陕西省咸阳中学2023-2024学年高三上学期第三次阶段测试理科数学试卷

这是一份陕西省咸阳中学2023-2024学年高三上学期第三次阶段测试理科数学试卷，共11页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题．本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.已知集合 A=x∣2x2-5x>0,B={0,1,2,3,4}, 则∁RA∩B=（ ）
A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}
2.设复数 z=2-i1+i, 则|z+2z|=（ ）
A.822B.412
C.322D.92
3.已知 α,β是两个不重合的平面, 且直线l⊥α, 则 “α⊥β”是“l//β”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4. 在 △ABC中, 内角 A,B,C的对边分别是a,b,c,△ABC的面积S=a2+b2-c24,且c=6, 则△ABC的外接圆的半径为（ ）
A.63B.62C.33D.32
5.设 a=20.2,b=sin2π3,c=lg25, 则a,b,c的大小关系是（ ）
A.aC.b6.二项式 x3+2x25展开式中的常数项为（ ）
A. -80B. -40C.40D.80
7.某学校高二年级选择“史政地”, “史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为 210,90 和 60 . 现采用分层抽样的方法选出 12 位同学进行项调查研究, 则“史政生”组合中选出的同学人数为（ ）
A.7B.6C.3D.2
8.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示, 则该函数的解析式为（ ）
A.y=4sin2x+2π3 B.y=4sin2x+π3
C.y=4sinx2-π3 D.y=4sin2x-2π3
9.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法, 其内容如下: “可半者半之, 不可半者, 副置分母、子之数, 以少减多, 更相减损,求其等也, 以等数约之”, 如图是该算法的程序框图, 如果输入 a=99,b=231, 则输出的a是（ ）
A.23B.33C.37D.42
10.已知函数 f(x)=2sinx+4csx在x=φ处取得最大值, 则csφ=（ ）
A.255B.55
C.-55D.-255
11.函数 f(x)=exx-a(x-lnx)在(0,1)内有极值, 则实数a的取值范围是（ ）
A.(-∞,e)B.(0,e)C.(e,+∞)D.[e,+∞)
12.已知点 F为抛物线C:y2=8x的焦点, 过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点, 直线l2与C交于D,E两点, 则|AB|+94|DE|的最小值为（ ）
A.64B.54C.50D.48
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量 a,b满足|a|=3,|b|=32,∣a+b∣=5, 则(3a+b)∙b=______________.
14.若 f(x)是定义在R上的奇函数, 且f(x+1)是偶函数, 当0≤x≤1时,f(x)=lg3(x+1), 则f1632=______________.
15.已知函数 f(x)=ex+ax在区间[0,+∞)上单调递增，则a的取值范围为______________.
16.在三棱锥 P-ABC中,△PBC是等边三角形, 平面PBC⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC, 且三棱锥P-ABC的所有顶点都在半径为 4 的球O的球面上, 则三棱锥P-ABC的体积为______________.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本题12分）等差数列 an的前n项和为Sn, 已知a3+a5=26,S5=45.
(1)求 an的通项公式;
(2)若 Sn>240, 求n的最小值.
18. （本题12分）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的模型, 或者设计师单独设计出来的玩偶. 由于盒子上没有标注, 购买者只有打开后才会知道自己买到了什么, 因此这种惊喜吸引了众多年轻人, 形成了“盲盒经济”. 某款盲盒内装有正版海贼王手办, 且每个盲盒只装一个. 某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度,随机抽取了 400 人进行问卷调查, 并全部收回. 经统计, 有 30%的人购买了该款盲盒, 在这些购买者当中, 男生占13; 而在未购买者当中, 男生、女生各占50%.
(1)完成下面的 2×2列联表, 并判断是否有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关?
(2)从购买该款盲盒的人中按性别用分层抽样的方法随机抽取 6 人, 再从这 6 人中随机抽取 3 人发放优惠券, 记 X为抽到的 3 人中女生的人数, 求X的分布列和数学期望.
参考公式: K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), 其中n=a+b+c+d.
参考数据:
19. （本题12分）已知 a=(1,2sinθ),b=sinθ+π3,1,θ∈R.
(1)若 a⊥b, 求tanθ的值;
(2)若 a//b, 求sin2θ-π6的值.
20.（本题12分）如图, 在四棱锥 P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB//CD,CD⊥AD,PC=AB=2CD=2,BC=2,E是棱PB上一点.
(1)求证: 平面 EAC⊥平面PBC;
(2)若 E是PB的中点, 求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
21. （本题12分）已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),且过点P3,12.
(1)求椭圆 E的标准方程;
(2)过椭圆 E的左焦点F1的直线与椭圆E交于A,B两点, 求ΔF2AB的面积最大时直线AB的方程.
选做题：第22题，23题中 选做一题，多做或做错按照第一题计分
22. （本题10分）在平面直角坐标系 xOy中, 以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C1的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R).
(1)求直线 C1的一个参数方程;
(2)在极坐标系中, 方程 ρ=3-3sinθ表示曲线C2, 若直线C1与曲线C2相交于M,O,N三点, 求线段MN的长.
23. （本题10分）已知实数 a,b>0,ab=3,(a+1)(b+3)的最小值为M.
(1)求 M的值;
(2)求不等式 |3x+3|-|2x-3|陕西省咸阳中学2023-2024学年第三次阶段测试高三数学（理科）
时间 120分钟 总分: 150分 参考答案及解析
一、单项选择题．本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 【答案】B 【解析】因为 A=x∣2x2-5x>0=(-∞,0)∪52,+∞,
所以 ∁RA=0,52, 又B={0,1,2,3,4},所以 ∁RA∩B={0,1,2}.故选: B.
2. 【答案】C 【解析】【分析】由复数乘除法法则、共轭复数及复数的模计算公式可得结果.
【详解】由题意知 z=2-i1+i=(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=12-32i,
所以 z+2z=12-32i+212+32i=32+32i,
所以 |z+2z|=322+322=322.故选: C.
3. 【答案】B 【解析】由 l⊥α, 若α⊥β, 则l,β可能平行或l⊂β, 充分性不成立;
由 l⊥α,l/β, 由面面垂直的判定知α⊥β, 必要性成立.
所以“ α⊥β”是“l/β”的必要不充分条件.
故选: B.
4. 【答案】D 【解析】因为 S=a2+b2-c24, 所以12absinC=14×2abcsC, 所以tanC=1,又0设 △ABC的外接圆的半径为r, 所以2r=csinC=622=62, 解得r=32.故选: D.
5. 【答案】C
【解析】 1=20lg24=2, 故b6. 【答案】D
【解析】由二项式展开式的通项公式 Tr+1=Cnran-rbr得:
Tr+1=C5rx35-r2x2r=C5r2rx15-5r, 令15-5r=0, 得r=3,所以常数项为: T4=C5323=80,故选: D
7. 【答案】C 【解析】
由条件可知, 选出 “史政生” 组合中选出的同学人数为 12×90210+90+60=3人.故选: C.
8. 【答案】A
【解析】显然 A=4, 因为T2=5π12+π12=π2, 所以T=π, 所以ω=2πT=2ππ=2,
由 f-π12=4, 得4sin2×-π12+φ=4, 所以-π6+φ=2kπ+π2,k∈Z,
即 φ=2kπ+2π3,k∈Z. 因为|φ|<π, 所以φ=2π3, 所以f(x)=4sin2x+2π3.
故选: A.
9. 【答案】B
【解析】根据程序框图, 输入的 a=99,b=231, 因为a1 b, 且a第二次循环, b=132-99=33;
第三次循环, a=99-33=66;
第四次循环, a=66-33=33, 此时a=b=33, 输出a=33.
故选: B
10. 【答案】A
【解析】因为 f(x)=2sinx+4csx=25sin(x+θ),
其中 sinθ=425=25,csθ=225=15,
当 x=φ时,f(x)取得最大值,
即 φ+θ=π2+2kπ,k∈Z, 所以φ=π2-θ+2kπ,k∈Z,
所以 csφ=csπ2-θ+2kπ=sinθ=25=255故选: A
11. 【答案】C 【解析】
由 f(x)=exx-a(x-lnx)得,f'(x)=ex1x-1x2-a1-1x=1-1xexx-a,
因函数 f(x)=exx-a(x-lnx)在(0,1)内有极值, 则x∈(0,1)时,f'(x)=0⇔a=exx有解,
即在 x∈(0,1)时, 函数g(x)=exx与直线y=a有公共点,
而 g'(x)=exx1-1x<0, 即g(x)在(0,1)上单调递减,∀x∈(0,1),g(x)>g(1)=e, 则a>e,
显然在 a=exx零点左右两侧f'(x)异号, 所以实数a的取值范围是(e,+∞).故选:C
12. 【答案】C
【解析】抛物线 C:y2=8x的焦点F(2,0),
因为 l1⊥l2, 所以直线l1,l2斜率存在, 且均不为 0 .
设直线 l1的方程为y=k(x-2),Ax1,y1,Bx2,y2,
由 y2=8xy=k(x-2)得k2x2-4k2+2x+4k2=0,
所以 x1+x2=4k2+2k2, 所以|AB|=x1+x2+4=8k2+1k2=8+8k2,
因为 l1⊥l2, 所以将|AB|=8+8k2中的k替换为-1k可得|DE|=8+8k2,
所以 |AB|+94|DE|=8+8k2+948+8k2=26+8k2+18k2≥26+28k2∙18k2=50,
当且仅当 8k2=18k2, 即k=±63时取等号. 故|AB|+94|DE|的最小值是 50 .故选:C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 【答案】15. 【解析】因为 |a+b|=5, 所以|a+b|2=a2+2a∙b+b2=25,
又 |a|=3,|b|=32, 所以9+2a∙b+18=25, 得a∙b=-1,
所以 (3a+b)∙b=3a∙b+b2=-3+18=15.
故答案为: 15 .
14. 【答案】1-lg32. 【解析】由 f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+1)为偶函数,
可得 f(-x)=-f(x),f(-x+1)=f(x+1), 即f(-x)=f(x+2),
所以 f(x+2)=-f(x), 可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
则 f(x)的最小正周期为 4 ,
当 0≤x≤1时,f(x)=lg3(x+1), 则f1632=f32=f12=lg332=1-lg32.
故答案为: 1-lg32.
15. 【答案】[-1,+∞). 【解析】因为 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
所以当 x∈[0,+∞)时,f'(x)=ex+a≥0恒成立, 即a≥-ex在[0,+∞)恒成立,
又 -exmax=-1, 所以a≥-1.
故答案为: [-1,+∞).
16. 【答案】24 . 【解析】因为 AB⊥AC, 所以BC为△ABC所在截面圆O1的直径,
又平面 PBC⊥平面ABC,△PBC为等边三角形, 所以O在PO1上, 如图所示,
设 PB=x(x>0), 则BO1=12x,PO1=32x,
所以 PO1=32x=OO1+4=16-12x2+4, 解得x=43, 所以PO1=32×43=6,
BC=43, 又AB⊥AC,AB=AC, 所以S△ABC=12AB∙AC=12×26×26=12,
所以VP-ABC=13S△ABC×PO1=13×12×6=24.
故答案为: 24 .
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 【解析】(1) 解: 设 an的公差为d,
因为 a3+a5=26,S5=45, 可得2a1+6d=265a1+10d=45, 解得a1=1,d=4,
所以 an=a1+(n-1)d=4n-3, 即数列an的通项公式为an=4n-3.
(2) 解: 由 an=4n-3, 可得Sn=na1+n(n-1)d2=2n2-n,
根据二次函数的性质且 n∈N+, 可得Sn单调递增,
因为 S11=231,S12=276, 所以当n≥12时,Sn>240, 故n的最小值为 12 .
18. 【解析】(1)
根据列联表中的数据, 可得 K2=400×(80×140-40×140)2220×180×120×280=2800297≈9.428,
因为 9.428>7.879, 所以有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关.
(2)抽取 6 人中, 女生有: 6×8080+40=4(人), 男生有:6×4080+40=2(人).
X的所有可能取值为1,2,3,
P(X=1)=C22C41C63=15, P(X=2)=C21C42C63=35, P(X=3)=C43C63=15,
所以 X的分布列为:
所以 E(X)=1×15+2×35+3×15=2.
19. 【解析】(1)解：因为 a=(1,2sinθ),b=sinθ+π3,1,
因为 a⊥b, 即a∙b=sinθ+π3+2sinθ=0，
展开可得 sinθcsπ3+csθsinπ3+2sinθ=52sinθ+32csθ=0，
若 csθ=0, 则sinθ=0, 这与sin2θ+cs2θ=1矛盾,
所以, csθ≠0, 因此,tanθ=-35.
(2)解: 因为 a//b, 所以,2sinθsinθ+π3=1,
展开得 2sinθsinθcsπ3+csθsinπ3=1， 即2sin2θ+23sinθcsθ=2，
即 1-cs2θ+3sin2θ=2, 即1+2sin2θ-π6=2，解得sin2θ-π6=12.
20. 【解析】(1) 因为 AB//CD,CD⊥AD,AB=2CD=2,BC=2, 作AB中点F,
连接 CF, 则CF⊥AB,CF=AD=BC2-BF2=1,AF=1,则 AC=CD2+AD2=2,
BC2+AC2=AB2, 所以AC⊥BC, 又PC⊥平面ABCD, 所以PC⊥AC,
PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC, 所以AC⊥平面PBC, 又AC⊂平面EAC, 所以平面EAC⊥平面PBC;
(2) 易知 CF,CD,CP三垂直, 故以CF为x轴,CD为y轴,CP为z轴建立空间直角坐标系,
则 C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0),P(0,0,2),E12,-12,1, 则PA=(1,1,-2),CA=(1,1,0),CE=12,-12,1,
设平面 EAC法向量为n=(x,y,z), 则n∙CA=0n∙CE=0,即x+y=0x-y+2z=0, 令x=1, 则n=(1,-1,-1),
设直线 PA与平面EAC所成角为θ,则sinθ=|cs⟨n,PA⟩|=n∙PA|n|∙|PA|=218=23,
故直线 PA与平面EAC 所成角的正弦值为23.
21. 【解析】(1) 2a=PF1+PF2=12+14+0+14=4,∴a=2,
又 c=3, 得b=1,∴椭圆E的标准方程为:x24+y2=1;
(2) 当直线 AB与y轴垂直时 (与x轴重合), 方程为y=0, 此时无ΔF2AB,
∴直线AB不与y轴垂直, 可设直线AB方程为:x=my-3,
由 x=my-3x2+4y2=4, 可得m2+4y2-23my-1=0,
设 Ax1,y1,Bx2,y2, 有y1+y2=23mm2+4,y1y2=-1m2+4,
由 |AB|=1+m2y1+y22-4y1y2, 得|AB|=4m2+1m2+4,
设 F2到直线AB的距离为d, 有d=231+m2,
此时 S△F2AB=12|AB|d=43m2+1m2+4, 令t=m2+1≥1, 得m2=t2-1,
∴S△F2AB=43tt2+3=43t+3t≤4323=2,
当且仅当 t=3t,t=3时取等号, 此时m=±2,
∴S△F2AB的面积最大值时, 直线AB的方程为:x+2y+3=0或x-2y+3=0.
22. 【解析】
(1) 解: 由直线 C1的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R),可得曲线C1表示过原点,
倾斜角为 π3的直线, 此时斜率为3,可得曲线C1的一个参数方程为x=12ty=32t(t为参数).
(2) 解: 因 M,N均在直线C1和曲线C2上, 所以MρM,π3,NρN,4π3,
ρM=31-sinπ3, ρN=31-sin4π3=31+sinπ3,
故 |MN|=ρM+ρN=6.
23. 【解析】(1) ∵a,b>0,ab=3,
∴(a+1)(b+3)=ab+3a+b+3≥ab+23ab+3=3+2×3+3=12,
当且仅当 3a=b, 即a=1,b=3时取等号,∴M=12.
(2) 由（1）得 |3x+3|-|2x-3|当 x≤-1时, 不等式转化为-3x-3-(3-2x)=-x-6<12, 解得x>-18,与x≤-1求交集得,-18当 -1与 -1当 x>32时, 不等式转化为3x+3-(2x-3)=x+6<12, 解得x<6,
与 x>32求交集得32