贵州省毕节市金沙县第四中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份贵州省毕节市金沙县第四中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共36分）
1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图所示的几何体主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形木框是否为矩形.下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A. 测量对角线是否相等B. 测量四边形其中的三个角是否都为直角
C. 测量一组对角是否都为直角D. 测量两组对边是否分别相等
4.（本题3分）如图，，那么下列结论正确的是（ ）
（T4）
A. B. C. D.
5. 如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，且的面积为1，则的面积为（ ）
（T5）
A. 2B. 4C. 6D. 9
6. 某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ）
A. 4.14米B. 2.56米C. 6.70米D. 3.82米
7. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点B的对应点为，则的坐标为（ ）
A. B. C. 或D. 或
8. 在物理实验课上，同学们用三个开关，两个灯泡、一个电源及若干条导线连接成如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
10. 如图，梯形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，下面四个结论：①与相似；②与相似；③；④与面积相等.其中结论始终正确的有（ ）
（T10）
A. ①④B. ①③C. ①②D. ②④
11. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，于点F，于点E，连接PC，当时，则（ ）
（T11）
A. B. 2C. D.
12. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共16分）
13. 某九年级一名学生进行定点投篮训练，其成绩如表，则这名学生定点投篮一次，投中的概率约为（精确到0.1）.
14. 若，则的值为______.
15. 若，则的值为______.
16. 如图，等边的边长为6，点D在边AC上，，线段PQ在边BA上运动，，连接QD，PC，若与相似，则AQ的长为______.
三、解答题（共98分）
17.（本题10分）解方程：
（1）（2）
18.（本题10分）在金沙县第四中学举办的第一届田径运动会中，我校的“体育达人”龙浩在“跳远”、“100米”、“200米”、“400米”四个项目中成绩都非常出色.
（1）龙浩同学如果任选一项参赛，选准“跳远”的概率为多少？
（2）运动会主委会规定最多只能参加两项，用画树状图或列表的方法，求龙浩同学选准“跳远”和“100米”的概率.
19.（本题10分）如图，在中，经，CD是边AB上的高.
（1）求证：；
（2）若，，求BD的长.
20.（本题10分）已知关于x的一元二次方程.
（1）当k取何值时，方程有两个实数根？
（2）若上述一元二次方程两根为矩形两相邻边的边长，且此矩形对角线的长为.求k的值.
21.（本题10分）一天晚上，小南和小北利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当朝阳走到点A处时，小南测得小北直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着小北沿AC方向继续向前走，走到点B处时，小北直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得.已知小北直立时的身高为1.5m，求路灯的高CD的长.
22.（本题12分）某商场经营某种品牌的童装，进价为每件70元，根据市场调研，在一段时间内，当童装的销售定价为每件110元时，可售出20件，而每件定价每降低1元，销售量就增加2件.
（1）当童装销售定价为每件100元时，销售量为______件；
（2）直接写出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为____________；
（3）该童装的销售定价为每件多少元时，商场销售该品牌童装可盈利1200元？
23.（本题12分）【阅读理解】我们知道，所以代数式的最小值为0，可以用公式来求一些多项式的最小值.
例如：求的最小值问题.
解：∵，
∵，∴，
∴的最小值为－8.
【类比应用】请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）类比：的最小值为______.
（2）探究：代数式有最______（填“大”或“小”）值为______.
（3）拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？
24.（本题10分）如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE.
（1）求证：四边形AFCE是菱形.
（2）若，，求BF的长.
25.（本题14分）综合与实践：
（1）问题情景：如图1，已知等边和它内部一点D，把线段BD绕点B逆时针旋转得到线段BE，连接DE，CE，射线AD，CE交于点F，则AD与CE数量关系是______，______.（填空）
（2）类比探究：如图2，在等腰中，，，点D是AC边上一点，过点D作交AB于点E，将绕点A旋转得到，连接，，在旋转的过程中，设直线，交于点F，探索和的数量关系和的度数；
（3）拓展应用：如图3，在中，，，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，若，求线段的AB长（直接写出答案）.
图1 图2 图3
参考答案
1. C 2. B 3. B 4. C 5. D 6. A 7. C 8. D 9. C 10. A 11. C 12. D
13. 0.6 14. 6 15. －1或8 16. 或2或3
17.（1）解：移项，得，
配方得：，即，
，，
解得：，；
（2）解：，
移项，得，
∴，
∴，，
解得：，.
18.（1）龙浩抽到四个项目的机会均等，∴选准“跳远”的概率为.
（2）列表如下：
总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，而选准“跳远”和“100米”比赛的有两种情况，
∴.
19.（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴，
∵，∴，
∵，∴；
（2）解：∵，CD是边AB上的高，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴BD的长为.
20.（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
即：，
解得；
（2）设方程的两根为，，则，，
由矩形的性质可得：，
∴，
解得，，
∵，∴.
21. 解：设CD长为，
∵，，，，
∴，且为等腰直角三角形，
∴，∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，解得：，
∴路灯CD的高度为4.5m.
22.（1）解：（件）
故答案为：40.
（2）解：依题意，，
故答案为：.
（3）解：设童装的销售定价为每件x元时，商场销售该品牌童装可盈利1200元，则，
解得：，，
答：童装的销售定价为每件90元或100元时，商场销售该品牌童装可盈利1200元.
23.（1），
∵，∴，
∴的最小值为2，故答案为：2；
（2）∵，
又∵，∴，
∴，∴的最大值为1，
故答案为：大，1；
（3）依题意设，，，
∴长方形花圃的面积为
，
∴当米时，面积有最大值50米.
答：当米时，花圃面积有最大值50米.
24.（1）证明：∵O为AC中点，，
∴EF为AC的垂直平分线，
∴，，，.
∵四边形ABCD是矩形，
∴，∴，
∴，∴，
∴四边形AFCE平行四边形.
又∵，∴四边形AFCE是菱形.
（2）∵四边形AFCE是菱形，，，
∴，，
∴，设，
在中，，在中，.
∴，解得，∴.
25.（1）解：∵等边，
∴，，
∵线段BD绕点B逆时针旋转得到线段BE，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵（外角的性质），
∴；
故答案为：，60；
（2）解：∵等腰，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵将绕点A旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（3）当点D在AB的上方时，如图1所示，
过点D作交BA的延长线于点E，则：，
∵为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，.
∵，∴，
∴，∴；
图1
②当点D在AB的下方时，如图2所示，同理可得，.
图2
综上：或.投篮次数
10
100
10000
投中次数
6
59
6003
第一次
第二次
跳远
100米
200米
400米
跳远
（跳、100）
（跳、200）
（跳、400）
100米
（100、跳）
（100、200）
（100、400）
200米
（200、跳）
（200、100）
（200、400）
400米
（400、跳）
（400、100）
（400、200）