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2023-2024学年浙江省杭州二中钱塘联盟高一上学期期中联考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年浙江省杭州二中钱塘联盟高一上学期期中联考数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合补集和并集的运算求解即可.
【详解】或，
,
则，
故选:B
2. 命题“，使得”的否定是（ ）
A. ，B. ，使得
C. ，D. ，使得
【答案】A
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得结果.
【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得
命题“，使得”的否定是，
故选：A．
3. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中起着重要作用.已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分与必要条件的概念即可求解.
【详解】由题意可知：若，则，
但当时，有可能等于，
如，，满足，但，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 下列图象中，表示定义域和值域均为函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.
【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误；
选项B：定义域不是，值域为，故错误；
选项C：定义域和值域均为，故正确；
选项D：不满足函数的定义，故错误；
故选：C.
5. 若正实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A. 6B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】由条件可得，运用基本不等式即可得到所求最小值．
【详解】因为正数 x， y满足，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
故选：D
6. 下列各组中的函数表示同一个函数的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】先判断定义域是否相同，再看解析式是否相同即可.
【详解】对于A：定义域都，，，值域不同，故A错误；
对于B：定义域为，定义域为，定义域不一致，故B错误；
对于C：定义域为，定义域为，
且，C正确；
对于D：定义域为，定义域为，定义域不一致，故D错误，
故选：C
7. 在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先应用新定义列式再结合一元二次不等式恒成立计算判别式即可.
【详解】：由已知得，
则对任意实数x恒成立，
整理得对任意实数x恒成立，
故，解得
故选：
8. 函数是定义在的偶函数，当时，，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象与轴有四个不同的交点
B. 当时，
C. 不等式的解集为
D. 对于任意，，若，则的最大值为2
【答案】D
【解析】
【分析】A选项,令，解方程求出零点；B选项,利用奇偶性求解析式；C选项,令，解不等式，得到解集；D选项,分段讨论，求出的范围.
【详解】当时，.
对于A,当时，令可得或，
所以或，
由函数是定义在的偶函数可得，，
故函数的图像与轴有三个不同的交点，A不正确;
对于B,设，则，，
设，则，，
当时，，B不正确;
对于C,当时，令，则或，
所以或，，
由函数是定义在的偶函数可得，当时，，
综上：不等式的解集为，C错误;
对于D,不妨设，则，
①当时，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
综上：对于任意的，，若，则，D正确，
故选：D
二、多项选择题
9. 已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. “，使得”是真命题
C. D. “，”是真命题
【答案】ABC
【解析】
【详解】利用图像中集合M与集合N中元素的关系逐一判断.
【解答】对于A：由图可知集合M与集合N有公共部分，故A正确；
对于B：当位于集合M与集合N的公共部分时，可知B正确；
对于C：，C正确；
对于D：易知中含有一部分元素在M中，所以D错误；
故选：ABC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的性质，带入特殊值排除或选择作差法比较大小.
【详解】对于A，若，则，A错误；
对于B，若，则有，则，B正确;
对于C，令，，满足，，但，故C错误；
对于D，，则，故D正确.
故选：BD
11. 已知函数的定义域为R，值域为，则下列函数中值域同为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的值域对各个选项逐一判断即可.
【详解】对于A：的定义域为R，值域为，即，
，故A错误；
对于B：，相当于对进行了平移，横向伸缩变换，
值域始终没变，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误．
故选：
12. 已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且若对于任意，都有，则实数a可以是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，由函数的奇偶性分别求得的解析式，然后分与讨论，即可得到结果.
【详解】根据题意，，则，
两式相加可得，
又由是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，
所以，即，
又对于任意，都有，
即对于任意，
令，则在区间上单调递增，
若，则在上单调递减，不满足题意;
若，则是对称轴为的二次函数，
若在区间上单调递增，只需，解得，
所以的取值范围为，则可以取值，，
故选：BCD
三、填空题
13. 若幂函数在上单调递增，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数的定义先求出a的值，得到函数的解析式，进而结合函数的单调性求解参数
【详解】因为函数为幂函数，
则有，
可得或，
又由函数在上单调递增，有，则有
故答案为：
14. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到，6为方程的两根，利用根与系数的关系可得到a，b，c之间的关系，然后求出方程的根，得到解集.
【详解】因为不等式的解集为：，
所以得：，且，6为方程的两根，
由根与系数的关系得：，得：，，
设方程的两根分别为
由根与系数的关系得：，即：，
解之得：
又因为：，，所以得：
所以得：不等式的解集为：
故答案为：.
15. 已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时取等号，
故的最大值为，
所以.
故答案为：
16. 若函数的值域为R，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数性质，注意时，二次函数分类讨论求解即可.
【详解】因为函数，
当时，有，当且仅当时等号成立.
值域为R，当，有，满足题意;
当，二次函数开口向上，不满足题意;
当，的对称轴
当时，即，，要使的值域是R，
则应有，所以；
当时，即，，要使的值域是R，则应有，
所以故矛盾，舍去.
综上所述，当时，的值域是R.
故答案为：
四、解答题
17. 对下列式子化简求值
（1）求值：
（2）已知且，求的值.
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算法则，化简求值.
（2）利用指数幂的运算法则，化简求值.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
．
18. （1）已知实数x，y满足，，求的取值范围;
（2）已知实数，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由不等式的性质求解；
（2）由基本不等式求最小值．
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围是
（2），则，
所以
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
19. 集合，
（1）求；
（2）设集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先化简集合A和B，再由交集概念即可求出结果；
（2）先由题意得到，分类讨论进而可得出结果．
【小问1详解】
由，
解之得或，即{或}，
由，
故；
【小问2详解】
若“”是“”的必要条件，则C是B的子集，
若，故，解得：，
若，则，解得：，
综上：，故实数a的取值范围是.
20. 已知定义在上的偶函数，且
（1）求函数的解析式;
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明;
（3）解关于t的不等式
【答案】（1）
（2）函数在上是减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义先求出的值，再由具体函数值求出，最后验证；
（2）用单调性的定义证明即可；
（3）应用单调性求解不等式，注意要先考虑定义域.
【小问1详解】
定义在上的偶函数，
则，即，
又，即，解得，
所以，经检验符合题意;
【小问2详解】
函数在上是减函数，证明如下：
任取且，
则，
因为，所以，
所以，即，
因此函数在上是减函数.
【小问3详解】
因为，即，
由偶函数可得,
结合(2)可得，解得，所以不等式的解集为
21. 中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展.发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且，由市场调研知，若每辆车售价5万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完.
（1）求出2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式;
（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为2100万元.
【解析】
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）利用基本不等式和二次函数的性质求分段函数的最值即可.
【小问1详解】
由题意知利润收入-总成本，
所以利润，
故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为
.
【小问2详解】
当时，，
故当时，
当时，，
当且仅当，即时取得等号;
综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为2100万元.
22. 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）给定函数，求图像的对称中心;
（2）已知函数同时满足：①是奇函数;②当时，若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由对称中心的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为函数的值域是函数的值域的子集，再结合条件，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
，
设的对称中心为，
由题意，得函数为奇函数，
则，
即，
即，
整理得，
所以，解得，，
所以函数对称中心为.
【小问2详解】
因为对任意的，总存在，使得，
所以函数的值域是函数的值域的子集，
因为函数，在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以的值域为，
设函数的值域为集合A，
则原问题转化为，
因为函数是奇函数，所以函数关于对称，
又因为，所以函数恒过点，
当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数，
所以函数在上递增，
又，，
所以的值域为，即，
又，
所以，
解得，
当即时，在上递减，则函数在上也是减函数，
所以函数在上递减，
则，
又，
所以
解得,
当即时，
在上递减，在上递增，
又因函数过对称中心，
所以函数在上递增，在上递减，
故此时，，
要使，
只需要，
解得，
综上所述实数的取值范围为
一、单项选择题
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合补集和并集的运算求解即可.
【详解】或，
,
则，
故选:B
2. 命题“，使得”的否定是（ ）
A. ，B. ，使得
C. ，D. ，使得
【答案】A
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得结果.
【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得
命题“，使得”的否定是，
故选：A．
3. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中起着重要作用.已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分与必要条件的概念即可求解.
【详解】由题意可知：若，则，
但当时，有可能等于，
如，，满足，但，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 下列图象中，表示定义域和值域均为函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.
【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误；
选项B：定义域不是，值域为，故错误；
选项C：定义域和值域均为，故正确；
选项D：不满足函数的定义，故错误；
故选：C.
5. 若正实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A. 6B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】由条件可得，运用基本不等式即可得到所求最小值．
【详解】因为正数 x， y满足，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
故选：D
6. 下列各组中的函数表示同一个函数的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】先判断定义域是否相同，再看解析式是否相同即可.
【详解】对于A：定义域都，，，值域不同，故A错误；
对于B：定义域为，定义域为，定义域不一致，故B错误；
对于C：定义域为，定义域为，
且，C正确；
对于D：定义域为，定义域为，定义域不一致，故D错误，
故选：C
7. 在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先应用新定义列式再结合一元二次不等式恒成立计算判别式即可.
【详解】：由已知得，
则对任意实数x恒成立，
整理得对任意实数x恒成立，
故，解得
故选：
8. 函数是定义在的偶函数，当时，，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象与轴有四个不同的交点
B. 当时，
C. 不等式的解集为
D. 对于任意，，若，则的最大值为2
【答案】D
【解析】
【分析】A选项,令，解方程求出零点；B选项,利用奇偶性求解析式；C选项,令，解不等式，得到解集；D选项,分段讨论，求出的范围.
【详解】当时，.
对于A,当时，令可得或，
所以或，
由函数是定义在的偶函数可得，，
故函数的图像与轴有三个不同的交点，A不正确;
对于B,设，则，，
设，则，，
当时，，B不正确;
对于C,当时，令，则或，
所以或，，
由函数是定义在的偶函数可得，当时，，
综上：不等式的解集为，C错误;
对于D,不妨设，则，
①当时，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
综上：对于任意的，，若，则，D正确，
故选：D
二、多项选择题
9. 已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. “，使得”是真命题
C. D. “，”是真命题
【答案】ABC
【解析】
【详解】利用图像中集合M与集合N中元素的关系逐一判断.
【解答】对于A：由图可知集合M与集合N有公共部分，故A正确；
对于B：当位于集合M与集合N的公共部分时，可知B正确；
对于C：，C正确；
对于D：易知中含有一部分元素在M中，所以D错误；
故选：ABC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的性质，带入特殊值排除或选择作差法比较大小.
【详解】对于A，若，则，A错误；
对于B，若，则有，则，B正确;
对于C，令，，满足，，但，故C错误；
对于D，，则，故D正确.
故选：BD
11. 已知函数的定义域为R，值域为，则下列函数中值域同为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的值域对各个选项逐一判断即可.
【详解】对于A：的定义域为R，值域为，即，
，故A错误；
对于B：，相当于对进行了平移，横向伸缩变换，
值域始终没变，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误．
故选：
12. 已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且若对于任意，都有，则实数a可以是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，由函数的奇偶性分别求得的解析式，然后分与讨论，即可得到结果.
【详解】根据题意，，则，
两式相加可得，
又由是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，
所以，即，
又对于任意，都有，
即对于任意，
令，则在区间上单调递增，
若，则在上单调递减，不满足题意;
若，则是对称轴为的二次函数，
若在区间上单调递增，只需，解得，
所以的取值范围为，则可以取值，，
故选：BCD
三、填空题
13. 若幂函数在上单调递增，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数的定义先求出a的值，得到函数的解析式，进而结合函数的单调性求解参数
【详解】因为函数为幂函数，
则有，
可得或，
又由函数在上单调递增，有，则有
故答案为：
14. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到，6为方程的两根，利用根与系数的关系可得到a，b，c之间的关系，然后求出方程的根，得到解集.
【详解】因为不等式的解集为：，
所以得：，且，6为方程的两根，
由根与系数的关系得：，得：，，
设方程的两根分别为
由根与系数的关系得：，即：，
解之得：
又因为：，，所以得：
所以得：不等式的解集为：
故答案为：.
15. 已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时取等号，
故的最大值为，
所以.
故答案为：
16. 若函数的值域为R，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数性质，注意时，二次函数分类讨论求解即可.
【详解】因为函数，
当时，有，当且仅当时等号成立.
值域为R，当，有，满足题意;
当，二次函数开口向上，不满足题意;
当，的对称轴
当时，即，，要使的值域是R，
则应有，所以；
当时，即，，要使的值域是R，则应有，
所以故矛盾，舍去.
综上所述，当时，的值域是R.
故答案为：
四、解答题
17. 对下列式子化简求值
（1）求值：
（2）已知且，求的值.
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算法则，化简求值.
（2）利用指数幂的运算法则，化简求值.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
．
18. （1）已知实数x，y满足，，求的取值范围;
（2）已知实数，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由不等式的性质求解；
（2）由基本不等式求最小值．
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围是
（2），则，
所以
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
19. 集合，
（1）求；
（2）设集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先化简集合A和B，再由交集概念即可求出结果；
（2）先由题意得到，分类讨论进而可得出结果．
【小问1详解】
由，
解之得或，即{或}，
由，
故；
【小问2详解】
若“”是“”的必要条件，则C是B的子集，
若，故，解得：，
若，则，解得：，
综上：，故实数a的取值范围是.
20. 已知定义在上的偶函数，且
（1）求函数的解析式;
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明;
（3）解关于t的不等式
【答案】（1）
（2）函数在上是减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义先求出的值，再由具体函数值求出，最后验证；
（2）用单调性的定义证明即可；
（3）应用单调性求解不等式，注意要先考虑定义域.
【小问1详解】
定义在上的偶函数，
则，即，
又，即，解得，
所以，经检验符合题意;
【小问2详解】
函数在上是减函数，证明如下：
任取且，
则，
因为，所以，
所以，即，
因此函数在上是减函数.
【小问3详解】
因为，即，
由偶函数可得,
结合(2)可得，解得，所以不等式的解集为
21. 中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展.发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且，由市场调研知，若每辆车售价5万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完.
（1）求出2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式;
（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为2100万元.
【解析】
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）利用基本不等式和二次函数的性质求分段函数的最值即可.
【小问1详解】
由题意知利润收入-总成本，
所以利润，
故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为
.
【小问2详解】
当时，，
故当时，
当时，，
当且仅当，即时取得等号;
综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为2100万元.
22. 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）给定函数，求图像的对称中心;
（2）已知函数同时满足：①是奇函数;②当时，若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由对称中心的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为函数的值域是函数的值域的子集，再结合条件，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
，
设的对称中心为，
由题意，得函数为奇函数，
则，
即，
即，
整理得，
所以，解得，，
所以函数对称中心为.
【小问2详解】
因为对任意的，总存在，使得，
所以函数的值域是函数的值域的子集，
因为函数，在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以的值域为，
设函数的值域为集合A，
则原问题转化为，
因为函数是奇函数，所以函数关于对称，
又因为，所以函数恒过点，
当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数，
所以函数在上递增，
又，，
所以的值域为，即，
又，
所以，
解得，
当即时，在上递减，则函数在上也是减函数，
所以函数在上递减，
则，
又，
所以
解得,
当即时，
在上递减，在上递增，
又因函数过对称中心，
所以函数在上递增，在上递减，
故此时，，
要使，
只需要，
解得，
综上所述实数的取值范围为
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