2023-2024学年贵州省贵阳市第三实验中学高一上学期学业水平监测（一）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年贵州省贵阳市第三实验中学高一上学期学业水平监测（一）数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若命题：，，则命题的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定求解即可.
【详解】命题：，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题的否定为，.
故选：C
2．全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的补集和交集的运算公式进行计算即可.
【详解】因为，，，，
所以，
所以.
故选：B
3．二次不等式的解集是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得2,3为方程的两个根，根据韦达定理，化简计算，即可得答案.
【详解】因为二次不等式，所以，
因为不等式的解集是，
所以2,3为方程的两个根，
所以，即
所以.
故选：B
4．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.
【详解】函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
5．“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.
【详解】由，又，
所以，即，充分性成立；
当时，即，显然时成立，必要性不成立.
故“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
6．某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形､三角形､弓形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2
【答案】C
【分析】画出图形，结合二次函数及基本不等式判断方案1、2，利用特殊情况判断方案3；
【详解】解：方案1：设米，则米，
则菜园面积，
当时，此时菜园最大面积为；
方案2：依题意，则，所以，当且仅当时取等号，
所以，即当且仅当，时取等号；
方案3：若弓形为半圆，则半圆的半径米，
此时菜园最大面积；
故选：C．
7．若不等式对一切都成立，则a的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，根据对称轴的位置分类讨论可得..
【详解】记，
要使不等式对一切都成立，则：
或或
解得或或，即.
故选：D
8．已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得=，当，即时等号成立，所以有，将化为，再利用基本不等式可求得的范围.
【详解】解：因为为正实数，
=，
当，即时等号成立，
此时有，
又因为，
所以，
由基本不等式可知（时等号成立），
所以.
故选：B.
二、多选题
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】ACD
【分析】根据题意，由同一函数的定义对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，函数，函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故错误；
对于C，函数与函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；
对于D，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故正确；
故选:ACD
10．已知函数，则（ ）
A．B．若，则或
C．函数在上单调递减D．函数在的值域为
【答案】BD
【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可
【详解】函数的图象如左图所示．
，故A错误；
当时，，此时方程无解；当时，或，故B正确；
由图象可得，在上单调递增，故C错误；
由图象可知当时，，，故在的值域为，D正确．
故选：BD．
11．已知非零实数，，满足，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据题意知故可判断A，取特殊值判断BC，由不等式的性质判断D.
【详解】A选项，由于，故，所以，正确；
B选项，取 知不成立，错误；
C选项，取知不成立，错误;
D选项，由于得， 而， 故，正确.
故选：AD
12．设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项.
【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，当时，由C可知，，故D不正确.
故选：AB
三、填空题
13．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围．
【详解】由题意，解得且，所以定义域为．
故答案为：．
14．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为 ．
【答案】172
【分析】画出韦恩图求解即可.
【详解】
，
（人．
故答案为：172
15．若函数对，都有，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意知函数单调递增，根据分段函数单调递增需每段递增且在分界处函数值满足的关系列不等式组求解.
【详解】由可知函数在上单调递增，
所以，解得，即实数a的取值范围是.
故答案为：.
16．若函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分，和三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案.
【详解】解：当时，，
当时，，，
，，
则此时函数的值域不是，
故不符合题意；
当时，，，
，，
则此时函数的值域不是，
故不符合题意；
当时，，，
，，
因为函数的值域为，
所以，解得，
综上所述实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，.
(1)当时，求，；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）当时，求出，再根据集合的并集，交集的运算求解即可．
（2）根据题意可得，再求得，列出方程组求出的取值范围即可得答案．
【详解】（1）解：当时，，，
，．
（2）解：是成立的充分不必要条件，
，
，，，
则，，
经检验知，当时，，不合题意，
实数的取值范围．
18．已知函数，且.
(1)判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)函数在上是单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；
（2）根据单调性即可得出函数在上的值域.
【详解】（1）单调递增，由题意证明如下，
函数，且，有，解得，
所以的解析式为：.
设，且，有.
由，得，则，即.
所以在区间上单调递增.
（2）由（1）知在上是增函数，
所以在区间上的最小值为，最大值为，
所以在上的值域为.
19．已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)设，若存在使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由配凑法得，再结合，即可求出的解析式；
（2）先求出，将题设转化为在上有解，换元后利用二次函数的性质求出最小值即可求解.
【详解】（1），则，又，则；
（2），又存在使成立，即在上有解，
令，设，易得在单减，则，
即，故实数的取值范围为.
五、应用题
20．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元
【分析】（1）根据题意列方程即可.
（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.
【详解】（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得，∴．
所以每件产品的销售价格为（元），
∴2020年的利润．
（2）∵当时，，
∴，
当且仅当即时等号成立．
∴，
即万元时，（万元）．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
六、解答题
21．已知二次函数的顶点坐标为，且过点，
(1)求a、b、c的值；
(2)设，不等式的解集为，对，恒成立，求的取值范围?
【答案】(1)a＝1，b＝－4，c＝－1
(2)
【分析】（1）根据顶点坐标和所过点可得函数解析式，从而可求结果；
（2）根据解集求出的值，分类参数，利用基本不等式求解最值，然后可得范围.
【详解】（1）因为二次函数的顶点坐标为，
所以设
因为二次函数图像过点，
则a＝1；
即函数解析式为，
所以b＝－4，c＝－1 .
（2）因为不等式的解集为，
则是方程的两个根，且，
则
不等式化为，
因为，所以；
因为，所以，则，
设，则对，恒成立，
因为，所以，
当且仅当，即时，取等号．
所以的取值范围为.
22．函数的定义域为R，若存在常数，使得对一切实数x均成立，则称为“圆锥托底型”函数.
(1)判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；
(2)若是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值；
(3)问实数k､b满足什么条件，是“圆锥托底型”函数.
【答案】(1)是，不是，理由见解析
(2)2
(3)，
【分析】（1）根据“圆锥托底型”函数的定义，分别代入，判断即可；
（2）代入可得对一切实数x均成立，当时显然成立，再根据基本不等式求解时的情况即可；
（3）分和两种情况，结合“圆锥托底型”函数的定义分析即可
【详解】（1）由题意，当时，恒成立，故是“圆锥托底型”函数；对，考虑时，恒成立，即恒成立，因为，故不存在常数使得对一切实数x均成立，故不是“圆锥托底型”函数
（2）由题意，对一切实数x均成立.当时显然成立，
当时，恒成立，又，当且仅当时取等号.故M的最大值为2
（3）若是“圆锥托底型”函数则：
①当时，恒成立，即即可，故当时，即可满足条件；
②当时，若，则为常数，不满足恒成立.
若时，令，解得，此时无解，故当时，不是“圆锥托底型”函数
综上，当，时，是“圆锥托底型”函数