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2023-2024学年云南省昆明市第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年云南省昆明市第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义，结合集合的交集，可得答案.
【详解】由函数，则，解得，所以，
.
故选：C.
2．“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：B
3．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由同一函数的概念逐一判断，即可求解
【详解】对于A中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误；
对于D中，函数的定义域为，
的定义域为，且，
所以它们是同一函数，故D正确；
故选：D.
4．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数为偶函数，将自变量转化到同一个单调区间，再根据函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为为定义在上的偶函数，
所以，
又因为在上为增函数，，
所以，即.
故选：B.
5．已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用方程组法求解析式即可.
【详解】由，可得①，
又②，①＋②得：，解得，
故选：A．
6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（ ）
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长．
A．等于B．小于C．大于D．不确定
【答案】C
【分析】设天平左臂长，右臂长，且，根据已知条件求出、的表达式，利用基本不等式比较与的大小关系，即可得出结论.
【详解】设天平左臂长，右臂长，且，
设天平右盘有克黄金，天平左盘有克黄金，所以，
所以，，则．
故选：C．
7．对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数在区间上单调递增
C．函数图像关于轴对称
D．函数最大值为2
【答案】C
【分析】根据给出的定义先得出函数的解析式，再作出其函数图像，根据函数图像对选项进行逐一判断即可.
【详解】由题意，
所以，即，
作出函数的图像如下:
由图像可知为偶函数，故选项A错误.
在区间上单调递增，
由.
可得在区间上不单调递增，故选项B错误.
由图像可知：函数图像关于轴对称，故选项C正确.
由图像可知：当时，函数最大值为1，故选项D错误.
故选：C
8．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合条件得到：，再由的奇偶性和单调性得到：，即可求解.
【详解】由题意得，函数，
因为的定义域为，关于原点对称，
，
所以是上的奇函数，即，
由，，
因为是上的增函数，是上的增函数，
所以是上的增函数，即，
整理得：，解得：或，
所以实数a的取值范围为，
故选：D.
二、多选题
9．已知集合，，若，则的取值可以是（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】ACD
【分析】对集合B中的分类讨论即可求解.
【详解】
当时, , 显然满足条件;
当时, , 集合,
故, 或, 解,
故实数的取值的集合是 .
故选：ACD.
10．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先根据题目条件得到为奇函数，且在定义域内为单调递减函数，A选项，为偶函数，A错误；B选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且单调递减；C选项，在定义域内不是单调递减，C错误；D选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且由二次函数的单调性得到单调递减,D正确.
【详解】由（1）可知，为奇函数，由（2）可知，在定义域内为单调递减函数，
对于A，定义域为R，又，故为偶函数，故A错误；
对于B，定义域为R，又，故为奇函数，
又在R上单调递减，满足要求，B正确；
对于C，分别在区间和上单调递减，在定义域内不是单调递减，C错误；
对于D：，，
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，
所以在上是减函数，所以是“理想函数”，D正确.
故选：BD
11．若，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】将变为，即可设，并判断其单调性，从而得，结合指数函数的性质，一一判断各选项，即得答案.
【详解】由题意可得，
令，即为R上的单调增函数，
故由可得，
由于为R上的单调增函数，故，A错误；
由于为R上的单调减函数，故，B错误；
由于，故，，C错误，D正确；
故选：
12．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】对于选项AB：根据已知结合基本不等式将已知等式中的或转化，即可解不等式得出答案；对于选项CD：将要求的式子通过完全平方或分式运算转化为或，即可根据选项AB求出的范围根据不等式的性质或一元二次函数的值域得出要求的式子的范围.
【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立，解得，即，故A不正确；
对于B：由，得，当且仅当时，等号成立即，解得，或（舍去），故B正确；
对于C：，
令，，即，故C正确；
对于D，，令，，即，故D不正确，
故选：BC．
三、填空题
13．命题“”的否定是 ．
【答案】．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案.
【详解】命题“”的否定是“”.
故答案为：“”.
14．
【答案】
【分析】运用指数幂的运算法则进行求解即可.
【详解】
故答案为：
15．已知奇函数在是增函数，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由函数为奇函数，可得不等式即，即和异号，故有，或；再结合函数的单调性示意图可得的范围.
【详解】由函数为奇函数，可得不等式即，即和异号，
故有，或.
再由，可得，由函数在上为增函数，可得函数在上也为增函数，画出函数单调性示意图：
结合函数的单调性示意图可得或.
故答案为：
16．设函数，若存在最大值，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】以分类讨论，根据函数解析式分别判断是否存在最大值即可．
【详解】①当时，
当时，，故趋近于时，趋近于，
故不存在最大值；
②当时，，故不存在最大值；
③当时，
当时，；当时，，
故若存在最大值，则，即；
综上所述，实数a的取值范围为；
故答案为：．
四、解答题
17．设集合，.
(1)，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，结合补集、交集的运算，求解即可；
（2）根据已知条件，结合子集的定义，求解即可．
【详解】（1）当时，，则或，
故.
（2）若，则，
当时，，∴，符合题意；
当时，需满足，解得，
综上所述，m的取值范围为.
五、证明题
18．已知
(1)求函数的值域；
(2)用定义证明在区间上是增函数.
【答案】(1)．
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数化简变形后利用分式的性质可求得答案，
（2）任取，，且，然后作差变形，判断符号，从而可证得结论，
【详解】（1）由题意，函数，
因为，所以，
所以的值域为．
（2）任取，，且，
则，
，，，
，即，
故函数在区间上是增函数．
六、解答题
19．已知幂函数是偶函数．
(1)求的解析式；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用幂函数定义及性质求解作答.
（2）由（1）的结论，利用换元法，结合二次函数求出函数最值作答.
【详解】（1）依题意，，即，解得或，
当时，，不是偶函数，当时，，是偶函数，
所以的解析式是．
（2）由（1）知，，，
设，则，，因此，
当时，，当或时，，于是，
所以函数的值域为.
20．为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．
(1)求m的值及用x表示S；
(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．
【答案】(1)，（）；
(2)当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元.
【分析】（1）利用给定条件，求出的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.
（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.
【详解】（1）设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，，
则，解得，
显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：
（）.
（2）由（1）知
，
当且仅当，即时取等号，
所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元．
21．已知函数是奇函数，且.
(1)求的值；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据奇函数满足，再代入求解即可；
（2）化简可得恒成立，令，再根据指数函数值域与对勾函数性质求解最大值即可.
【详解】（1）是奇函数，
经检验当时，是奇函数符合题意，
又或（舍），
；
（2），
即，
又，故恒成立，
令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，
.
22．已知a，b是常数，，，，且方程有且仅有一个实数根．
(1)求a，b的值；
(2)是否存在实数m，n，使得的定义域和值域分别为和?若存在，求出实数m，n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)存在，，．
【分析】(1)根据f(2)＝0列出一个关于a、b的方程，再根据方程方程的即可求解；
(2)求出f(x)在R上的值域，从而确定2n及n的范围，结合二次函数的图象性质即可列出关于m、n的方程，结合m、n的范围求解即可．
【详解】（1）由，，得，即2a＋b＝0，
又方程，即有且仅有一个实数根，
∴，解得，；
（2）假设存在符合条件的，
由(1)知，则有，即，
由一元二次函数图象的特征，
得，即，解得，
∴存在，，使得函数在上的值域为．
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义，结合集合的交集，可得答案.
【详解】由函数，则，解得，所以，
.
故选：C.
2．“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：B
3．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由同一函数的概念逐一判断，即可求解
【详解】对于A中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误；
对于D中，函数的定义域为，
的定义域为，且，
所以它们是同一函数，故D正确；
故选：D.
4．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数为偶函数，将自变量转化到同一个单调区间，再根据函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为为定义在上的偶函数，
所以，
又因为在上为增函数，，
所以，即.
故选：B.
5．已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用方程组法求解析式即可.
【详解】由，可得①，
又②，①＋②得：，解得，
故选：A．
6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（ ）
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长．
A．等于B．小于C．大于D．不确定
【答案】C
【分析】设天平左臂长，右臂长，且，根据已知条件求出、的表达式，利用基本不等式比较与的大小关系，即可得出结论.
【详解】设天平左臂长，右臂长，且，
设天平右盘有克黄金，天平左盘有克黄金，所以，
所以，，则．
故选：C．
7．对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数在区间上单调递增
C．函数图像关于轴对称
D．函数最大值为2
【答案】C
【分析】根据给出的定义先得出函数的解析式，再作出其函数图像，根据函数图像对选项进行逐一判断即可.
【详解】由题意，
所以，即，
作出函数的图像如下:
由图像可知为偶函数，故选项A错误.
在区间上单调递增，
由.
可得在区间上不单调递增，故选项B错误.
由图像可知：函数图像关于轴对称，故选项C正确.
由图像可知：当时，函数最大值为1，故选项D错误.
故选：C
8．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合条件得到：，再由的奇偶性和单调性得到：，即可求解.
【详解】由题意得，函数，
因为的定义域为，关于原点对称，
，
所以是上的奇函数，即，
由，，
因为是上的增函数，是上的增函数，
所以是上的增函数，即，
整理得：，解得：或，
所以实数a的取值范围为，
故选：D.
二、多选题
9．已知集合，，若，则的取值可以是（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】ACD
【分析】对集合B中的分类讨论即可求解.
【详解】
当时, , 显然满足条件;
当时, , 集合,
故, 或, 解,
故实数的取值的集合是 .
故选：ACD.
10．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先根据题目条件得到为奇函数，且在定义域内为单调递减函数，A选项，为偶函数，A错误；B选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且单调递减；C选项，在定义域内不是单调递减，C错误；D选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且由二次函数的单调性得到单调递减,D正确.
【详解】由（1）可知，为奇函数，由（2）可知，在定义域内为单调递减函数，
对于A，定义域为R，又，故为偶函数，故A错误；
对于B，定义域为R，又，故为奇函数，
又在R上单调递减，满足要求，B正确；
对于C，分别在区间和上单调递减，在定义域内不是单调递减，C错误；
对于D：，，
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，
所以在上是减函数，所以是“理想函数”，D正确.
故选：BD
11．若，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】将变为，即可设，并判断其单调性，从而得，结合指数函数的性质，一一判断各选项，即得答案.
【详解】由题意可得，
令，即为R上的单调增函数，
故由可得，
由于为R上的单调增函数，故，A错误；
由于为R上的单调减函数，故，B错误；
由于，故，，C错误，D正确；
故选：
12．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】对于选项AB：根据已知结合基本不等式将已知等式中的或转化，即可解不等式得出答案；对于选项CD：将要求的式子通过完全平方或分式运算转化为或，即可根据选项AB求出的范围根据不等式的性质或一元二次函数的值域得出要求的式子的范围.
【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立，解得，即，故A不正确；
对于B：由，得，当且仅当时，等号成立即，解得，或（舍去），故B正确；
对于C：，
令，，即，故C正确；
对于D，，令，，即，故D不正确，
故选：BC．
三、填空题
13．命题“”的否定是 ．
【答案】．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案.
【详解】命题“”的否定是“”.
故答案为：“”.
14．
【答案】
【分析】运用指数幂的运算法则进行求解即可.
【详解】
故答案为：
15．已知奇函数在是增函数，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由函数为奇函数，可得不等式即，即和异号，故有，或；再结合函数的单调性示意图可得的范围.
【详解】由函数为奇函数，可得不等式即，即和异号，
故有，或.
再由，可得，由函数在上为增函数，可得函数在上也为增函数，画出函数单调性示意图：
结合函数的单调性示意图可得或.
故答案为：
16．设函数，若存在最大值，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】以分类讨论，根据函数解析式分别判断是否存在最大值即可．
【详解】①当时，
当时，，故趋近于时，趋近于，
故不存在最大值；
②当时，，故不存在最大值；
③当时，
当时，；当时，，
故若存在最大值，则，即；
综上所述，实数a的取值范围为；
故答案为：．
四、解答题
17．设集合，.
(1)，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，结合补集、交集的运算，求解即可；
（2）根据已知条件，结合子集的定义，求解即可．
【详解】（1）当时，，则或，
故.
（2）若，则，
当时，，∴，符合题意；
当时，需满足，解得，
综上所述，m的取值范围为.
五、证明题
18．已知
(1)求函数的值域；
(2)用定义证明在区间上是增函数.
【答案】(1)．
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数化简变形后利用分式的性质可求得答案，
（2）任取，，且，然后作差变形，判断符号，从而可证得结论，
【详解】（1）由题意，函数，
因为，所以，
所以的值域为．
（2）任取，，且，
则，
，，，
，即，
故函数在区间上是增函数．
六、解答题
19．已知幂函数是偶函数．
(1)求的解析式；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用幂函数定义及性质求解作答.
（2）由（1）的结论，利用换元法，结合二次函数求出函数最值作答.
【详解】（1）依题意，，即，解得或，
当时，，不是偶函数，当时，，是偶函数，
所以的解析式是．
（2）由（1）知，，，
设，则，，因此，
当时，，当或时，，于是，
所以函数的值域为.
20．为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．
(1)求m的值及用x表示S；
(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．
【答案】(1)，（）；
(2)当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元.
【分析】（1）利用给定条件，求出的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.
（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.
【详解】（1）设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，，
则，解得，
显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：
（）.
（2）由（1）知
，
当且仅当，即时取等号，
所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元．
21．已知函数是奇函数，且.
(1)求的值；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据奇函数满足，再代入求解即可；
（2）化简可得恒成立，令，再根据指数函数值域与对勾函数性质求解最大值即可.
【详解】（1）是奇函数，
经检验当时，是奇函数符合题意，
又或（舍），
；
（2），
即，
又，故恒成立，
令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，
.
22．已知a，b是常数，，，，且方程有且仅有一个实数根．
(1)求a，b的值；
(2)是否存在实数m，n，使得的定义域和值域分别为和?若存在，求出实数m，n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)存在，，．
【分析】(1)根据f(2)＝0列出一个关于a、b的方程，再根据方程方程的即可求解；
(2)求出f(x)在R上的值域，从而确定2n及n的范围，结合二次函数的图象性质即可列出关于m、n的方程，结合m、n的范围求解即可．
【详解】（1）由，，得，即2a＋b＝0，
又方程，即有且仅有一个实数根，
∴，解得，；
（2）假设存在符合条件的，
由(1)知，则有，即，
由一元二次函数图象的特征，
得，即，解得，
∴存在，，使得函数在上的值域为．
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