2023-2024学年新疆维吾尔自治区库车市第二中学高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年新疆维吾尔自治区库车市第二中学高一上学期第一次月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】D
【分析】根据集合的运算法则计算后判断．
【详解】因为集合，，
所以或，
所以或，
故选：D．
2．给出四个结论：
①是由4个元素组成的集合；
②集合表示仅由一个“1”组成的集合；
③与是两个不同的集合；
④集合大于3的无理数是一个有限集．
其中正确的是（ ）
A．①④B．②④C．②③D．②
【答案】D
【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项.
【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误；
对于②，集合仅有1个元素，故②正确；
对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误；
对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误.
故选：D.
3．将集合 表示成列举法，正确的是( )
A．{2，3}B．{(2，3)}
C．{x＝2，y＝3}D．(2，3)
【答案】B
【详解】集合表示的是方程组的解构成的集合，其中的元素是数对，且只有一个元素，所以选B .
点睛：本题考查了集合的描述法，属于中档题 .当集合是描述法的形式给出时，一定要注意理解集合中的元素，首先分清是数还是数对（点），其次要看清楚元素的特征性质，在判断元素与集合关系时，必须把握住，在改变集合写法时，必须保证集合相等 .
4．设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.
【详解】设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或.
故选：C
5．年月日凌晨点分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由推出关系可确定结论.
【详解】由题意知：“太空握手”“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”； “空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”，
“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件.
故选：A.
6．设命题，，则（ ）
A．命题p是真命题，：，
B．命题p是真命题，：，
C．命题p是假命题，：，
D．命题p是假命题，：，
【答案】C
【分析】由二次函数的函数值的取值范围判断命题的真假，再写出全称量词的否定.
【详解】因为，所以命题p是假命题.
：，.
故选：C.
7．设，则的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可.
【详解】，，
，，
.
又，故.
则.
故选：C.
8．若，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用基本不等式求得，然后利用不等式的性质求解最值即可.
【详解】因为，，，所以，
所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为.
故选：A.
9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【分析】A选项可以举反例说明，BC选项可以通过作差法来说明，D选项可以通过基本不等式来说明.
【详解】A选项，若，则，A选项错误；
B选项，，
由于，故，，故，
即，B选项正确；
C选项，，由于，故，
即，C选项错误；
D选项，根据基本不等式，，
当且，即时取得等号，此时，D选项错误.
故选：B
10．下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，即方程有实数解，当时，符合题意，当时，由解得的范围即为“是集合的真子集”成立的充要条件，即为所选选项的真子集，进而可得正确选项.
【详解】若“是集合的真子集”
所以，
所以方程有实数解，
当时，由可得，符合题意，
当时，由可得，
所以且，
综上所述：的充要条件为；
即“是集合的真子集”成立充要条件为；
所选集合是的必要不充分条件，则应是所选集合的真子集，
由选项判断A，B，C都不正确，选项D正确；
故选：D.
11．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．B．不等式的解集为
C．D．不等式的解集为
【答案】B
【分析】根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.
【详解】解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
12．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
二、填空题
13．已知，，那么 .
【答案】
【分析】根据题意，利用列举法即可得出结果.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
14．集合，，且⫋，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据⫋，即可得出答案.
【详解】因为集合，，且⫋，
所以.
所以实数的取值范围是：.
15．若集合，若的真子集个数是3个，则的范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得方程有两个不相等的根，所以，从而可求出的范围
【详解】因为集合的真子集个数是3个，所以集合中有两个元素，
所以方程有两个不相等的根，
所以，解得，且，
即的范围为，
故答案为：
16．若正实数，满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】由已知得a＝，代入＝＝＝﹣2 （）2+，然后结合二次函数的性质可求．
【详解】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，
所以a＝，
则＝＝＝﹣2 （）2+，
当，即b＝2 时取得最大值．
故答案为：．
【点睛】思路点睛：b+3a＝2ab，可解出，采用二元化一元的方法减少变量，转化为的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.
三、解答题
17．已知集合，集合.
(1)求；
(2)设，若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案.
（2）根据列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，集合，集合，
所以或，.
（2）由（1）得或，
而且，
所以，解得，
所以的取值范围是.
18．解下列不等式
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式和二次函数的关系求解；
（2）将分式不等式转化为一元二次不等式求解.
【详解】（1）因为，所以原不等式的解集为.
（2）由可得，，
即，即，
所以，解得或，
所以解集为.
19．（1）已知，且，求的最小值；
（2）已知，求的最大值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）把化为，然后，展开利用基本不等式即可；
（2）函数变化为，再利用基本不等式即可.
【详解】（1）因为，且，
所以，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为
（2）因为，所以，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为
20．（1）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立；
（2）若，，证明：．
【答案】证明见解析 ．
【分析】（1）运用基本不等式进行证明即可；
（2）根据不等式的性质比较即可.
【详解】（1）因为，
所以由基本不等式，得，，，当且仅当，，时成立，
把上述三个式子的两边分别相加，
得，
即，当且仅当时等号成立．
（2）证明：，，又，，
，则有：，
又，
．
21．已知，，.
(1)若，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，分析命题为真时x的取值范围，由复合命题的真假可得一真一假，由此分情况讨论，求出x的取值范围，即可得答案；
（2）根据p是q的充分条件，得到关于m的不等式组，解可得答案.
【详解】（1）对于，解可得，
若，则，
若，有且只有一个为真命题，则真假或假真，
若真假，即，无解，
若假真，即，解可得或，
综合可得：或，
即的取值范围为；
（2）若是的充分不必要条件，则有，解可得，
即的取值范围为.
22．已知函数．
(1)若对，有成立，求实数a的取值范围；
(2)若，都有，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）判别式大于零即可；（2）讨论对称轴和变量的范围之间的关系，求出函数的最小值，令最小值大于，解出不等式即可.
【详解】（1）因为，
则，
解得或，
故实数的范围为.
（2）由题可知，二次函数的图象开口向上，对称轴为，
当，即时，
时，，
则恒成立；
当，即时，
时，，
则，解得
当，即时，
时，，
则，不成立，
综上可知，实数a的取值范围为.