新定义，结合函数，进行判定，即可求解；
（2）若为的“美好区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即，由，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解；
（3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”，必满足性质②，转化为或，得出一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点的存在性定理，得到存在，使得，即可求解.
【小问1详解】
函数，当时，可得，所以区间是函数的一个“美好区间”.
【小问2详解】
记，，可得，故若为的“美好区间”，
则不满足性质②，必满足性质①，即；
由，
当时，在上单调递增，且，
即，所以不包含于，不合题意；
当时，，符合题意；
当时，，所以，不合题意；
综上可知，，即实数的取值范围是.
【小问3详解】
对于任意区间，记，
由已知得在上单调递减，故，
因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①，
所以若为的“美好区间”，必满足性质②，这只需，
即只需或，
由显然不恒成立，所以存在常数使得.
如，取，区间满足性质②；
如，取，区间满足性质②；
综上，函数一定存在“美好区间”；
记，则图象连续不断，下证明有零点：
因为在R上是减函数，所以在R上是减函数，记；
若，则是的零点，
若，则，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，
若，则，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，
综上，有零点，即，
因为的所有“美好区间”都满足性质②，故.（否则，与性质②不符），
即不属于的任意一个“美好区间”，证毕.
【点睛】关键点睛：对于新定义问题关键是理解所给定义及限制条件，再利用相应的数学知识解答.