2023-2024学年上海市五校联考高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市五校联考高一上学期期中数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．若集合，.则 .
【答案】
【分析】根据交集的概念运算即可.
【详解】因为集合，
所以.
故答案为：
2．已知集合，若，则a的值是 ．
【答案】.
【分析】根据得到方程，求出a的值.
【详解】因为，所以，解得：，经检验均满足题意.
故答案为：.
3．满足的集合A的个数是 个.
【答案】
【分析】根据子集的定义即可得解.
【详解】满足的集合A的个数是.
故答案为：.
4．若是方程的两根，则 .
【答案】
【分析】利用韦达定理求出，即可得解.
【详解】因为是方程的两根，
所以，
所以.
故答案为：.
5．已知一元二次不等式的解集为，则 .
【答案】
【分析】由题意可得方程的根为，再利用韦达定理即可得解.
【详解】因为一元二次不等式的解集为，
所以方程的根为，
则.
故答案为：.
6．设，则“”是“”的 条件.（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）
【答案】必要不充分
【分析】根据必要条件与充分条件判断即可.
【详解】由“”无法得到“”，而“”可得“”
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
7．已知实数，，化简： .
【答案】
【分析】根据指数幂的运算法则化简即可.
【详解】实数，，
所以.
故答案为：.
8．已知集合，，若，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据并集的定义即可得解.
【详解】因为，，，
所以.
故答案为：.
9．已知集合，.用列举法表示 .
【答案】
【分析】解方程组，再根据交集的定义即可得解.
【详解】联立，解得或，
所以.
故答案为：.
10．关于不等式对于任意恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先根据和两种情况进行分类讨论，根据题目条件利用判别式即可求解参数的取值范围.
【详解】当时，得恒成立，故满足题意；
当时，若要满足对于任意恒成立，
只需满足，解得：.
综上所述得.
故答案为：
11．设集合且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得，分、、、分别求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，实数的取值范围是：.
故答案为：
12．定义区间、，、的长度均为，其中.若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是 .
【答案】
【分析】先解不等式，并求出解集区间的长度，再从分类讨论解不等式，结合题意即可得出答案.
【详解】由，得且，
由得，解得，
由得，解得或，
所以不等式的解集为，
此不等式解集的长度恰好为，
由得，
当时，此不等式的解集为空集，舍去；
当时，此不等式的解集为，
要满足题意则，解得；
当时，此不等式的解集为，
要满足题意则，解得，
综上所述，实数t的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：分别解不等式和是解决本题的关键.
二、单选题
13．不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分式不等式可以转化为整式不等式，注意分母不为零.
【详解】因为等价于，解得：，
即：，所以不等式的解集为.
故选：C
14．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断各个命题．
【详解】A中若，则得不出，错误；B中，若，则有，错误；C中若，则仍然是，错误；由不等式的性质知D正确．
故选：D.
【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题基础．
15．用反证法证明命题“ab可以被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时假设的内容应该是（ ）
A．a、b都不能被5整除B．a、b都能被5整除
C．a、b不都能被5整除D．b能被5整除
【答案】A
【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.
【详解】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.
故选：A.
16．设全集，给出条件：①；②若，则；③若，则.那么同时满足三个条件的集合的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】集合中各元素的放置，由此可得出结论.
【详解】由题意可知，若，则，，；若，则，，.
此时，、、、的放置有种；
若，则；若，则，此时、的放置有种；
若，则；若，则，此时，、的放置有种.
、的放置没有限制，各有种.
综上所述，满足条件的集合的个数为.
故选：C.
三、解答题
17．已知集合，.求：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式得集合，解绝对值不等式得集合，再根据并集的运算求解即可；
（2）根据补集与交集的运算求解即可.
【详解】（1）由解得或，故集合
又由，解得，所以
所以；
（2）由（1）可得，
则.
18．完成下列各题
(1)设，，比较M、N的大小；
(2)已知条件：，条件：，若是的充分条件，求实数m的数值范围.
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）利用作差法的方法比较大小；
（2）由题意是的充分条件，，考虑和两类情况进行讨论..
【详解】（1），
所以；
（2）因为是的充分条件，设,
则是的充分条件，即
若，当，即时，满足条件,
若，要使,
则,即
,
综上，实数的范围是.
19．货车以x千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规则限制（单位：千米/时），假没汽油价格是每升8元，汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时50元.
(1)求这次行车总费用y（元）关于x（千米/时）的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用y最低？求出最低费用的值.（所有结果精确到1）
【答案】(1)
(2)当x为时，这次行车的总费用y最低，最低为元
【分析】（1）先求出行驶时间，再根据题意列出表达式即可；
（2）利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意汽车行驶的时间小时，
则；
（2）由（1）得，
当且仅当，即时取等号，
所以当x为时，这次行车的总费用y最低，最低为元.
20．已知，，.
(1)求ab的最大值；
(2)求的最小值；
(3)若不等式对于任意及条件中的任意a、b恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）根据基本不等式中“1”的整体代换计算即可；
（3）由绝对值的三角不等式可得，再结合（2）将问题转化为即可.
【详解】（1）因为，，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以ab的最大值为；
（2），
当且仅当时取等号，
所以的最小值为；
（3）由（2）得，即为，
又因，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为.
21．已知函数，．
(1)求不等式的解集；
(2)若对恒成立，求a、b的值；
(3)在（2）的条件下，若对一切，都有成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解一元二次不等式得到解集；
（2）由题意得到，求出；
（3）参变分离得到对一切恒成立，变形后利用基本不等式求出最值，得到实数m的取值范围.
【详解】（1），解得，故不等式解集为；
（2）令，，
故对恒成立，故，，
故，即，解得，
所以，而，显然满足恒成立，
所以.
（3）对一切，都有成立，
即对一切恒成立，
设，
因为，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
故实数m的取值范围是