青海省海东市2022届高考一模数学（理）试题(含答案)

这是一份青海省海东市2022届高考一模数学（理）试题(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知全集,集合,则( )
A.B.C.D.
2、设,则( )
A.B.C.D.
3、( )
A.B.C.D.
4、某高校甲､乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1,2,3,4,5,共五个等级）的条形图如图所示,则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是( )
A.3,5B.3,3C.3.5,5D.3.5,4
5、若变量x,y满足约束条件则目标函数的最大值为( )
A.5B.8C.12D.18
6、已知一个圆锥的体积为,任取该圆锥的两条母线a,b,若a,b所成角的最大值为,则该圆锥的侧面积为( )
A.B.C.D.
7、已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A,B,若AB的垂直平分线过E的下顶点C,则E的离心率为( )
A.B.C.D.
8、的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则为( )
A.等腰非等边三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
9、酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100血液中酒精含量在之间为酒后驾车, 及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了,且在停止喝酒以后,他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少,若他想要在不违法的情况下驾驶汽车,则至少需经过的小时数约为( )
（参考数据：,）
A.6B.7C.8D.9
10、已知实数a,b满足,,则( )
A.-2B.0C.1D.2
11、若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有T性质.下列四个函数中,具有T性质的所有函数的序号为( )
①,
②,
③,,
④
A.①③B. ①④C. ①③④D. ②③④
12、已知定义在上的函数,若的最大值为,则的取值最多有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
二、填空题
13、已知平面向量,满足,则与夹角的大小为__________.
14、将五枚质地､大小完全一样的硬币向上抛出,则正面向上的硬币枚数为2或者3的概率为__________.
15、根据抛物线的光学性质可知,从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行,一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示,从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后,回到光源接收器,则该光线经过的路程为________________.
16、已知P为正方体表面上的一动点,且满足,则动点P运动轨迹的周长为_____________.
三、解答题
17、已知在数列中,,,且该数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)已知是数列的前n项和,且,求.
18、为了调查某苹果园中苹果的生长情况,在苹果园中随机采摘了100个苹果.经整理分析后发现,苹果的重量x（单位：）近似服从正态分布,如图所示,已知,.
(1)若从苹果园中随机采摘个苹果,求该苹果的重量在内的概率;
(2)从这100个苹果中随机挑出8个,这8个苹果的重量情况如下.
为进一步了解苹果的甜度,从这8个苹果中随机选出3个,记随机选出的3个苹果中重量在内的个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
19、如图,在四棱锥中,底面ABCD是平行四边形,,,,,M为BC的中点,,.
(1)证明：.
(2)求平面PAD与平面PDM夹角的余弦值.
20、已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,,求a的取值范围.
21、如图,已知双曲线,过向双曲线C作两条切线,切点分别为,,且,.
(1)证明：直线PA的方程为.
(2)设F为双曲线C的左焦点,证明：.
22、在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为,以极点O为坐标原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.
(1)说明曲线C是什么曲线,并写出曲线C的一个参数方程;
(2)设P为曲线C上的一个动点,P到x,y轴的距离分别为,,求的最大值.
23、已知函数.
(1)求不等式的解集.
(2)若不等式的解集为M,且a,证明：.
参考答案
1、答案：D
解析：由题意可得：,则.
故选：D.
2、答案：A
解析：由题意可得：.
故选：A.
3、答案：C
解析：.
故选：C.
4、答案：C
解析：由条形图可得,甲同学共有10门选修课,将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后,第5,6门的成绩等级分别为3,4,故中位数为,乙成绩等级的众数为5.
故选：C.
5、答案：D
解析：根据题意,可画出如下图：
如上图所示,所示的阴影部分为不等式所表示的范围,可知：
当直线平移到过点时,z取得最大值,且最大值为18
故选：D.
6、答案：B
解析：如图,设圆锥的母线长为R,底面半径长为r,
由题可知圆锥的轴截面是等边三角形,
所以,圆锥的体积,解得,
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B.
7、答案：A
解析：由题可知,,
因为AB的垂直平分线过E的下顶点C,所以,则,解得：,所以E的离心率.
故选：A.
8、答案：B
解析：由,可得,所以,
所以.
在中,,故,
因为,所以,因为,所以,
故为直角三角形.
故选：B.
9、答案：C
解析：设该驾驶员至少需经过x个小时才能驾驶汽车,则,所以,则,所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车.
故选：C.
10、答案：B
解析：构建函数,则为奇函数,且在R上单调递增.
由,,
得,,所以.
故选：B.
11、答案：C
解析：,所以,其导函数上存在两点的导函数值乘积为-1,即这两点处的切线互相垂直,满足条件;
,所以恒成立,不满足条件;
,,所以,其导函数上存在两点的导函数值乘积为-1,即这两点处的切线互相垂直,满足条件;
,所以,函数单调递增,且,,其导函数上存在两点的导函数值的乘积为-1,即这两点处的切线互相垂直,满足条件.
故选：C.
12、答案：A
解析： ,则
若的最大值为,分两种情况讨论：
①当,即时,根据正弦函数的单调性可知,,解得;
②当,即时,根据正弦函数的单调性可知,在上单调递增,所以,结合函数与在上的图像可知,存在唯一的,使得.
综上可知,若的最大值为,则的取值最多有2个.
故选：A.
13、答案：
解析：知平面向量,满足,则与夹角的大小
由两边平方得,
即,
因为,所以,
所以,
得.
故答案为：.
14、答案：
解析：设X表示五枚硬币中正面朝上的硬币数量,
则.
故答案为：.
15、答案：12
解析：由得,
设,,
由抛物线性质,BC与x轴的交点即为抛物线的焦点,
,,,
所以,
所以该光线经过的路程为12.
故答案为：12.
16、答案：
解析：由,可知,正方体表面上到点A距离最远的点为,
所以P点只可能在面,面ABCD,面上运动,
当P在面ABCD上运动时,如图示,建立平面直角坐标系,
则,
设,由得：,
即,即P点在平面ABCD内的轨迹是以为圆心,以为半径的一段圆弧,
因为,故 ,
所以P点在面ABCD内的轨迹的长即为
同理,P点在面内情况亦为;
P点在面上时,因为,,
所以,
所以此时P点轨迹为以B为圆心,2为半径的圆弧,
其长为 ,
综上述,P点运动轨迹的周长为,
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意得,
所以数列为等差数列,
又,,所以数列的公差为,
所以,即.
（2）由（1）知
,
则.
18、答案：(1)0.2;
(2)分布列答案见解析,数学期望为.
解析：（1）已知苹果的重量x（单位：）近似服从正态分布,
由正态分布的对称性可知,
,
所以从苹果园中随机采摘个苹果,该苹果的重量在内的概率为0.2.
（2）由题意可知,随机变量X的所有可能取值为1、2、3,
,;,
所以,随机变量X的分布列为：
所以.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：在中,,,,由余弦定理可得,
所以,所以.
由题意,且,所以平面PDM,
而平面PDM,所以,又,所以.
（2）由,,而AB与DM相交,所以平面ABCD,
因为,所以.
如图,取AD的中点E,连接ME,则ME,DM,PM两两垂直,
以点M为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,则,,,
所以,.
由（1）得平面PDM,所以平面PDM的一个法向量.
设平面PAD的法向量为,
则,即
令,则,,,
则,
所以平面PAD与平面PDM夹角的余弦值为.
20、答案：(1)在上单调递减,在上单调递增
(2)
解析：（1）当时,,
令,则,所以在R上单调递增.
又因为,所以当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
（2）,且.
①当时,由（1）可知当时,所以在上单调递增,则,符合题意.
②当时,,不符合题意,舍去.
③当时,令,则,
则,,当时,,所以在上单调递减,
当时,,不符合题意,舍去.
综上,a的取值范围为.
21、答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：（1）显然直线PA的斜率存在,设直线PA的方程为,
联立得,
则,化简得.
因为方程有两个相等实根,故切点A的横坐标
,得,则,
故,则,即.
（2）同理可得,又与均过,
所以,
故,,,
,
又因为,所以,
则,
,
故,故.
22、答案：(1)曲线C是焦点在y轴上的椭圆,参数方程为（为参数）
(2)5
（1）由化简可得：
则可化为：
由,代入上式后可得：
故曲线C是焦点在y轴上的椭圆
故曲线C的一个参数方程为：,（为参数）
（2）由（1）,并结合椭圆的对称性,不妨设,
则有：,
故有：
可得：当时,取得最大值,且最大值为5
23、答案：(1);
(2)答案见解析.
解析：（1）当时,,由,得,所以;
当时,,由,得,所以.
综上,不等式的解集为.
（2）易知或,
,
因为a,,所以,,所以,
所以.
重量范围（单位：）
个数
2
4
2
X
1
2
3
P