初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似8 图形的位似课后测评

这是一份初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似8 图形的位似课后测评，共14页。试卷主要包含了下列关于位似图形的表述等内容，欢迎下载使用。

基础过关全练
知识点1 位似变换的定义及性质
1.下列关于位似图形的表述:①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,且对应边平行或共线,那么,这两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.其中正确命题的序号是( )
A.②③ B.①②
C.③④ D.②③④
2.(2022河北滦州期中)图中两个四边形是位似图形,它们的位似中心是( )
A.点M B.点N C.点O D.点P
3.(2022河南邓州期末)如图,△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的,若AA'∶OA'=2∶3,则下列说法错误的是( )
A.△A'OB'∽△AOB
B.A'B'∥AB
C.点O到A'B'与AB的距离之比为3∶5
D.△A'B'C'与△ABC的面积之比为3∶5
4.(2020甘肃兰州中考)如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似,位似中心为点O,OC=6,CC'=4,AB=3,则A'B'= .
知识点2 利用位似变换作图
5.如图,已知五边形ABCDE,试把它的边缩小为原来的12,你能用几种方法?尽可能地用不同方法画图.
知识点3 平面直角坐标系中的位似变换
6.(2023广东广州二中期末)如图,在平面直角坐标系中,以点O为位似中心,把△AOB的边扩大后得到△COM,使得△AOB∽△COM,则点M与图中的( )
A.点D重合 B.点E重合
C.点F重合 D.点G重合
7.(2022贵州黔西南州中考)如图,在平面直角坐标系中,△OAB与△OCD位似,位似中心是坐标原点O.若点A(4,0),点C(2,0),则△OAB与△OCD周长的比值是 .
8.【易错题】【新独家原创】如图,在平面直角坐标系中,已知等边三角形ABC的顶点B,C的坐标为(1,0),(3,0),以原点O为位似中心,相似比为2把△ABC的边放大,则点A的对应点A'的坐标为 .
9.(2023河北保定竞秀期中)在如图的方格纸中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(-2,-1),B(-1,-3),△O1A1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ;
(2)以原点O为位似中心,在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2,使它与△OAB的相似比为2∶1;
(3)△OAB的内部一点M的坐标为(a,b),直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 .
能力提升全练
10.(2023河北晋州期中,16,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为1∶4,点A,B,E在x轴上,若正方形ABCD的边长为3,则F点的坐标为( )
A.(16.5,9) B.(18,12) C.(16.5,12) D.(16,12)
11.(2021山东东营中考,9,★★☆)如图,△ABC中,A、B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,设点B的横坐标是a,则点B的对应点B'的横坐标是( )
A.-2a+3 B.-2a+1
C.-2a+2 D.-2a-2
12.【规律探究题】(2022山东威海中考,10,★★★)下图是由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形,∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°.若S△AOB=1,则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
A.433 B.437 C.436 D.346
13.(2023四川达州通川期末,17,★★☆)如图,在直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,3),B(4,0),C(0,2).
(1)以点O为位似中心,将△ABC的三边缩小为原来的12,得到△A1B1C1,请在y轴的右侧画出△A1B1C1.
(2)在y轴上是否存在点P,使得|B1P-A1P|的值最大?若存在,请求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
素养探究全练
14.【应用意识】如图,某小区原有一矩形花坛,现对小区进行规划,按要求作出相应的位似图形.
(1)在原地将花坛扩建,使各边的对应边变为原来的3倍;
(2)在异地修建一块矩形草坪,使它与花坛的对应边的比为4∶1,你能设计出图纸吗?
15.【运算能力】如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2,b1≠b2,那么称这两个一次函数为“平行一次函数”.如图,已知函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,一次函数y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次函数”.
(1)若函数y=kx+b的图象过点(3,1),求b的值;
(2)若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形,位似中心为原点,相似比为1∶2,求函数y=kx+b的表达式.
答案全解全析
基础过关全练
1.A 相似图形不一定是位似图形,位似图形一定是相似图形,①错误;位似图形一定有位似中心,是对应点的连线所在直线的交点,②正确;如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,且对应边平行或共线,那么,这两个图形是位似图形,③正确;位似图形上任意一组对应点与位似中心的距离之比等于相似比,④错误.正确的为②③.故选A.
2.D 如图,点P为两图形的位似中心,故选D.
3.D ∵AA'∶OA'=2∶3,∴OA'∶OA=3∶5.
∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的,
∴△A'B'C'∽△ABC,A'B'∥AB,∴△OA'B'∽△OAB,∴A'B'AB=OA'OA=35,
则点O到A'B'与AB的距离之比为3∶5,S△A'B'C'S△ABC=A'B'AB2=925,D选项说法错误,符合题意,故选D.
4.5
解析 ∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似,其位似中心为点O,OC=6,CC'=4,∴OCOC'=610=ABA'B',
∵AB=3,∴A'B'=5.故答案为5.
5.解析 解法一:在五边形ABCDE的外部任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE;分别取OA,OB,OC,OD,OE的中点A',B',C',D',E',顺次连接A',B',C',D',E',A',即得五边形A'B'C'D'E',如图.
解法二:在五边形ABCDE的外部任取一点O,作射线AO,BO,CO,DO,EO;在O的另一侧取点A',B',C',D',E',使OA'=12OA,OB'=12OB,OC'=12OC,OD'=12OD,OE'=12OE,顺次连接A',B',C',D',E',A',即得五边形A'B'C'D'E',如图.
解法三:在五边形的内部任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE;分别取OA,OB,OC,OD,OE的中点A',B',C',D',E',顺次连接A',B',C',D',E',A',即得五边形A'B'C'D'E',如图.
解法四:在AB边上取一点O,连接CO,DO,EO;取OA,OB,OC,OD,OE的中点A',B',C',D',E',顺次连接B',C',D',E',A',即得五边形A'B'C'D'E',如图.
解法五:以A点为位似中心,连接AC,AD;分别取AB,AC,AD,AE的中点B',C',D',E',顺次连接B',C',D',E',即得五边形AB'C'D'E',如图.
(其他方法正确亦可)
6.C ∵点A的坐标为(-3,0),点C的坐标为(6,0),∴△AOB与△COM的相似比为1∶2,∵点B的坐标为(-1,2),∴点M的坐标为(2,-4),则点M与点F重合,故选C.
7.2
解析 ∵△OAB与△OCD位似,位似中心是坐标原点O,点A(4,0),点C(2,0),∴△OAB与△OCD的相似比为4∶2=2∶1,∴△OAB与△OCD周长的比值为2.故答案为2.
8.(4,23)或(-4,-23)
解析 如图,取BC的中点D,连接AD,则AD⊥BC.
在Rt△ABD中,∠BAD=12∠BAC=12×60°=30°,BD=12BC=1,
∴AD=AB2-BD2=22-12=3,即A点坐标为(2,3).
若△ABC与其位似图形在位似中心O的同侧,则点A的对应点A'的坐标为(2×2,2×3),即A'(4,23);
若△ABC与其位似图形在位似中心O的两侧,则点A的对应点A'的坐标为(-2×2,-2×3),即A'(-4,-23).
综上所述,点A的对应点A'的坐标为(4,23)或(-4,-23).
9.解析 (1)如图,点P即为所作,P点坐标为(-5,-1).
(2)如图,△OA2B2即为所作.
(3)点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为(2a,2b).
能力提升全练
10.D ∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为1∶4,∴BCEF=OBOE=14,即3EF=OBOB+EF=14,解得EF=12,OB=4,∴F(16,12).故选D.
11.A 设点B'的横坐标为x,则B'、C间的水平距离为-x+1,B、C间的水平距离为a-1,∵△ABC的边长放大到原来的2倍得到△A'B'C,
∴2(a-1)=-x+1,解得x=-2a+3,故选A.
12.C 在Rt△AOB中,∠AOB=30°,∴AB=12OB,
由勾股定理可以求出OB=23OA,
同理,OC=23OB=232OA,……
∴OG=23OF=236OA,
由位似图形的概念可知,△GOH与△AOB位似,且相似比为236,
∵S△AOB=1,∴S△GOH=2362=436,故选C.
13.解析 (1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)在y轴上存在点P,使得|B1P-A1P|的值最大.
若A1,B1,P构成三角形,则|B1P-A1P|∴当A1,B1,P不能构成三角形,即A1,B1,P共线时,|B1P-A1P|的值最大,此时|B1P-A1P|=A1B1,如图.
由A1为OA的中点,B1为OB的中点,且A(3,3),B(4,0)得A132,32,B1(2,0),
设直线A1B1的解析式为y=kx+b,把A132,32,B1(2,0)代入得32k+b=32,2k+b=0,解得k=-3,b=6,
∴直线A1B1的解析式为y=-3x+6,令x=0得y=6,∴P(0,6).
素养探究全练
14.解析 (1)取矩形ABCD的对角线的交点O.
①作射线OA,OB,OC,OD;②分别在射线OA,OB,OC,OD上取点E,F,G,H,使得OEOA=OFOB=OGOC=OHOD=3;③连接EF,FG,GH,HE,四边形EFGH即为所求作的图形,如图.(答案不唯一,合理即可)
(2)能.在矩形ABCD外取一点O.
①作射线OA,OB,OC,OD;②分别在射线OA,OB,OC,OD上取点E,F,G,H,使得OEOA=OFOB=OGOC=OHOD=4;③连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH即为所求作的图形,如图.(答案不唯一,合理即可)
15.解析 (1)由已知得k=-2,
把(3,1)和k=-2代入y=kx+b,得1=-2×3+b,∴b=7.
(2)如图,根据相似比为1∶2,得函数y=kx+b的图象有两种情况:
①不经过第三象限时,过点(1,0)和(0,2),这时函数表达式为y=-2x+2;
②不经过第一象限时,过点(-1,0)和(0,-2),这时函数表达式为y=-2x-2.
综上,函数y=kx+b的表达式为y=-2x+2或y=-2x-2.