江西省九江市修水县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份江西省九江市修水县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共9页。试卷主要包含了已知，若，则______等内容，欢迎下载使用。

说明：1．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．请将答案写在答题卡上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
3．如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
第3题图
4．某校举办文艺会演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，四边形是正方形，延长到点，使，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
第5题图
6．两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他们的做法是：在一间黑暗屋子里的一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小宇在学习了小孔成像的原理后，利用如图所示装置来观察小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔（P）20cm，光屏在距小孔30cm处，小宇测得蜡烛的火焰高度为4cm，则光屏上火焰所成像的高度为（ ）
A．8cmB．6cmC．5cmD．4cm
第6题图
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．一元二次方程配方后得，则的值是______．
8．已知，若，则______．
9．一个不透明的布袋中装有红色、蓝色、白色球共60个，这些球除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红色球的频率稳定在，则布袋中红色球可能有______个．
10．如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是______．
11．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为______．
12．在菱形中，，点在上，．若点是菱形四条边上异于点的一点，，则的长为______．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解方程：（1）；（2）．
14．已知关于x的方程，当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一个根．
15．为了落实“双减”政策，弘扬非遗（非物质文化遗产）传统文化，某校拟组织课外兴趣班的同学参观以下项目：A（修水陶艺），B（修水采茶戏），C（九江山歌），D（德安潘公戏）．小明和小涵随机报名参观其中一项．
（1）“小明参观九江山歌”这一事件是______；（请将正确答案的序号填写在横线上）
①必然事件；②不可能事件；③随机事件．
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小涵参观的项目都是修水的非物质文化遗产的概率．
16．如图，在矩形中，分别是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，作出的边上的中线；
（2）在图2中，以为边作一个菱形．
图1图2
17．台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心．某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．
（1）如果第二天、第三天收到的捐款的增长率相同，求捐款的增长率．
（2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，，交于点，且．
（1）求的长．
（2）求证：．
19．如图，在中，，为的中线，，，连接．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）连接，若，，求的长．
20．如图，在中，，为的中点，四边形是平行四边形，相交于点．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，求的长．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．已知关于x的方程．
（1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
22．如图，，，是边上一点，且．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
（3）当时，请写出线段之间的数量关系，并说明理由．
六、（本大题共12分）
23．将正方形与正方形按图1所示方式放置，点在同一条直线上，点在边上，，连接．
（1）线段的关系为______．
（2）将正方形绕点顺时针旋转一个锐角后，如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）在正方形绕点顺时针旋转一周的过程中，是否存在的时刻？若存在，请直接写出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
图1图2
2023—2024学年度上学期期中考试
九年级数学参考答案
1．C2．C3．A4．A5．D6．B
7．18．209．910．11．2
12．
13．解：（1），配方得．∴或．
∴．
（2），．
因式分解得．∴．
14．解：将代入原方程，得，
∴．∴方程为．
由根与系数的关系可知，
∴方程的另一个根为1．
∴的值为，方程的另一个根为1．
15．解：（1）③
（2）根据题意，列表如下：
由表可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小涵参观的项目都是修水的非物质文化遗产的结果有4种．
∴（小明和小涵参观的项目都是修水的非物质文化遗产）．
16．解：（1）如图1，即为所求．
（2）如图2，四边形即为所求．
图1图2
17．解：（1）设捐款的增长率为，根据题意可列方程
．
解得（不合题意，舍去）．
因此，捐款的增长率为20%．
（2）．
因此，第四天该单位能收到5184元捐款．
18．（1）解：∵，∴．
∵，∴易得．
∴．∴．
（2）证明：∵，，∴．
∵，∴．
19．（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形．
∵，为的中线，∴．
∴四边形为菱形．
（2）解：连接，交于点，如图．
∵四边形为菱形，，∴，，．
∵，∴．
∴．∴．∴．
20．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．∵为的中点，∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，为的中点，∴．∴平行四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是矩形，∴．
∵，，∴是等边三角形．
∴．∵，
∴．
21．（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程总有实数根．
（2）解：①若为底边长，则为腰长，则．
∴，解得．
此时原方程化为，∴，即．
此时的三边长为6，2，2，不能构成三角形，故舍去．
②若为腰长，则中一个为腰长，不妨设，
代入方程得，∴．
则原方程化为，，
∴，即．
此时的三边长为6，6，2，能构成三角形．
综上所述，的三边长为6，6，2．
∴周长为．
22．（1）证明：∵，∴．
∵，∴．∴．
∴．∴．
（2）解：在中，∵，∴．
∵，∴．
由（1）得，∴．
∴．∴．
（3）解：线段之间的数量关系是．
理由：过点作于点．
∵，∴．
∵，，∴∴．
同理可得，∴．
∴．
23．解：（1）
（2）结论仍然成立．
理由如下：如图，设交于点．
∵四边形和四边形是正方形，
∴．
∴，即．
∴．∴，．
∵，
∴．∴，即．
∴．
∴（1）中的结论仍然成立．
（3）存在的时刻，此时或．
提示：①如图，当点旋转到线段上时，过点作于点．
∵，，．
∴是等腰直角三角形．∴．
在中，，∴．
∴．
②如图，当点旋转到线段的延长线上时，过点作于点，
则．∵，∴．
∴是等腰直角三角形．∴．
在中，，
∴．
∴．
∵，
∴．
综上所述，的长为或．
A
B
C
D
A
B
C
D