湖北省荆州市监利市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份湖北省荆州市监利市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共8页。

注意事项：
1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解答题中添加的辅助线、字母和符号等务必标在答题卡对应的图形上．
3．在答题卡上答题，选择题要用2B铅笔填涂，非选择题要用0.5毫米黑色中性笔作答．
★祝考试顺利★
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，将紫荆花图案绕中心旋转度后能与原来的图案互相重合，则的最小值为（ ）
A．45B．72C．30D．60
3．关于的方程的一个根是2，则的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．已知二次函数，若随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
7．已知拋物线与轴交于点，则两点之间的距离是（ ）
A．4B．6C．8D．10
8．已知的弦，点是弦的中点，作射线交于点，若，则的半径长是（ ）
A．12B．10C．8D．16
9．若二次函数的自变量和函数值如下表所示，那么方程的一个近似根是（ ）
A．B．C．0.4D．1.3
10．如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点，如此进行下去，若是其中某段抛物线上一点，则的值为（ ）
A．B．3C．D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为______．
12．已知的直径是的弦，且，垂足为，若，则的长为______．
13．把抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______．
14．已知是关于的方程的两个实数根，且，则的值是______．
15．如图是一座抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面的宽度为4米；那么当水位下降1米时，水面的宽度为______米．
（第15题图）
16．某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为的矩形车棚，其中一面靠墙（墙的可用长度为），另外三面用长的木板材料新建板墙．根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个宽的门，为了方便学生取车，施工方决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图），使得停放自行车的面积为，那么小路的宽度为______米．
（第16题图）
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（本题满分8分）解方程：
（1）（2）
18．（本题满分8分）如图，是的直径，弦与相交于点为劣弧的中点，若，
（1）求的半径；
（2）求弦的长．
19．（本题满分8分）如图，在方格网中已知格点，用无刻度直尺按要求画图．
（1）在方格网中画出关于点对称的图形；
（2）在方格网中画出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形．
20．（本题满分8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）若该方程的一个实数根为，求另一个实数根；
（2）若该方程的两个不相等的实数根为和，且，求的值．
21．（本题满分8分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量约为25万辆，2022年出口量约为64万辆．
（1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
（2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量约为多少万辆？
22．（本题满分10分）在中，．
图1 图2
（1）如图1，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接．求证：；
（2）如图2，为外一点，且，仍将线段绕点逆时针旋转得到，连接．若，求的长．
23．（本题满分10分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数．其售价、月销售量、月销售利润（元）的三组对应值如下表：
注：月销售利润月销售量（售价进价）
（1）根据上述信息求：
①关于的函数解析式；
②当是多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
（2）由于某种原因，该商品的进价提高了元/件，物价部门规定该商品的售价不得超过165元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数解析式．若月销售利润最大是4620元，求值．
24．（本题满分12分）如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．
图1 图2
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2023～2024学年度上学期期中考试
九年级数学试题参考答案与评分说明
（请各位教师在阅卷前先做题审答案）
一、选择题
1．C2．B3．A4．D
5．C6．B7．D8．B
9．C10．A
二、填空题
11．12．313．（一般式）
14．15．16．2
三、解答题
17．解：（1）
（2）
18．解：（1）连
是的直径，为劣弧的中点
设的半径为，则
在中，，即解得
即的半径为5
（2）
19．解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
20．解：（1）设另一个实数根为，根据题意得
即另一个实数根为5
（2）根据题意得，
解得或1
当时，当时，（舍）
综上可得，的值为．
21．解：（1）设2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是，根据题意得
解得（舍）
答：2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是．
（2）
答：预计2023年我国新能源汽车出口量约为102.4万辆．
22．（1）证明：由旋转的性质得，
，即
（2）解：由旋转的性质得，
，即
23．解：（1）①设，把和代入解析式得
解得
关于的函数解析式为
②由题意可得，每件商品的进件为元
当时，有最大值，最大值是5000
当是170时，月销售利润最大，最大利润是5000元
（2）由题意可得，
当时，有最大值
当时，随的增大而增大
当时，取最大值4620
即解得
24．解：（1）解：将和代入得
解得
抛物线的函数表达式为
（2）设的解析式为，将和代入解得的解析式为
点在抛物线上，轴交于点
设，则，其中
由二次函数的性质可得，当时，的最大值为
此时点的坐标是
（3）点的坐标为或或或．
其他解法，正确即可．
平移后函数解析式为，与原函数交点；
①以为边，当时，设，
在中由勾股定理可求得
②以为边，当时，设，
在中由勾股定理可求得
③以为对角线，当时，设，
在中由勾股定理可求得或3
0
1
2
售价（元/件）
150
160
180
月销售量件
140
120
80
月销售利润元
4200
4800
4800