八年级上学期第三次月考数学试卷

这是一份八年级上学期第三次月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列医疗图标中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算结果为a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a2•a3 C．（a3）2D．a12÷a2
3．计算a3•（﹣a）2的结果是（ ）
A．a5B．﹣a5C．a6D．﹣a6
4．下列计算正确的是（ ）
A．8ab﹣3a＝5bB．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a+1）2＝a2+1D．2a2b÷b＝2a2
5．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．AASD．SAS
6．如图①，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形．若将阴影部分通过割、拼，形成新的图形②．则下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2
C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）在平面直角坐标系中，点（1，﹣7）关于y轴对称的点的坐标是 ．
8．（3分）分解因式：﹣16x2+9y2＝ ．
9．（3分）正八边形的每一个内角的度数为 度．
10．（3分）若多项式a2+ka+9是完全平方式，则常数k的值为 ．
11．（3分）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是 ．
12．（3分）一个长方形的面积为（12ab2﹣9a2b），若一边长为3ab，则它的另一边长为 ．
13．（3分）如图，点C在BD上，∠B＝∠D＝40°，AB＝CD，BC＝DE，则∠ACE的度数是 ．
14．（3分）如图．在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，点E、F分别是边AB、AC上的点．将△ABC沿直线EF翻折，使点A与点C重合．点P是直线EF上的任意一点，连接PD、PC．若BC＝3，△ABC的面积为9．则△CDP周长的最小值为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）化简：（x2y3）4+（﹣x）8•（y6）2．
16．（5分）分解因式2m2﹣4mn+2n2．
17．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E是AC上一点，ED⊥BC于点D，DE的延长线交BA的延长线于点F．求证：△AEF是等腰三角形．
18．（5分）先化简，再求值：（x+y）2﹣2x（x+3y）+（x+y）（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝2．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）已知2x+5y﹣3＝0，试求4x•32y的值．
20．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．在图①、图②、图③中分别画一个与△ABC有一条公共边且与△ABC成轴对称的三角形，要求所画三角形不完全重合．
21．（7分）已知多项式ax﹣b与x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2．试求ab的值．
22．（7分）如图，过△ABC的顶点A作AD∥BC，∠ABC＝48°，P为AB的中点，点E为射线AD上（不与点A重合）的任意一点，连接EP，并使EP的延长线交射线BC于点F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）当EF＝2BF时，求∠BFP的度数．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某小区院内有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米（a＞0）的长方形地，现在物业部门计划将该地的周围进行绿化（如图中阴影部分）．中间部分将修建一长方形景点．
（1）用含a、b的式子表示绿化的面积；
（2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
24．（8分）[感知]如图①，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D和E．易知PD＝PE（不需要证明）；
[探究]如图②，在△ABC中，AD是它的角平分线．若AB：AC＝5：3．求△ABD与△ACD的面积比；
[应用]如图③．△ABC的周长是8．BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．OD⊥BC于点D．若OD＝2，则△ABC的面积为 ．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）【教材呈现】：图①，图②，图③分别是华东师大版八年级上册数学教材第33页、第34页和第52页的图形，结合图形解决下列问题：
（1）分别写出能够表示图①、图②中图形的面积关系的乘法公式： ， ．
（2）图③是用四个长和宽分别为a，b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系： ．
【结论应用】根据上面（2）中探索的结论，回答下列问题：
（3）当m+n＝5，mn＝﹣1时，求m﹣n的值；
（4）设A＝，B＝m﹣3，化简（A+B）2﹣（A﹣B）2．
26．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°、点D、E分别为AB、AC上的点，且DE/BC，F为线段DE上一动点（不与点D、E重合）．连接AF．过点A作AG⊥AF．并在AF右侧截取AG＝AF．连接BF、CG、EG．
（1）求证：∠ADE＝45°；
（2）求证：△ABF≌△ACG：
（3）求∠FEG的度数：
（4）连接FG交AC于点Q．若△AQG为等腰三角形，直接写出∠AFD的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列医疗图标中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2．下列计算结果为a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a2•a3 C．（a3）2D．a12÷a2
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2与a4 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C．（a3）2＝a6，故本选项符合题意；
D．a12÷a2＝a10，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．计算a3•（﹣a）2的结果是（ ）
A．a5B．﹣a5C．a6D．﹣a6
【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及单项式乘单项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝a3•a2＝a5，
故选：A．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．8ab﹣3a＝5bB．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a+1）2＝a2+1D．2a2b÷b＝2a2
【分析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、8ab、﹣3a不是同类项，不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝9a4b2，故B不符合题意．
C、原式＝a2+2a+1，故C不符合题意．
D、原式＝2a2，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算以及实数的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
5．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．AASD．SAS
【分析】根据题目中的条件，可以得到OC＝OD，MC＝MD，再根据OM＝OM，即可得到△OMC≌△OMD，并写出依据即可．
【解答】解：由题意可得，
OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．
6．如图①，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形．若将阴影部分通过割、拼，形成新的图形②．则下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2
C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】用代数式分别表示图1、图2阴影部分的面积即可．
【解答】解：图1中，阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
拼成的图2，是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）在平面直角坐标系中，点（1，﹣7）关于y轴对称的点的坐标是 （﹣1，﹣7） ．
【分析】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
【解答】解：点（1，﹣7）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣7）．
故答案为：（﹣1，﹣7）．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
8．（3分）分解因式：﹣16x2+9y2＝ （3y+4x）（3y﹣4x） ．
【分析】根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可推断出﹣16x2+9y2＝（3y+4x）（3y﹣4x）．
【解答】解：﹣16x2+9y2
＝9y2﹣16x2
＝（3y）2﹣（4x）2
＝（3y+4x）（3y﹣4x）．
故答案为：（3y+4x）（3y﹣4x）．
【点评】本题主要考查运用公式法进行因式分解，熟练掌握运用公式法进行因式分解是解题的关键．
9．（3分）正八边形的每一个内角的度数为 135 度．
【分析】利用多边形的外角和为360度，求出正八边形的每一个外角的度数即可解决问题．
【解答】解：∵正八边形的每个外角为：360°÷8＝45°，
∴每个内角为180°﹣45°＝135°．
【点评】本题需仔细分析题意，利用多边形的外角和即可解决问题．
10．（3分）若多项式a2+ka+9是完全平方式，则常数k的值为 ±6 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵a2+ka+9＝a2+ka+32，
∴ka＝±2×a×3，
解得k＝±6．
故答案是：±6．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
11．（3分）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是 95° ．
【分析】如图，由题得∠F＝60°．根据三角形外角的性质，∠2＝∠F+∠5，欲求∠2，需求∠5．根据对顶角的定义，∠5＝∠4．欲求∠5，需求∠4．根据三角形外角的性质，∠4＝∠1﹣∠A，从而解决此题．
【解答】解：如图．
由题意得：∠F＝60°．
∵∠1＝∠A+∠4，
∴∠4＝∠1﹣∠A＝80°﹣45°＝35°．
∵∠4与∠5是对顶角，
∴∠4＝∠5＝35°．
∴∠2＝∠5+∠F＝35°+60°＝95°．
故答案为：95°．
【点评】本题蛀牙考查三角形外角的性质、对顶角，熟练掌握三角形外角的性质、对顶角的定义是解决本题的关键．
12．（3分）一个长方形的面积为（12ab2﹣9a2b），若一边长为3ab，则它的另一边长为 4b﹣3a ．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：（12ab2﹣9a2b）÷3ab＝4b﹣3a，
故答案为：4b﹣3a．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
13．（3分）如图，点C在BD上，∠B＝∠D＝40°，AB＝CD，BC＝DE，则∠ACE的度数是 40° ．
【分析】由SAS证出△ABC≌△CDE，得∠A＝∠ECD，再由三角形内角和定理即可推出结果．
【解答】解：在△ABC与△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠A＝∠ECD，
∵∠B＝∠D＝40°，
∴∠A+∠ACB＝∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠B＝140°，
∴∠ACE＝40°，
故答案为40°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（3分）如图．在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，点E、F分别是边AB、AC上的点．将△ABC沿直线EF翻折，使点A与点C重合．点P是直线EF上的任意一点，连接PD、PC．若BC＝3，△ABC的面积为9．则△CDP周长的最小值为 ．
【分析】连接AP，AD，先证明EF是线段AC的垂直平分线，再得出当AD交EF于点P时，△PCD的周长最小，利用三角形的面积得出AD的长，最后根据△CDP周长＝PC+PD+CD得出结论．
【解答】解：如图，连接AP，AD，
∵将△ABC沿直线EF翻折，使点A与点C重合，
∴AF＝CF，EF⊥AC，
∴EF是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，PA＝PC，
∵PC+PD＝PA+PD≥AD，
∴当AD交EF于点P时，△PCD的周长最小，
∵AB＝AC，D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝×3＝，
∵＝9，
∴AD＝6，
∴△CDP周长的最小值为：PC+PD+CD＝PA+PD+CD
＝AD+CD
＝6+
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的判定和性质及三角形的面积公式等知识，解题的关键是理解题意，得出当AD交EF于点P时，△PCD的周长最小是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）化简：（x2y3）4+（﹣x）8•（y6）2．
【分析】根据积的乘方与幂的乘方解决此题．
【解答】解：（x2y3）4+（﹣x）8•（y6）2
＝x8y12+x8y12
＝2x8y12．
【点评】本题主要考查积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方是解决本题的关键．
16．（5分）分解因式2m2﹣4mn+2n2．
【分析】先提公因式，再逆用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：2m2﹣4mn+2n2
＝2（m2﹣2mn+n2）
＝2（m﹣n）2．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
17．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E是AC上一点，ED⊥BC于点D，DE的延长线交BA的延长线于点F．求证：△AEF是等腰三角形．
【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，再根据FD⊥BC，得出∠C+∠CED＝90°，∠B+∠BFD＝90°，从而得出∠AEF＝∠BFD，再根据对顶角相等得出∠F＝∠AEF，最后根据等角对等边即可得出答案．
【解答】证明：∵DF⊥BC，
∴∠B+∠F＝90°，
∠C+∠DEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠F＝∠DEC，
∵∠AEF＝∠DEC，
∴∠F＝∠AEF，
∴△AEF是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠F＝∠AEF，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．
18．（5分）先化简，再求值：（x+y）2﹣2x（x+3y）+（x+y）（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝2．
【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式分别化简，再合并同类项，进而把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2+2xy+y2﹣2x2﹣6xy+x2﹣y2
＝﹣4xy，
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝﹣4×（﹣1）×2＝8．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）已知2x+5y﹣3＝0，试求4x•32y的值．
【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算进行计算即可．
【解答】解：∵2x+5y﹣3＝0，
∴2x+5y＝3，
∵4x•32y＝22x•25y，
∴原式＝22x+5y＝23＝8．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
20．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．在图①、图②、图③中分别画一个与△ABC有一条公共边且与△ABC成轴对称的三角形，要求所画三角形不完全重合．
【分析】根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解．
【解答】解：如图所示，△DBC、△BCE、△BCF即为所求．
【点评】本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
21．（7分）已知多项式ax﹣b与x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2．试求ab的值．
【分析】根据多项式乘多项式乘法法则解决此题．
【解答】解：（ax﹣b）•（x2﹣x+2）
＝ax3﹣ax2+2ax﹣bx2+bx﹣2b
＝ax3﹣（a+b）x2+（2a+b）x﹣2b．
∵多项式ax﹣b与x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的二次项，常数项为2，
∴2a+b＝0，﹣2b＝2．
∴a＝，b＝﹣1．
∴ab＝．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
22．（7分）如图，过△ABC的顶点A作AD∥BC，∠ABC＝48°，P为AB的中点，点E为射线AD上（不与点A重合）的任意一点，连接EP，并使EP的延长线交射线BC于点F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）当EF＝2BF时，求∠BFP的度数．
【分析】（1）根据AAS证明：△APE≌△BPF便可得结论；
（2）由（1）中的全等得，EF＝2PF，所以PF＝BF，由等边对等角可得结论．
【解答】解：（1）证明：∵P是AB的中点，
∴PA＝PB，
∵AD∥BC，
∴∠EAP＝∠B，
在△APE和△BPF中，
，
∴△APE≌△BPF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）由（1）得：△APE≌△BPF，
∴PE＝PF，
∴EF＝2PF，
∵EF＝2BF，
∴BF＝PF，
∴∠BPF＝∠B＝48°，
∴∠BFP＝180°﹣48°﹣48°＝84°．
【点评】本题考查了三角形全等的判定以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某小区院内有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米（a＞0）的长方形地，现在物业部门计划将该地的周围进行绿化（如图中阴影部分）．中间部分将修建一长方形景点．
（1）用含a、b的式子表示绿化的面积；
（2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
【分析】（1）根据题意可得阴影部分的面积等于大长方形面积减小长方形的面积，列出式子即可；
（2）将a＝3，b＝2代入（1）中的式子即可求解．
【解答】解：（l）（3a+b）（2a+b）﹣（2a+b）（a+b）
＝6a2+3ab+2ab+b2﹣（2a2+2ab+ab+b2）
＝6a2+5ab+b2﹣2a2﹣3ab﹣b2
＝4a2+2ab，
故绿化的面积是（4a2+2ab）平方米；
（2）将a＝3，b＝2代入4a2+2ab中得4×32+2×3×2＝48（平方米），
答：当a＝3，b＝2时的绿化面积为48平方米．
【点评】本题主要考查了列代数式及多项式乘多项式，理解题意掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
24．（8分）[感知]如图①，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D和E．易知PD＝PE（不需要证明）；
[探究]如图②，在△ABC中，AD是它的角平分线．若AB：AC＝5：3．求△ABD与△ACD的面积比；
[应用]如图③．△ABC的周长是8．BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．OD⊥BC于点D．若OD＝2，则△ABC的面积为 8 ．
【分析】[探究]首先过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD是△ABC角平分线，根据角平分线的性质，即可得DF＝DE，又由S△ABD＝AB•DE，S△ACD＝AC•CD，即可得S△ABD：S△ACD＝AB：AC，继而求得答案；
[应用]连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，由角平分线的性质得OD＝OE＝OF，进而计算△OAB、△OAC、△OBC的面积和便可得结果．
【解答】解：[探究]过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC角平分线，
∴DF＝DE，
∵S△ABD＝AB•DE，S△ACD＝AC•CD，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝5：3．
[应用]连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，
∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，
∴OD＝OE＝OF＝2，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC
＝AB•OE+AC•OF+BC•OD
＝（AB+AC+BC）•OD
＝×8×2＝8，
故答案为：8．
【点评】此题考查了角平分线的性质与三角形的面积．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）【教材呈现】：图①，图②，图③分别是华东师大版八年级上册数学教材第33页、第34页和第52页的图形，结合图形解决下列问题：
（1）分别写出能够表示图①、图②中图形的面积关系的乘法公式： （a+b）2＝a2+2ab+b2 ， （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ．
（2）图③是用四个长和宽分别为a，b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系： （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ．
【结论应用】根据上面（2）中探索的结论，回答下列问题：
（3）当m+n＝5，mn＝﹣1时，求m﹣n的值；
（4）设A＝，B＝m﹣3，化简（A+B）2﹣（A﹣B）2．
【分析】（1）根据图①、图②中各个部分面积之间的关系得出乘法公式；
（2）根据大正方形的面积等于小正方形面积与4个矩形面积的和可得答案；
（3）由（2）的结论，根据关系式可求答案；
（4）由完全平方公式可得（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4AB，再代入求值即可．
【解答】解：（1）图①大正方形的边长为a+b，根据各个部分面积之间的关系可得，
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
图②中，最大的正方形的边长为a，较小的正方形的边长为a﹣b，最小的正方形的边长为b，根据各个部分面积之间的关系得，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（2）根据大正方形的面积等于小正方形面积与4个矩形面积的和可得，
（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）由（2）可得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，
∵m+n＝5，mn＝﹣1，
∴25＝（m﹣n）2﹣4，
即（m﹣n）2＝29，
∴m﹣n＝±，
答：m﹣n的值为±；
（4）由完全平方公式得，
（A+B）2﹣（A﹣B）2＝A2+2A•B+B2﹣A2+2A•B﹣B2＝4A•B，
当A＝，B＝m﹣3时，
原式＝4××（m﹣3）＝m2﹣9．
【点评】本题考查完全平方公式及其应用，掌握完全平方公式的结构特点是正确应用的前提，适当的变形是得出答案的关键．
26．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°、点D、E分别为AB、AC上的点，且DE/BC，F为线段DE上一动点（不与点D、E重合）．连接AF．过点A作AG⊥AF．并在AF右侧截取AG＝AF．连接BF、CG、EG．
（1）求证：∠ADE＝45°；
（2）求证：△ABF≌△ACG：
（3）求∠FEG的度数：
（4）连接FG交AC于点Q．若△AQG为等腰三角形，直接写出∠AFD的度数．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质解答即可；
（2）根据SAS证明△ABF和△ACG全等即可；
（3）根据SAS证明△DAF和△EAG全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（4）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°．
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝45°．
（2）证明：∵∠BAC＝90°，∠FAG＝90°，
∴∠BAF＝∠CAG．
∵AB＝AC，AF＝AG，
在△ABF和△ACG中，
，
∴△ABF≌△ACG（SAS）．
（3）解：由（1）可得：
，
∴△ADE∽△ABC，
∴AB＝AC，AD＝AE，
在△DAF和△EAG中，
，
∴△DAF≌△EAG（SAS），
∴∠AEG＝∠ADF，
∵∠ADF+∠AEF＝90°，
∴∠FEG＝∠AEF+∠AEG＝∠AEF+∠ADF＝90°；
（4）解：如图：
由于△AQG为等腰三角形，
∴∠GAQ＝∠AGQ，
∵AF⊥AG，AF＝AG，
∴∠AFQ＝∠AGQ＝45°，
∴∠GAQ＝45°，
由（2）得∠BAF＝∠CAG，
∴∠DAF＝∠GAQ＝45°，
在△DAF中，∠DAF＝∠ADF＝45°，
∴∠AFD＝180°﹣∠DAF﹣∠ADF＝90°．
还有一种情况，∠AFD＝67.5°．，
综上所述，67.5°或90°．