2023-2024学年广东省佛山市南海区九江中学高一上学期10月第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海区九江中学高一上学期10月第一次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，作图题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据交集的定义计算．
【详解】由题意，
故选：B．
【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键，本题属于简单题．
2．下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质：同乘正数，不等号方向不变；两数同号，其倒数不等号方向改变，即可判断各选项的正误
【详解】若且，则，故A错误
若且，则，故B错误
若，则 ，故C正确
若且，则，故D错误
故选：C
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意同乘、同除一个正数，不等符号不变；两数同号，倒数的不等号方向改变，属于简单题
3．已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】易得当时，函数在上单调递减，在处取得最大值，从而列式计算可得结果.
【详解】当时，函数在上单调递减，
所以函数（）在处取得最大值，最大值为，
解得．
故选：B.
4．设是奇数集，是偶数集，则命题“，”的否定是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】全称命题的否定为特称命题，排除C,D，的否定为.
【详解】“，”即“所有，都有”，它的否定应该是“存在，使”，所以正确选项为A.
【点睛】本题考查全称命题的否定，注意任意要改成存在，考查对命题否定的理解.
5．已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意或，利用充分条件和必要条件的概念即可得解.
【详解】由题意或或，
由“或”不能推出“”；
由“”可推出“或”；
故是的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题.
6．若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据已知可得函数的定义域需满足：,
解得，
即函数定义域为，故选B.
【解析】求函数定义域
7．一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如下图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象可判断出、、的符号，再判断出二次函数的图象即可.
【详解】由图可知，、，，
所以，二次函数的图象开口向下，排除D，由，排除A，
对称轴，排除B，
故选：C.
8．如果函数在区间上是单调函数，那么实数的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．
【答案】A
【分析】求出二次函数的对称轴，讨论在区间上单调递减和单调递增，列不等式即可求解.
【详解】函数的对称轴为，
若函数在区间上是单调函数，
若在区间上是单调递减，则，解得：，
若在区间上是单调递增，则，解得：，
故实数的取值范围是：或，
故选：A.
二、多选题
9．下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据元素与集合间的关系逐一判断即可.
【详解】解：对于A，0是自然数，则，故A正确；
对于B，不是整数，则，故B错误；
对于C，是整数，则，故C错误；
对于D，是无理数，则，故D正确.
故选：AD.
10．下列各图中，是函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解.
【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，
满足条件的只有BD.
故选：BD
11．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】AC
【分析】根据函数的定义，判断两函数是否为同一函数，即看两函数的定义域和对应关系以及值域是否相同即可，由此可判断出答案.
【详解】对于选项A，的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，值域也相同，是同一个函数；
对于选项B：的定义域为 ，的定义域为，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，值域相同，是同一个函数；
对于选项D，的定义域为，的定义域为，对应关系不同，不是同一个函数.
故选：AC
12．函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．定义域为B．的值域是
C．方程的解为D．方程的解为
【答案】AC
【分析】根据的解析式可判断函数的定义域以及值域，判断A,B;讨论x为有理数或无理数，从而确定方程和的解，判断C,D.
【详解】由于函数，定义域为，A对；
函数的值域为，故B错；
当x为有理数时，，故方程即方程，则，
当x为无理数时，，故方程即方程，则，矛盾，
故方程的解为，∴C对；
当x为有理数时，，故方程即，即，
则x为有理数，
当x为无理数时，，故方程即方程，即，
则x为有理数，矛盾，
故的解为全体有理数，∴D错.
故选：AC.
三、填空题
13．已知，则的最小值是 .
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
14．设集合，，且，则 .
【答案】
【分析】利用集合的运算和元素的性质即可求得的值.
【详解】∵集合，，且，∴，且，解得，
故答案为： .
四、双空题
15．若函数，则= ， .
【答案】
【分析】令，得，从而可求出，令，求出，从而可求出．
【详解】解：令，得，则，
设，则，
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查换元法求函数解析式，属于基础题．
五、填空题
16．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 元.
【答案】60
【解析】设涨价x元，销售的利润为y元，从而可得，配方即可求得.
【详解】设涨价x元，销售的利润为y元，
则，
当，即销售单价为60元时，y取得最大值.
故答案为：60
【点睛】本题考查了二次函数的模型，同时考查了二次函数的最值，属于基础题.
六、解答题
17．已知集合，.
(1)若时，求；
(2)若且，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】(1)由，可得=或，，再由并集的定义即可求得；
(2)当时，可得=或，由可知，再由集合间的包含关系即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，
当时集合=或，
所以，
所以=；
（2）解：因为，
若，则=或，
由知，
则，
而，
故，
所以实数的取值范围为.
七、作图题
18．已知函数.
（1）用分段函数的形式表示该函数.
（2）并画出函数在区间上的图象；
（3）写出函数在区间上的单调区间､最值.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）单调递增区间，；单调递减区间；最大值3，最小值－3．
【分析】（1）可将函数解析式转化为；
（2）由解析式即可画出图象；
（3）利用函数的图象，由图象的变化趋势以及图象的最高点和最低点，即可得到答案．
【详解】（1）因为，
所以；
（2）函数在区间上的图象如图所示：
（3）由的图象可得，单调递增区间，；单调递减区间；最大值3，最小值－3．
八、解答题
19．南海九江中学为了宣传校园文化，由同学设计一幅九中文化矩形宣传画，要求画面面积为，画面的上、下各留空白，左、右各留空白.如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
【答案】画面高80cm，宽50cm
【分析】设画面高为，宽为，则可表示出所需纸张面积的表达式，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】设画面高为，宽为，由题意可得，，，，
则所需纸张面积
，
当且仅当且，即，时取等号，
所以画面高80cm，宽50cm时，所需纸张面积最小为5760cm.
20．已知函数.
（1）求 ；
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明.
【答案】（1）；（2）减函数，证明见解析.
【分析】（1）用代入法进行求解即可；
（2）用单调性的定义进行判断并证明即可.
【详解】（1）因为，所以；
（2）函数在上单调递减，证明如下：
设是内任意两个实数，且，则有，
，
因为，所以，因此，
所以函数在上单调递减.
九、作图题
21．已知
(1)画出的图象；
(2)若，求的值；
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)
【分析】(1)根据二次函数的性质及常数函数的作图法，作出图象即可；
(2)分或时和时分别求解，再取并集即可；
(3)结合(2)和图象即可得答案.
【详解】（1）解：函数的对称轴，当时，；当时，；
当时，，则的图象如图所示.
（2）解：，
由题意可得：当或时，无解；
∴当时，由，可得，
解得.
（3）解：由于，结合此函数图象可知，
使的的取值范围是
十、解答题
22．已知函数 ，不等式 的解集是 .
(1)求的解析式；
(2)若对于任意 ,不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）由题意可得2和3是方程的两个根，运用韦达定理求得 ，进而得到所求解析式；
（2）由题意可得对于任意恒成立．再由二次函数在闭区间上的最值求法可得最大值，解二次不等式可得所求范围．
【详解】（1）由不等式的解集是，
知2和3是方程的两个根，
由根与系数的关系，得 ，
即 ，所以 ；
（2）不等式对于任意恒成立，
即对于任意恒成立,
由于图象的对称轴是 ，
故当时，取最大值， ，
所以只需 ，即 ，解得或，
故t的取值范围为．