2023-2024学年上海市格致中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市格致中学高一上学期期中数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．已知集合，，则 .
【答案】
【分析】运用数轴法求集合的并运算.
【详解】
如图所示，则.
故答案为：.
2．将化为有理数指数幂的形式为 ．
【答案】
【分析】根据分数指数幂的定义与运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
3．不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】变换得到，解得答案.
【详解】，则，解得或.
故答案为：.
4．若，则 ．
【答案】
【分析】利用对数运算法则直接计算即可.
【详解】，则，故.
故答案为：.
5．一元二次方程的两个根分别是和，若，则实数 ．
【答案】-1
【分析】根据根与系数的关系可得，化简，代入求值即可得答案.
【详解】由题意一元二次方程的两个根分别是和，
则，
由得，
故答案为：-1
6．当时， 的最小值为 .
【答案】5
【分析】利用基本不等式求最小值，注意取值条件即可.
【详解】由，则，
当且仅当时等号成立，故目标式最小值为5.
故答案为：5
7．已知，则 ．
【答案】8
【分析】利用配方法将原式化为，求得的值，即可求得答案
【详解】由得，
故，解得，
故，
故答案为：8
8．已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据函数为幂函数，可列式，计算得m的值，验证后即得答案.
【详解】由题意函数是幂函数，
故，即，
解得或，
当时，为反比例函数，函数图象不经过第二象限，符合题意；
当时，，其图象经过第二象限，不符合题意；
故，
故答案为：2
9．已知集合，，，若，且，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得，即可将3代入，求得a的值。验证后即可确定答案.
【详解】由题意，且，
可得,
故，解得或，
当时，，不满足；
当时，，符合题意，
故实数的值为，
故答案为：
10．若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解不等式得到，，则或，得到，解得答案.
【详解】，
当时，，解得，故；
当时，，不成立；
当时，，解得，故；
综上所述：，
，则或，
由题意可得：，解得，即.
故答案为：.
11．已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的的值之和是 ．
【答案】21
【分析】设，结合其图象对称性可确定不等式解集中的三个整数，由此列出不等式组，求得答案.
【详解】设，则其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，
则这三个整数必为，
故，即，
解得，又，故a的值为6，7，8，
则所有符合条件的的值之和是，
故答案为：21
12．已知，，不等式的解集为有下列四个命题：
①； ② ；
③； ④
其中，全部正确命题的序号为 ．
【答案】①②
【解析】首先根据不等式与方程的关系可知，方程的两个实数根是或，不等式变形为，①代入，判断是否满足不等式；②令，代入，判断选项；③利用根与系数的关系判断；④代特殊值判断选项.
【详解】不等式变形为 ，
①代入，得，即满足不等式，所以，①成立；
②因为不等式的解集为，所以，代入，则，
所以，②成立；
③由条件可知分别是方程的两个实数根，，，则，故③不成立；
④当时，此时不等式的解集是，即，
此时，故④不成立.
故答案为：①②
【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题的关键是理解题意，理解不等式解集的端点值是方程的实数根，，以及，，这几个关键式子判断选项②③.
二、单选题
13．设,则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【分析】由可推出同号,则根据分类讨论可得出,根据,两边同乘可得,即可选出选项.
【详解】解:由题知,则同号,
当时,有,
当时,有,
故能推出,
当成立时,又,
对不等式两边同时乘以可得,
故“”是“”的充分必要条件.
故选:C
14．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
【答案】A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
15．如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ）
A．是奇数且
B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且
D．是奇数，且
【答案】B
【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征.
【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为，
当时，，则；
又图象关于轴对称，为偶函数，，
又互质，为偶数，为奇数.
故选：B.
16．设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）
A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
【答案】B
【分析】运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误．
【详解】解：对于集合，，
可得当，即，可得，
即有，可得对任意，是的子集；故C、D错误
当时，，，
可得是的子集；
当时，，且，
可得不是的子集，故A错误．
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集．
故选：B.
三、解答题
17．已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用幂函数在区间上是严格增函数得到，再验证其图象关于轴对称进行求值；
（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解.
【详解】（1）解：因为幂函数在区间上是严格增函数，
所以，解得，
又因为，所以或或，
当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；
当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；
综上所述，.
（2）解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，
则由得，
即，即，解得，
所以满足的实数的取值范围为.
18．解关于的不等式：．
【答案】答案见解析
【分析】变换得到，考虑，，三种大情况，再考虑，，三种小情况，解不等式得到答案.
【详解】因为，则，即，等价于，
当时，，解得；
当时，解得；
当时，，
①当，则，不等式解集为；
②当，则，不等式解集为；
③当，则，不等式解集为；
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
19．已知、、，关于不等式的解集为．
(1)若方程一根小于，另一根大于，求的取值范围；
(2)在（1）条件在证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集判断，得到，结合题意可得，即可求得答案；
（2）利用反证法，假设三个方程都没有实数解，可得它们的判别式都小于0，求得a的范围，出现矛盾，即可证明原结论.
【详解】（1）因为关于不等式的解集为，
即的解集为，
故，且1，3为的两根，
则，即，
又方程一根小于，另一根大于，
设，而，则，
即，
结合，可得的取值范围为.
（2）证明：假设，，都没有实数解，
则它们的判别式都小于0，
即，即，解得，
这与的取值范围为矛盾，
故，，中至少有一个方程有实数解．
20．对于四个正数，，，，如果，那么称是的“下位序列”.
(1)对于，，，，试问是否为的“下位序列”；
(2)设，，，均为正数，且是的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系；
(3)设正整数满足条件对集合内的每个，总存在，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值
【答案】(1)不是
(2)
(3)
【分析】（1）根据“下位序列”的概念直接判断；
（2）利用作差法，结合“下位序列”的概念直接判断；
（3）根据“下位序列”的概念可得，根据，，均为正整数，可得，进而可得最小正整数.
【详解】（1）由，，，不满足“下位序列”的概念，
所以不是“下位序列”；
（2）由是的“下位序列”，得，
则，即，
同理，即，
所以；
（3）由已知得，
又，，均为正整数，
则，即，
则，
又对集合内的每个均成立，
则，
所以正整数的最小值为.