2023-2024学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆实验中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆实验中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，或，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用补集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，或，则.
故选：B.
2．命题“对于任意正数，都有”的否定是（ ）
A．对于任意正数x，都有B．对于任意正数x，都有
C．存在正数x，使得D．存在非正数x，使得
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定规则即可求解.
【详解】因为命题“对于任意正数x，都有”是全称量词命题，
所以其否定为“存在正数x，使得”．
故选：C
3．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据根式和分式的性质，列不等式即可求解.
【详解】的定义域需满足，解得且，
故定义域为，
故选：C
4．下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．与
B．
C．；
D．.
【答案】D
【详解】根据函数的对应关系与定义域判断．
【分析】对于A，的定义域为，而定义域为R，故二者不是同一函数；
对于B.定义域为R，定义域为，∵定义域不同，与不是同一函数.
对于C，定义域为R，定义域为，∵定义域不同，与不是同一函数.
对于D，，与定义域与对应关系都相同，与是同一函数.
故选：D
5．“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】通过求解函数和符合条件的的取值，即可得出结论.
【详解】由题意，
在中，
当函数在上单调递减时，，
在中，函数是偶函数，
∴，解得：，
∴“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B.
6．为上的偶函数，且，当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意由求解.
【详解】解：因为为上的偶函数，且，
所以，
又因为时，，
所以，
所以，
故选：A
7．已知函数，则（ ）
A．B．1516C．D．1517
【答案】D
【分析】根据分段函数的周期性即可求出的值.
【详解】由题意，在中，
因为当时，，所以是以为周期的周期函数，
故，
，
所以.
故选：D.
8．已知函数，其中，若，使得关于x的不等式成立，则正实数a的取值范围为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【分析】根据题意得出分段函数，若，使得关于x的不等式成立，则在上的最小值，即，即可分类求解得出答案.
【详解】由题意可知，
若，使得关于x的不等式成立，
则在上的最小值，
，
为正实数，
则当时，，解得；
当时，，解得，
综上，正实数a的取值范围为或，
故选：B.
二、多选题
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据已知代入特殊值可得的值，可判断A，B；再根据换元法求解解析式即可得，从而判断C，D.
【详解】因为，所以时，可得，故A正确；
所以时，可得，故B正确；
令，则，所以，则，故C正确，D不正确.
故选：ABC.
10．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则；
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】AC可举出反例；B选项可由不等式的性质得到；D选项可利用基本不等式求解.
【详解】A选项，若，满足，
但此时，，A错误；
B选项，因为，所以，故，不等式两边同除以得，，B正确；
C选项，若，满足，但此时，故C错误；
D选项，因为，所以由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：BD
11．下列说法正确的是（ ）
A．若存在，当时，有，则在上单调递增
B．函数在定义域内单调递减
C．函数在区间上单调递增
D．不等式的解集是
【答案】CD
【分析】由函数单调性的定义、具体函数的单调性、一元二次不等式的解法相关知识逐项辨析即可．
【详解】对于A，由函数单调性的定义，对任意，，当时，有，则在上单调递增，不能使用存在量词“存在”，故选项A错误；
对于B，函数在区间和单调递减，而不是定义域内单调递减，故选项B错误；
对于C，二次函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，所以函数在区间,上单调递增，故选项C正确；
对于D，不等式对应的二次函数为，，其图象是开口向上，与轴有一个公共点的抛物线，当时，，即不等式的解集为，故选项D正确．
故选：CD．
12．当时，不等式恒成立，则的范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】先参变分离得到在上恒成立，由对勾函数得到函数单调性，从而得到，求出，得到答案.
【详解】时，变形为，
故在上恒成立，
其中为对勾函数，在上单调递减，
故，故，
故，其中ABD满足要求，C不满足要求.
故选：ABD
三、填空题
13．已知集合，则集合A的非空真子集的个数为 ．
【答案】14
【分析】先得到集合A共有4个元素，从而利用公式求出A的非空真子集的个数.
【详解】，共有4个元素，
故集合A的非空真子集的个数为.
故答案为：14
14．设函数，则 ．
【答案】
【分析】根据分段函数的定义直接求解即可.
【详解】由题知，，
所以，
所以.
故答案为：
15．设x，y均为正数，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据基本不等式“1”的代换求解最值即可.
【详解】因为x，y均为正数，且
则
当且仅当且，即
所以的最小值为.
故答案为：.
16．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，设函数，则函数的值域为 .
【答案】
【分析】分析可知对任意的，存在，使得，求出的取值范围，即可求得函数的值域.
【详解】对任意的，存在，使得，则，
所以，，故，
因此，函数的值域为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，．
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用集合的运算求解．
（2）若，则，分，讨论，列出不等式组求解即可得实数的取值范围．
【详解】（1）当时，，
，或，
；．
（2），，
①当时，，解得，
②当时，则，，
综上，的取值范围是．
18．函数是定义在区间上的增函数，且为奇函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若，求解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将所求不等式变形为，利用函数的定义域、单调性可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围，即可得解；
（2）由奇函数的性质得出，可求得的值，再由可得出的值，由此可得函数的解析式，然后利用函数单调性与奇偶性的定义验证函数在上的单调性与奇偶性即可.
【详解】（1）解：因为函数是定义在区间上的增函数，且为奇函数，
由可得，
所以，，解得，
故不等式的解集为.
（2）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
且，解得，所以，.
下面先证明函数为上的奇函数：
任取，则，
故函数为上的奇函数.
接下来证明出函数在上为增函数，
任取、且，则，
即，故函数在上为增函数，
综上所述，.
19．已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求，的值；
(2)当时，解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程的关系求解；
（2）不等式左边分解因式后，根据的大小关系分类讨论即可得解.
【详解】（1）由题意知方程的两个根为和，
所以
解得
（2）当时，，
即，
当，即时，解得；
当时，解得；
当，即时，解得.
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
20．某公司生产某种产品，其年产量为x万件时利润为万元.
(1)当时，年利润为，若公司生产量年利润不低于400万时，求生产量x的范围；
(2)在（1）的条件下，当时，年利润为.求公司年利润的最大值.
【答案】(1)
(2)480万元
【分析】（1）令，解之即可；
（2）根据二次函数的性质和基本不等式即可得解.
【详解】（1）当时，令，
即，解得：，
所以生产量x的范围是；
（2）当时，，
则，
当时，，
当且仅当时，等号成立，
则此时最大值为万元，
综上，公司年利润的最大值为480万元.
21．设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数.
(1)求函数的解析式.
(2)函数是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可；
（2）首先得到的解析式，即可判断函数的单调性，再根据题意得到方程组，解得即可.
【详解】（1）因为幂函数在内是单调增函数，
所以，解得，
所以函数的解析式为．
（2）由（1）知，，函数的定义域为，
又，所以函数的值域为，
因为在上单调递增，
若存在，使得在上的值域为，
则函数在上单调递增，
有，解得或，或，
显然，所以，，
即存在，使得在上的值域为，
故函数为“佳”函数.
“佳”函数的区间为；
22．已知二次函数，
(1)设函数在范围内的最大值为，最小值为，且，求实数的取值范围；
(2)已知关于的方程在范围内有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）讨论二次函数的对称轴和所给区间的位置关系，即可确定函数的最值，由此可解不等式，即可得答案；
（2）讨论方程在范围内有一解还是两解，由此可列出不等式组，即可得求得答案.
【详解】（1）∵，∴函数的对称轴为，
①当时，即时，当时，随增大而增大，
∴，，∴，解得；
②当时，即时，当时，随增大而减小，
∴，，∴，解得，
③当时，即时，
，，∴，
解得，此时，
④当时，即时，
∴，，∴，
解得，此时，
综上，的取值范围为.
（2）原方程即为.设，
当时，.
①若方程在上有一解，只需时，函数的取值为负即可.
∴.解得：.
②若方程在上有两解，则，
即，∴.
综上，的取值范围为.