2023-2024学年云南省宣威市第三中学高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年云南省宣威市第三中学高一上学期第一次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，计算题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依次判断每个选项：值域不满足；定义域不满足；满足；不是函数，得到答案.
【详解】根据图像观察知：值域不满足；定义域不满足；满足；不是函数
故选：
【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解.
2．命题“，”的否定是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】按照全称命题的否定的写法书写即可.
【详解】根据全称命题的否定的写法得到：命题“，”的否定是，.
故答案为D.
【点睛】本题考查了全称命题的否定的写法，满足:换量词，否结论，不变条件，这几点要求，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
3．已知：正整数能被6整除，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分析出命题表示正整数能被3整除，根据能被6整除的正整数一定能被3整除，反之不成立，即可得到答案.
【详解】由题知在命题表示正整数能被3整除，
而能被6整除的正整数一定能被3整除，故前者能够推出后者，
而能被3整除的正整数不一定能被6整除，如9，故后者无法推出前者，
故是的充分不必要条件.
故选：A.
4．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的子集个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】D
【分析】根据自恋数的定义可得集合，再根据交集的定义求出，从而可得答案.
【详解】解：依题意，，，
故，故的子集个数为8．
故选：D．
5．已知函数在R上单调递减，则函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由单调递减得，结合的解析式，根据二次函数的性质即可求单调递增区间.
【详解】由函数在上单调递减可知，
∴开口向下，对称轴为，
∴在上单调递增.
故选：C
6．已知函数，若，则实数的值等于（ ）
A．−6B．−3C．3D．6
【答案】A
【解析】对分成和两种情况，由分段函数解析式和求得的值.
【详解】当时，，不符合，舍去.
当时，.
故选：A
【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
7．不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用必要条件和充分条件的定义判断.
【详解】不等式，解得，
所以不等式成立的一个必要不充分条件是，
故选：C
8．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】利用基本不等式，求得表达式的最小值.
【详解】，，当且仅当时取得最小值.
故选：C
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.
二、多选题
9．下列四个选项能推出的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】等价于，然后逐个分析判断即可.
【详解】，
对于A，当时，，所以，所以A正确，
对于B，当时，，所以，所以B错误，
对于C，当时，，所以，所以C正确，
对于D，当时，，所以，所以D正确，
故选：ACD.
10．已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由可判断C，利用展开和0比即可判断D.
【详解】将点(4,2)代入函数得：，则.
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确.
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.
当时，，即，所以C正确.
当若时，
=
=.
即成立，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了幂函数的性质，
11．（多选）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（ ）
A．2B．C．1D．0
【答案】AB
【分析】根据一次函数的单调性分和两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.
【详解】依题意，当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即；
当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即．
故选AB．
【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.
12．已知函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是奇函数
【答案】AC
【分析】利用函数奇偶新的定义分别进行检验即可判断得出答案.
【详解】是奇函数，是偶函数，
，，
对于选项A：令，
，
则为奇函数，即选项A正确；
对于选项B：令，
，
则为偶函数，即选项B错误；
对于选项C：令，
，
则为偶函数，即选项C正确；
对于选项D：令，
，
则为偶函数，即选项D错误；
综上所述A，C正确，
故选：AC.
三、填空题
13．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
14．函数（，且）的图象过定点 .
【答案】
【解析】由指数函数图象所过定点求解．
【详解】令，得，，即函数图象过定点．
故答案为：．
【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，掌握性质指数函数图象过定点是解这类题的关键．
15．已知一次函数满足，则的解析式为 ．
【答案】或
【解析】设一次函数,代入中,利用待定系数法求得,即可得到解析式
【详解】设,
则,
所以,
解得或
所以或
故答案为：或
【点睛】本题考查已知函数形式求函数解析式,属于基础题
16．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为，，且，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
因为恒成立，所以，.
故答案为：.
四、解答题
17．已知全集，若集合 ，.
（1）若，求；
（2）若, 求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用集合的交集及补集的定义直接求解即可；
（2）由可得，利用集合的包含关系求解即可.
【详解】（1）当时，，所以，
因为，所以；
（2）由得，，
所以
【点睛】本题主要考查了集合的运算及包含关系求参，属于基础题.
五、计算题
18．解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)或
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用一元二次不等式求解方法直接求解即可.
（2）将不等式化为标准的一元二次不等式，然后求解.
（3）将分式不等式转化为一元二次不等式求解.
（4）利用指数函数的性质求解不等式.
【详解】（1）因为，
所以方程有两个不等实根
.又二次函数的图.象开口向上，
所以原不等式的解集为或.
（2）原不等式可化为，
因为，
所以方程无实根，又二次函数的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为，
即.
原不等式等价于
即 即.
故原不等式的解集为.
（4），，
又在定义域上是增函数，，.
故原不等式的解集为.
六、问答题
19．已知不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)为何值时，的解集为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由一元二次不等式解集的端点就是一元二次方程的根，可以列出关于的方程组，求解即可.
（2）当时，若不等式的解集为，则需满足，然后解不等式即可.
【详解】（1）不等式的解集为或，
所以1和是方程的实数根，
方程可化为，
由根与系数的关系知，，
解得.
（2）由（1）知：不等式为，
令，解得，
所以当时，不等式的解集为．
七、解答题
20．已知是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求的值；
(2)求的解析式；
(3)若，求的最值.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)的最小值为，最大值为1.
【分析】（1）根据时的函数关系式，结合函数是奇函数，即可求得；
（2）利用函数是奇函数，结合题意，即可求得的解析式；
（3）根据（2）中所求函数解析式，结合二次函数单调性，即可求得函数值域.
【详解】（1）当时，.，
又是定义在R上的奇函数，
可得；
故，.
（2）当时，；
当时，，
又，
可得时，，
所以.
（3）当时，，
时，取得最大值1，时，取得最小值0；
当时，，
时，取得最小值时，取得最大值0.
综上：当时，的最小值为，最大值为1.
八、问答题
21．已知幂函数是奇函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据为幂函数得到或，根据是奇函数得到，即可得到的解析式；
（2）根据的单调性解不等式即可.
【详解】（1）幂函数是奇函数．
解得或．
又是奇函数，．
函数的解析式为．
（2）在R上单调递增．
则由得：，解得．
的取值范围是．
九、解答题
22．已知函数.
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
(2)判断的奇偶性，并求在区间上的值域.
【答案】(1)函数在区间上单调递增，证明见解析
(2)函数为奇函数，在区间上的值域为
【分析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域.
【详解】（1）在区间上单调递增，证明如下：
，，且，
有.
因为，，且，所以，.
于是，即.
故在区间上单调递增.
（2）的定义域为.
因为，所以为奇函数.
由（1）得在区间上单调递增，
结合奇偶性可得在区间上单调递增.
又因为，，所以在区间上的值域为.