上海市上海中学东校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份上海市上海中学东校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了11，; 2，-14等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1．用或填空：0______．
2．已知集合且，则______．
若集合有且只有两个子集，则实数______．
4．不等式的解集是______．
5．若，则______．
6．三角不等式中，等号当且仅当______成立．
7．如果，那么从小到大的顺序是______．
8．已知正数满足，则的最小值为______．
9．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
10．定义：关于的不等式的解集叫的邻域，著的邻域为区间，则的最小值是______．
11．设是非空集合，定义：且．已知，则等于______．
12．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是______．
二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）
13．集合中的三个元素是的三边长，则一定不是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等腰三角形
14．已知，下列各不等式恒成立的是（ ）
A．B． C．D．
15．集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
16．已知为实数，，记集合，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
B．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
C．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
D．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
三．解答題
17．已知集合，若，，求的值．
18．集合
（1）求；
（2）求．
19．设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工用品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
21．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
（1）判断集合是否为“和谐集”，并说明理由；
（2）求证：集合是“和谐集”；
（3）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．设是非空集合，定义：且．已知，则等于______．
【答案】
【解析】集合,则,,
12．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是______．
【答案】
【解析】由于
根据题意,规定集合,的子集,为的第个子集,其中则的第211个子集是
故答案为:.
二、选择题
13.D 14.D 15. C 16.D
15．集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设,,,
故选:.
16．已知为实数，，记集合，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
B．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
C．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
D．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
【答案】D
【解析】,两边除以平方,得
如果两个根不为与的根互为倒数,
有一个根为,
如果,一定有一个根,这两个根也是互为倒数,
若有两个根,另外一个根为0,则只有一个根,故不成立,
同理不成立,
若有三个根,其中一个根为,则不等于有2个与不同的根,其中都不为0,否则得到,显然不成立,那么这三个根的倒数必然存在,且不相等,
故也有三个不同的根,所以成立,反之,根据以上分析,不一定成立, 故选:.
三．解答题
17.-14
18.（1） （2）
19.
20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工用品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）时每吨平均成本最低,且最低成本为32万元.
（2）当年产量为210吨时,最大年利润1660万元.
【解析】(1)设每吨的平均成本为万元,
则
当且仅当时每吨平均成本最低,且最低成本为32万元.
（2）设年利润为(万元)，则
所以当年产量为210吨时,最大年利润1660万元.
21．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
（1）判断集合是否为“和谐集”，并说明理由；
（2）求证：集合是“和谐集”；
（3）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数．
【答案】（1）不是“和谐集”. （2）见解析 （3）见解析
【解析】(1)对于集合,当去掉元素2时,剩余的所有元素之和为13,
不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，
所以集合不是“和谐集”.
(2)证明:设，
当去掉元素1时,有;
当去掉元素3时,有;
当去掉元素5时,有;
当去掉元素7时,有;
当去掉元素9时,有;
当去掉元素11时,有;
当去掉元素13时,有.
所以集合是“和谐集”.
(3)证明:设“和谐集”所有元素之和为.
由题可知,均为偶数,因此的奇偶性相同.
（i）如果为奇数,则也均为奇数,
由于,所以为奇数.
(ii)如果为偶数,则均为偶数,此时设,则也是和谐集”.重复上述操作有限次,便可得各项均为奇数的“和谐集”.
此时各项之和也为奇数,集合中元素个数为奇数.综上所述,集合中元素个数为奇数.