八年级上学期月考数学试卷（10月份） (4)

这是一份八年级上学期月考数学试卷（10月份） (4)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，4D．2，3，5
2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
3．如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
4．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
5．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．BF＝EC
6．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ）
A．12B．13C．14D．15
7．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（ ）
A．4：3：2B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
8．如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（ ）
A．100米B．110米C．120米D．200米
9．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，那么边AB的取值范围为（ ）
A．1＜AB＜9B．3＜AB＜13C．5＜AB＜13D．9＜AB＜13
10．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（3分×6＝18分）
11．过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和为 ．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是 ．
13．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE＝ 度．
14．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ．
15．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 ．
16．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过 秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）如图所示，在△ABC中：
（1）画出BC边上的高AD和中线AE．
（2）若∠B＝30°，∠ACB＝130°，求∠BAD和∠CAD的度数．
18．（6分）如图，点 A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，∠BCA＝∠F，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．
19．（7分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
20．（7分）如图所示，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OP，OQ为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠POQ的平分线航行，航行途中，某时测得船所在的位置C与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？并说明你的理由．
21．（8分）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T（3，1）＝＝，T（m，﹣2）＝．
（1）填空：T（4，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；
（2）若T（﹣2，0）＝﹣2，且T（5，﹣1）＝6．①求a与b的值；
②若T（3m﹣10，﹣3m）＝T（﹣3m，3m﹣10），求m的值．
22．（8分）如图，BE、CF是△ABC的高，M为BE上一点，且BM＝AC，N为CF延长线上一点，且CN＝AB．试判断AM与AN的关系，并证明你的结论．
23．（8分）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD＝2AE．
24．（10分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），连接CE．
（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD；
（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC＝CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出BC、CE、CD之间存在的数量关系．
25．（12分）在平面直角坐标系中，A（﹣5，0），B（0，5），点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E．
（1）如图①，若C（3，0），求点E的坐标；
（2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC＜5，其它条件不变，连接DO，求证：DO平分∠ADC；
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当OC+CD＝AD时，求∠OBC的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题（3分×10＝30分）
1．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，4D．2，3，5
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：A、1+1＝2，不满足三边关系，故错误；
B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；
C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；
D、2+3＝5，不满足三边关系，故错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．
【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
3．如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】由直角三角板的性质和三角形外角的性质可知∠3＝∠1+30°，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠3＝∠1+30°＝70°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
4．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是b、c边的夹角，然后写出即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是72°．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．
5．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．BF＝EC
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：选项A、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
6．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】多边形的内角和比外角和的2倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是900度，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，进而求出对角线的条数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180＝360°×2+180°，
解得：n＝7．
则这个多边形的边数是7，
七边形的对角线条数为＝14，
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
7．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（ ）
A．4：3：2B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
【分析】根据角平分线的性质得到点O到AB、AC、BC的距离相等，设O到AB、AC、BC的距离为h，利用面积公式得到S△OAB：S△OBC：S△OAC＝（•h•AB）：（•h•BC）：（•h•AC）．
【解答】解：∵O是△ABC三条角平分线交点，
∴点O到AB、AC、BC的距离相等，
设O到AB、AC、BC的距离为h，
∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝（•h•AB）：（•h•BC）：（•h•AC）
＝AB：BC：AC
＝16：12：8
＝4：3：2．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了三角形面积公式．
8．如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（ ）
A．100米B．110米C．120米D．200米
【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以10m即可．
【解答】解：∵每次小明都是沿直线前进10米后向左转36°，
∴他走过的图形是正多边形，
边数n＝360°÷36°＝10，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×10＝100米．
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．
9．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，那么边AB的取值范围为（ ）
A．1＜AB＜9B．3＜AB＜13C．5＜AB＜13D．9＜AB＜13
【分析】作辅助线（延长AD至E，使DE＝AD＝4，连接BE）构建全等三角形△BDE≌△ADC（SAS），然后由全等三角形的对应边相等知BE＝AC＝5；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得AB的取值范围．
【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD＝4，连接BE．则AE＝8，
∵AD是边BC上的中线，D是中点，
∴BD＝CD；
又∵DE＝AD，∠BDE＝∠ADC，∴△BDE≌△ADC，
∴BE＝AC＝5；
由三角形三边关系，得AE﹣BE＜AB＜AE+BE，
即8﹣5＜AB＜8+5，
∴3＜AB＜13；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．解答该题时，围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定对应线段相等．
10．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质一一判断即可．
【解答】解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确
∵∠DOF＝∠AOE，
∴∠DFO＝∠EAO＝90°，
∴BD⊥EC，故②正确，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∴∠AFE＝45°，故④正确，
若③成立，则∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，
所以AF不一定平分∠CAD，故③错误，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（3分×6＝18分）
11．过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和为 1800° ．
【分析】从多边形一个顶点可作9条对角线，则这个多边形的边数是12，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：∵过多边形的一个顶点共有9条对角线，
故该多边形边数为12，
∴（12﹣2）•180°＝1800°，
∴这个多边形的内角和为1800°．
故答案为：1800°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是 6 ．
【分析】根据三角形的面积公式，得△ABE的面积是△ABD的面积的一半，△ABD的面积是△ABC的面积的一半．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC＝12．
∵BE是△ABD的中线，
∴S△ABE＝S△ABD＝6．
故答案为：6
【点评】此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．
13．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE＝ 10 度．
【分析】由三角形内角和定理得出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，由角平分线定义和垂线的性质得出∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝40°，∠ADB＝90°，由直角三角形的性质求出∠BAD＝90°﹣∠B＝30°，即可得出结果．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AE平分∠BAC，AD⊥BC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝40°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝30°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°；
故答案为：10．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、直角三角形的性质；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ 67° ．
【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角定义计算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根据角平分线定义得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，然后再利用三角形内角和计算∠AEC的度数．
【解答】解：∵∠B＝46°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，
∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，
∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，
∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，
∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，
∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．
故答案为：67°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．本题的关键是利用邻补角或三角形外角性质把∠B和∠E联系起来．
15．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 30 ．
【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝4，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD可求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
＝AB•DE+BC•CD，
＝×6×4+×9×4，
＝30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝4是解题的关键．
16．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过 0，3，9，12 秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．
【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC＝BE，AC＝BD进行计算即可．
【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6，
∴BE＝6，
∴AE＝2﹣6＝6，
∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，
AC＝12+6＝18，
点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝12+12＝24，
点E的运动时间为24÷2＝12（秒），
故答案为：0，3，9，12．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）如图所示，在△ABC中：
（1）画出BC边上的高AD和中线AE．
（2）若∠B＝30°，∠ACB＝130°，求∠BAD和∠CAD的度数．
【分析】（1）延长BC，作AD⊥BC于D；作BC的中点E，连接AE即可；
（2）可根据三角形的内角和定理求∠BAC＝20°，由外角性质求∠CAD＝40°，那可得∠BAD＝60°．
【解答】解：（1）如图：
（2）∵∠B＝30°，∠ACB＝130°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣130°＝20°，
∵∠ACB＝∠D+∠CAD，AD⊥BC，
∴∠CAD＝130°﹣90°＝40°，
∴∠BAD＝20°+40°＝60°．
【点评】此题是计算与作图相结合的探索．考查学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、三角形内角和外角等基础知识解决问题的能力．
18．（6分）如图，点 A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，∠BCA＝∠F，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF即可．
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
19．（7分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF＝∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
20．（7分）如图所示，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OP，OQ为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠POQ的平分线航行，航行途中，某时测得船所在的位置C与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？并说明你的理由．
【分析】只要证明轮船与O点的连线平分∠AOB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠AOP＝∠BOP，证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．
【解答】解：此时轮船没有偏离航线，
理由：连接OC，
在△AOC与△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
故此时轮船没有偏离航线．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是：根据条件设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找对应角相等．要学会把实际问题转化为数学问题来解决．
21．（8分）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T（3，1）＝＝，T（m，﹣2）＝．
（1）填空：T（4，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；
（2）若T（﹣2，0）＝﹣2，且T（5，﹣1）＝6．①求a与b的值；
②若T（3m﹣10，﹣3m）＝T（﹣3m，3m﹣10），求m的值．
【分析】（1）利用新运算的规定解答即可；
（2）①利用新运算的规定得到关于a，b的方程，解方程即可求得结论；
②利用新定义的规定列出关于m的等式，再将①解答即可．
【解答】解：（1）T（4，﹣1）＝，
故答案为：；
（2）①∵T（﹣2，0）＝﹣2，
∴＝﹣2，
∴a＝1．
∵T（5，﹣1）＝6，
∴＝6，
∴25a+b＝24，
∴b＝24﹣25＝﹣1，
∴a＝1，b＝﹣1．
②∵T（3m﹣10，﹣3m）＝T（﹣3m，3m﹣10），
∴＝，
∴9m2﹣60m+100﹣9m2＝9m2﹣9m2+60m﹣100，
∴﹣120m＝﹣200，
∴m＝．
经检验，m＝是原方程的根，
∴m＝．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解分式方程，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
22．（8分）如图，BE、CF是△ABC的高，M为BE上一点，且BM＝AC，N为CF延长线上一点，且CN＝AB．试判断AM与AN的关系，并证明你的结论．
【分析】由于BE，CF是高，则∠AEB＝∠AFC＝90°，根据等角的余角相等得到∠ABE＝∠ACF，然后根据“SAS”可判断△ABM≌△NCA，则AM＝AN，∠BAM＝∠CNA，由于∠CNA+∠NAF＝90°，则∠NAF+∠BAM＝90°，所以AM⊥AN．
【解答】解：AM＝AN且AM⊥AN．
证明：∵BE，CF是高，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝∠FAC+∠ACF，
∴∠ABE＝∠ACF，
在△ABM和△NCA中，
，
∴△ABM≌△NCA（SAS），
∴AM＝AN，∠BAM＝∠CNA，
∵CF是△ABC的高，
∴∠CNA+∠NAF＝90°，
∴∠NAF+∠BAM＝90°，
∴AM⊥AN．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
23．（8分）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD＝2AE．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，即可得到结论；
（2）由CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得到∠F＝∠CEA＝90°，推出Rt△FAC≌Rt△EAC，根据全等三角形的性质得到AF＝AE，由△BCE≌△DCF，得到BE＝DF，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F＝∠CEA＝90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，
，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF＝AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE＝DF，
∴AB+AD＝（AE+BE）+（AF﹣DF）
＝AE+BE+AE﹣DF＝2AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△BCE≌Rt△DCF和RT△ACF≌RT△ACE是解题的关键．
24．（10分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），连接CE．
（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD；
（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC＝CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出BC、CE、CD之间存在的数量关系．
【分析】（1）只要证明△ABD≌△ACE（SAS），可得BD＝CE，即可推出BC＝BD+CD＝EC+CD；
（2）不成立，存在的数量关系为CE＝BC+CD．利用全等三角形的性质即可证明；
（3）结论：CD＝BC+CE．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝CE+CD；
（2）不成立，存在的数量关系为CE＝BC+CD．
理由：如图2，由（1）同理可得，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD；
（3）如图3，结论：CD＝BC+EC．
理由：由（1）同理可得，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴CD＝BC+BD＝BC+CE，
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．
25．（12分）在平面直角坐标系中，A（﹣5，0），B（0，5），点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E．
（1）如图①，若C（3，0），求点E的坐标；
（2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC＜5，其它条件不变，连接DO，求证：DO平分∠ADC；
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当OC+CD＝AD时，求∠OBC的度数．
【分析】（1）可证明△AOE≌△BOC，从而得出OE＝OC，进而求得；
（2）过O作OM⊥DA于M，ON⊥DC于N，根据△AOE≌△BOC，得S△AOE＝S△BOC，从而得出OM＝ON，进而得证；
（3）延长DC至F，是CF＝OC，从而得出△ADO≌△FDO，进而得出∠OBC＝∠F＝∠COF，在△BOF中，根据三角形内角和求得结果．
【解答】（1）解：如图1，
∵AD⊥BC，AO⊥BO，
∴∠AOE＝∠BDE＝∠BOC＝90°，
∴∠OAE+∠ACD＝90°，
∠OBC+∠ACD＝90°，
∴∠OAE＝∠OBC，
∵A（﹣5，0），B（0，5），
∴OA＝OB＝5．
在△AOE和△BOC中，
，
∴△AOE≌△BOC（ASA），
∴OE＝OC，
∴点C坐标为（3，0），
∴OE＝OC＝3，
∴E（0，3）；
（2）证明：如图2，
过O作OM⊥DA于M，ON⊥DC于N，
由（1）知，
△AOE≌△BOC，
∴S△AOE＝S△BOC，
∴，
又AE＝BC，
∴OM＝ON，
又OM⊥AE，ON⊥BC，
∴DO平分∠ADC；
（3）解：（方法一）如图3，
在DA上截取DP＝DC，连接OP，
又∠PDO＝∠CDO，OD＝OD，
∴△OPD≌△OCD（SAS），
∴OC＝OP，∠OPD＝∠OCD，
∵OC+CD＝AD，
∴OC＝AD﹣CD，
∴AD﹣DP＝OP，
即AP＝OP，
∴∠PAO＝∠POA，
∴∠OPD＝∠PAO+∠POA＝2∠PAO＝∠OCB，
又∵∠PAO+∠OCD＝90°，
∴3∠PAO＝90°，
∴∠PAO＝30°，
∵∠OAP＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠PAO＝30°；
（方法二）如图4，
延长DC至F，是CF＝OC，
∴∠F＝∠COF，
∴∠DCO＝∠F+∠COF＝2∠F，
∵OC+CD＝AD，
∴CF+CD＝AD，
即DF＝AD，
由（2）知，
∠ADO＝∠ODC，
∵OD＝OD，
∴△ADO≌△FDO（SAS），
∴∠F＝∠OAE，
∵∠OAE＝∠OBC，
∴∠F＝∠OBC，
在△BOF中，
∠F+∠BOF+∠OBC＝180°，
∴∠OBC+（90°+∠OBC）+∠OBC＝180°，
∴∠OBC＝30°．