四川省成都市成华区某校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份四川省成都市成华区某校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题，共8页。试卷主要包含了已知幂函数的图象过点，则的值为，函数的定义域为，若不等式的解集为，则等内容，欢迎下载使用。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．解选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号．解非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合（ ）
A． B． C． D．
2．命题：“，都有”的否定是（ ）
A．，都有 B．，有
C．，都有 D．，有
3．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形面积的最大值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
4．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．9 B．3 C． D．
5．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．定义在R上的偶函数对都有，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于x的方程有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数在区间上不具有单调性，则a的值可以是（ ）
A． B． C．9 D．4
10．若不等式的解集为，则（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．集合只有1个真子集
11．下列结论，正确的是（ ）
A．函的单调增区间是
B．函数（且）的图像恒过定点
C．函数与是同一函数
D．函数的值域为
12．已知函数对任意的x，都有，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为偶函数
C．在上有最大值 D．的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算：________．
14．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，________．
15．命题，若是假命题，则实数a的取值范围是_________．
16．已知函数的最大值为m，若正数a，b满足，则的最小值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知集合．
（1）设全集，若，求﹔
（2）若______（请从①，②是的充分条件，③这三个条件中选一个填入），求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）
已知函数是奇函数，且．
（1）求a，b的值：
（2）判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明你的判断．
19．（12分）
已知函数是二次函数，且满足．
（1）求函数的解析式：
（2）求函数在区间的最小值．
20．（12分）
已知函数（，且）在上的最大值比最小值大2．
（1）求a的值；
（2）设函数，求证：为奇函数的充要条件是．
21．（12分）
某地区上年度居民生活水价为2.8元/，年用水量为，本年度计划将水价降到2.3元/到26元/之间，而用户期望水价为2元/．经测算，下调水价后新增用水量和实际水价与用户的期望水价的差成反比（比例系数为k），已知该地区的水价成本价为1．8元/
（1）写出本年度水价下调后水务部门的收益y（单位：元）关于实际水价x（单位：元/）的函数解析式：（收益=实际水量×（实际水价一成本价））
（2）设，当水价最低定为多少时，仍可保证水务部门的收益比上年至少增长20%?
（3）设，当水价定为多少时，本年度水务部门的收益最低?并求出最低收益．
22．（12分）
已知函数的定义域为R，其中．
（1）求a的取值范围．
（2）当时，是否存在实数m满足对，都使得成立?若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
高2023级数学参考答案
一、选择题：CDBACBDA
二、选择题：9．BD；10．ACD；11．BC；12．AC．
三、填空题：13．；14．；15．；16．
四、解答题：
17．（1）由得：，故 2分
所以 3分
由得：，故 4分
故当时，故 6分
（2）选①，∵，∴ 7分
∴ 9分
解得：故a的取值范围是 10分
注：选②或③，解法及其结果同①，具体过程同上．
18．（1）∵函数是奇函数，且，∴ 1分
∴ 3分．解得： 5分
（2）函数在上单调递减． 6分
证明：设，且 7分
由（1）知
则
9分
∵，且，∴
故，即 11分
∴函数在上单调递减． 12分
19．（1）由题设，则： 1分
∴由有： 3分
∴ 4分
故函数的解析式为 5分
（2）由（1）知函数的对称轴为直线，开口向上
①当，即时， 在区间上单调递减 6分
此时： 7分
②当，即时在区间上先减后增 8分
此时； 9分
③当时，在区间上单调递增 10分
此时． 11分
综上： 12分
20．（1）当时，，
此时有，解得： （符合题意） 2分
当时，，
此时有，解得：a不存在 4分
故a的值为2 5分
（2）由（1）知
充分性：∵，∴ 6分
∴ 8分
∴为奇函数 9分
必要性：∵为奇函数，且的定义域为R，∴
∴， 10分
即，∴ 11分
综上：为奇函数的充要条件是． 12分
21．（1） 3分
（未写出x的取值范围扣1分）
（2）由题知： 4分
即，化简得： 5分
解得：，或， 6分
又∵∴
故当水价最低定为2.4元/时，仍可保证水务部门的收益比上年至少增长20%． 7分
（3）由题知： 8分
令，则 10分
由均值不等式有： （当且仅当时，等号成立） 11分
∴当，即时，y取得最小值，最小值为1.8a
故当水价定为2.4元/时，本年度水务部门的收益最低，最低收益为1.8a元． 12分
22．（1）由题知：不等式在R上恒成立 1分
当时，不等式变为，显然在R上恒成立，符合题意 2分
当时，要不等式在R上恒成立，则 3分
解得： 4分
综上：a的取值范围是 5分
（2）假设存在实数m满足题意．
∵，∴ 6分
令，则 7分
∵对，都使得成立
∴不等式，即在区间恒成立 8分
①当时，不等式显然组成立，此时：
②当时，不等式可化为，，由均值不等式有： （当且
仅当时，等号成立），∴，即，由不等式恒成立
有： 10分
③当时，不等式可化为：，由均值不等式有：
（当且仅当时，等号成立），∴即，由不等式恒成立有：：
综上：存在实数m满足题意，m的取值范围是 2分