上海市上海中学东校2023-2024学年高三上学期期中数学试题

这是一份上海市上海中学东校2023-2024学年高三上学期期中数学试题，共14页。试卷主要包含了11，小题7分，（本题满分16分等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的定义域为_____．
2．函数（且）的图象桓过定点P，则点P的坐标为_____．
3．若函数是奇函数．则实数_____．
4．已知，若函数的一个零点为，则_____．
5．设等差数列的前n项之和满足，那么_____．
6．设n是正整数，若的二项展开式中项的系数是常数项的5倍，则_____．
7．实于x的不等式的解是．则实数a的取值范围为______．
8．设正数x、y满足，则的最小值为______．
9．已知是定义在R上的奇函数，且对于任意均有，若当时，，则______．
10．在中，，，若，，其中，则的最小值为______．
11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值为______．
12．若a，，且对于时，不等式均成立，则实数对______．
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13．下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
14．如图，弧、、、是圆上的四段弧，点P在其中一段上，角以为始边，为终边．若，则P所在的圆弧可以是（ ）
A．弧 B．弧 C．弧 D．弧
15．函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
16．将函数，的图像绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函数的图形，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)
17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)
在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且，，．
求：（1）a的值；
（2）和的面积．
18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
19.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)
已知数列的前n项和为，满足：（，n为正整数）．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，数列满足，，，（，为正整数），记为的前n项和，比较与的大小．
20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第
(3)小题满分6分)
已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率．设过右焦点的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线、分别与直线交于M、N两点，证明为定值；
（3）是否存在常数，使得恒成立?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)
已知函数，，令．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当a为正数且时，求a的最小值；
（3）若对一切都成立，求a的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值为______．
【答案】
【解析】不妨设交点在第一象限,设,,
则,,其中
化为,,
化为,,,解得,
当且仅当时取等号.故答案为
12．若a，，且对于时，不等式均成立，则实数对______．
【答案】
【解析】对于时,不等式均成立,
即恒成立,
令
则表示圆心为,半径为1的圆在上的圆弧;
表示圆心为,半径为1的圆在上的圆弧,
如下所示:其中,,
根据题意,要满足题意,其图象需在圆弧以及圆弧之间,
数形结合可知:连接后所形成的直线恰好满足题意,且唯一,
其斜率为,故其方程为,故实数对,
为严谨,下证直线与圆相切,圆心到直线的距离,其与半径1相等,故圆与直线相切,即证.
故答案为:.
二、选择题
13.D 14.C 15.D 16.A
15．函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
【答案】D
【解析】不妨设导函数的零点依次为,,其中,
由导函数图象可知,在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数,在,上为增函数,从而排除A,C.
在处取到极小值,在处取到极大值,又,排除B,
故选D.
16．将函数，的图像绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函数的图形，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数
当时,,函数在上递增
当时,,函数在上递减,
可得在处切线的倾斜角为,
因此,要使旋转后的图象仍为一个函数的图象,旋转后的切线倾斜角最多为,
也就是说,最大旋转角为
即的最大值为. 故选:.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略 (2)
20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第
(3)小题满分6分)
已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率．设过右焦点的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线、分别与直线交于M、N两点，证明为定值；
（3）是否存在常数，使得恒成立?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）见解析 （3）存在，,
【解析】(1)答题意,,解得双曲线的方程为:;
(2)证明:设直线的方程为:,,
联立双曲线与直线的方程,消去并整理可得,,
,
又直线的方程为,代入,解得,
可得同理可得,
故为定值,即得证.
(3)当直线的方程为时,解得,易知此时为等腰直角三角形，
其中,即,也即:,
接下来证明:对直线!存在斜率的情形也成立,
又,则
21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)
已知函数，，令．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当a为正数且时，求a的最小值；
（3）若对一切都成立，求a的取值范围．
【答案】（1） （2）的最小值为1; （3）
【解析】(1)时,,,故，
所以在处的切线方程为
（2）
则
因为,当时,易得在上单调递增,,
当时,在上单调递减，在上单调递增,故,不合题意;
当时,在上单调递减,在上的最小值,不符合题意,故的最小值为1;
(3)若对一切都成立,则对一切都成立，所以对一切都成立,
令,,则在上单调递增,
所以在时恒成立,
即在时恒成立,
当时,在时恒成立,符合题意,
当时,因为过定点,对称轴,则只要
所以, 故的取值范围为.