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2023-2024学年江苏省南通市海安市实验中学高一上学期10月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江苏省南通市海安市实验中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，作图题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解出集合，再利用交集的含义即可得到答案.
【详解】或，
则，
故选：C.
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式，再根据分式不等式求解即可．
【详解】由题得，
解得，
故选：C．
3．若函数和分别由下表给出，满足的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】从外到内逐步求值．
【详解】由，则，则.
故选：D
4．“”是“函数在上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质与必要不充分条件的判定即可得到答案.
【详解】当时，满足，但是函数在上为减函数，则正推无法推出；
反之，若函数在上为增函数，则，则反向可以推出，
则“”是“函数在上为增函数”的必要不充分条件，
故选：B.
5．函数的图象大致为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性及函数值的正负即可区分选项.
【详解】因为的定义域为，且，
所以函数为奇函数，故排除AC；
当时，，故函数图象在第一象限，故排除D，
故选：B
6．函数的奇偶性是
A．奇函数B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数
【答案】A
【分析】先求定义域，再化简，最后根据奇偶性定义判断.
【详解】因为，
因此,而,所以函数是奇函数，选A.
【点睛】本题考查函数奇偶性，考查基本分析判断能力.
7．已知函数，若在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数在上是增函数，则由每一段都是增函数且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解.
【详解】因为函数，在上是增函数，
所以，
解得，
故选：D
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，属于基础题.
8．已知函数定义域为，，，当时，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再借助性质求出即可.
【详解】定义在上的函数，由，得，
由，得，于是，即，
因此，又当时，，
所以.
故选：D
二、多选题
9．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】依题意可知中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素，即可判断.
【详解】依题意可知中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素，
则和符合题意.
故选：AD
10．以下函数既是奇函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】分别判断选项中函数的单调性与奇偶性即可．
【详解】对于A，定义域为，
令，则，为奇函数，
因为和在单调递增，
所以在单调递增，故A符合题意；
对于B，定义域为，
令，则，不是奇函数，故B不合题意；
对于C，定义域为，
令，则，为奇函数，
当时，，则在单调递增，故C符合题意；
对于D，定义域为，
令，则，为奇函数，
因为，
所以在不单调递增，故D不合题意，
故选：AC．
11．下列说法正确的是（ ）
A．若是奇函数，则
B．和表示同一个函数
C．函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数
D．若满足，则不是单调递增函数
【答案】BD
【分析】根据反例即可判断AC,根据函数的定义域和对应关系即可判断B，由单调函数的定义即可判断D.
【详解】当奇函数在处有定义时，才有，例如为奇函数，但是不满足，故A错误，
和的定义域均为，对应关系也一样，故表示同一个函数，B正确，
若函数的图象如下，满足在上单调递增，在上单调递增，但是在上不是单调递增函数，故C错误，
若满足，则不是单调递增函数，故D正确，
故选：BD
12．定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（ ）
A．
B．为奇函数
C．在上单调递增
D．的解集为
【答案】ABD
【分析】利用赋值法及奇偶性的定义可判断AB选项；利用函数单调性的定义可判断C选项；结合奇偶性和单调性的性质可判断D选项.
【详解】由题意，定义在上的函数满足，
对于A，令，则，即，故A正确；
对于B，令，则，即，
所以为奇函数，故B正确；
对于C，任取，且，
则，
因为，所以，所以，
即，所以函数在上单调递减，故C错误；
对于D，由，可得，
由C知函数在上单调递减，所以，
解得，所以的解集为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．命题“，”的否定是 ．
【答案】，
【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.
【详解】根据全称命题的否定为存在命题，且范围不变，结论相反，
则其否定为，，
故答案为：，.
14．已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ．
【答案】
【分析】由题可得，然后利用奇偶性的定义即求，，最后计算即可；
【详解】∵，
∴.
由是奇函数，是偶函数，可有，，
代入上式，，
则有，；
则.
故答案为：.
15．函数的对称中心是 ．
【答案】
【分析】变形函数解析式，再借助反比例函数的性质，结合函数图象平移变换求解即得.
【详解】函数，
显然函数的图象可以由函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位而得，
而函数的图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为.
故答案为：
16．定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】令，则由题意可知在上单调递减，且，从而由函数的单调性可求得结果.
【详解】令，
因为定义在上的函数满足，
所以定义在上的函数满足，
所以在上单调递减，
由，得，
所以，
所以，解得，
所以原不等式的解集为，
故答案为：.
四、解答题
17．设全集，集合，集合，其中．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合A的等价条件，再求出，结合集合的基本运算进行求解.
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系建立不等式关系进行求解即可.
【详解】（1）集合，
所以，
当时，；
所以．
（2）由题意得到，由“”是“”的充分条件可得，
则且，解得；所以的取值范围是．
五、作图题
18．已知定义在上的奇函数满足: 当时，，当时，.
(1)在平面直角坐标系中画出函数 在上的图象，并写出单调递减区间;
(2)求出 时的解析式.
【答案】(1)图像见解析，单调递减区间为 和；
(2).
【分析】（1）根据奇函数的对称性结合条件可得函数的图象，根据图象可得函数单调减区间；
（2）根据奇函数的定义结合条件即得.
【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数，当时，，当时，，可得函数的图象，
由图可知，单调递减区间为 和；
（2）设，则，
又函数为奇函数，
所以 ，
即 时的解析式为.
六、解答题
19．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据待定系数法即可将条件代入求解，
（2）分类讨论即可求解一元二次不等式的解.
【详解】（1）设，
由，得
又，
则，解得，
所以．
（2）由已知，即，即，
①当时，原不等式即为：，解得；
②当时，解得或；
③当时，解得或
综上，当时，不等式的解集为：，
当时，不等式的解集为：，
当时，不等式的解集为：．
七、应用题
20．我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款高科技设备．通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，假设该企业一年生产x千台设备，且每生产一千台设备，需另投入成本万元，，由市场调研知，该设备每台售价1万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完．
(1)求该企业一年的利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)当年产量为多少（千台）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)年产量为90（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5200万元
【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额=固定成本－可变成本的公式，分两种情况讨论，即可求解；
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【详解】（1）当 时，
，
当时，
，
所以．
（2）若，，
当时，万元；
若，，
当且仅当时，即时等号成立，万元；
因为，
所以年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5200万元．
八、解答题
21．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)若函数的图像恒在线段上方，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)函数在上为减函数；证明见解析
(3)
【分析】（1）由是，得，结合，即可得出的值；
（2）根据定义，取任意且，证明即可；
（3）由在上是减函数，得出最小值，即可求出的取值范围．
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，则，
又因为，即，解得，
所以，．
（2）函数在上为减函数；
证明如下：取任意且，
则，
因为，所以，
又因为，
所以，所以，即，
所以函数在上为减函数．
（3）因为函数在上为减函数，
所以，
所以．
22．已知，．
(1)若，判断的奇偶性．
(2)若是单调递增函数，求的取值范围．
(3)若在上的最小值是3，求的值．
【答案】(1)当时，是奇函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数
(2)
(3)或
【分析】（1）由，解出m，代入结合函数的奇偶性进行判断；（2）即在的左右两侧都单调递增；（3）由（2），在上单调递增，进而对，时进行分类讨论即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
，则，解得或者
当时，，因为，
所以是奇函数．
当时，，
，，，
所以既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）由题意得
当，即时，在上是增函数．
（3）①，在上单调递增，在处取得最小值，，解得或者；
②时，在单调递增，因为，，在上单调递增，所以在处取得最小值，，无解；
③，在单调递增，在单调递减，在单调递增．
若，即时，函数在上单调递增，所以在处取得最小值，，无解；
若，即时，在单调递增，在上单调减，因为，所以在处取得最小值，，无解；
若，即，在单调递增，在单调递减，在单调增，，
解得或者，舍去；若，解得，舍去．综上，或．
1
2
3
4
2
3
4
1
1
2
3
4
2
1
4
3
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解出集合，再利用交集的含义即可得到答案.
【详解】或，
则，
故选：C.
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式，再根据分式不等式求解即可．
【详解】由题得，
解得，
故选：C．
3．若函数和分别由下表给出，满足的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】从外到内逐步求值．
【详解】由，则，则.
故选：D
4．“”是“函数在上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质与必要不充分条件的判定即可得到答案.
【详解】当时，满足，但是函数在上为减函数，则正推无法推出；
反之，若函数在上为增函数，则，则反向可以推出，
则“”是“函数在上为增函数”的必要不充分条件，
故选：B.
5．函数的图象大致为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性及函数值的正负即可区分选项.
【详解】因为的定义域为，且，
所以函数为奇函数，故排除AC；
当时，，故函数图象在第一象限，故排除D，
故选：B
6．函数的奇偶性是
A．奇函数B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数
【答案】A
【分析】先求定义域，再化简，最后根据奇偶性定义判断.
【详解】因为，
因此,而,所以函数是奇函数，选A.
【点睛】本题考查函数奇偶性，考查基本分析判断能力.
7．已知函数，若在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数在上是增函数，则由每一段都是增函数且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解.
【详解】因为函数，在上是增函数，
所以，
解得，
故选：D
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，属于基础题.
8．已知函数定义域为，，，当时，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再借助性质求出即可.
【详解】定义在上的函数，由，得，
由，得，于是，即，
因此，又当时，，
所以.
故选：D
二、多选题
9．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】依题意可知中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素，即可判断.
【详解】依题意可知中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素，
则和符合题意.
故选：AD
10．以下函数既是奇函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】分别判断选项中函数的单调性与奇偶性即可．
【详解】对于A，定义域为，
令，则，为奇函数，
因为和在单调递增，
所以在单调递增，故A符合题意；
对于B，定义域为，
令，则，不是奇函数，故B不合题意；
对于C，定义域为，
令，则，为奇函数，
当时，，则在单调递增，故C符合题意；
对于D，定义域为，
令，则，为奇函数，
因为，
所以在不单调递增，故D不合题意，
故选：AC．
11．下列说法正确的是（ ）
A．若是奇函数，则
B．和表示同一个函数
C．函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数
D．若满足，则不是单调递增函数
【答案】BD
【分析】根据反例即可判断AC,根据函数的定义域和对应关系即可判断B，由单调函数的定义即可判断D.
【详解】当奇函数在处有定义时，才有，例如为奇函数，但是不满足，故A错误，
和的定义域均为，对应关系也一样，故表示同一个函数，B正确，
若函数的图象如下，满足在上单调递增，在上单调递增，但是在上不是单调递增函数，故C错误，
若满足，则不是单调递增函数，故D正确，
故选：BD
12．定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（ ）
A．
B．为奇函数
C．在上单调递增
D．的解集为
【答案】ABD
【分析】利用赋值法及奇偶性的定义可判断AB选项；利用函数单调性的定义可判断C选项；结合奇偶性和单调性的性质可判断D选项.
【详解】由题意，定义在上的函数满足，
对于A，令，则，即，故A正确；
对于B，令，则，即，
所以为奇函数，故B正确；
对于C，任取，且，
则，
因为，所以，所以，
即，所以函数在上单调递减，故C错误；
对于D，由，可得，
由C知函数在上单调递减，所以，
解得，所以的解集为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．命题“，”的否定是 ．
【答案】，
【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.
【详解】根据全称命题的否定为存在命题，且范围不变，结论相反，
则其否定为，，
故答案为：，.
14．已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ．
【答案】
【分析】由题可得，然后利用奇偶性的定义即求，，最后计算即可；
【详解】∵，
∴.
由是奇函数，是偶函数，可有，，
代入上式，，
则有，；
则.
故答案为：.
15．函数的对称中心是 ．
【答案】
【分析】变形函数解析式，再借助反比例函数的性质，结合函数图象平移变换求解即得.
【详解】函数，
显然函数的图象可以由函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位而得，
而函数的图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为.
故答案为：
16．定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】令，则由题意可知在上单调递减，且，从而由函数的单调性可求得结果.
【详解】令，
因为定义在上的函数满足，
所以定义在上的函数满足，
所以在上单调递减，
由，得，
所以，
所以，解得，
所以原不等式的解集为，
故答案为：.
四、解答题
17．设全集，集合，集合，其中．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合A的等价条件，再求出，结合集合的基本运算进行求解.
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系建立不等式关系进行求解即可.
【详解】（1）集合，
所以，
当时，；
所以．
（2）由题意得到，由“”是“”的充分条件可得，
则且，解得；所以的取值范围是．
五、作图题
18．已知定义在上的奇函数满足: 当时，，当时，.
(1)在平面直角坐标系中画出函数 在上的图象，并写出单调递减区间;
(2)求出 时的解析式.
【答案】(1)图像见解析，单调递减区间为 和；
(2).
【分析】（1）根据奇函数的对称性结合条件可得函数的图象，根据图象可得函数单调减区间；
（2）根据奇函数的定义结合条件即得.
【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数，当时，，当时，，可得函数的图象，
由图可知，单调递减区间为 和；
（2）设，则，
又函数为奇函数，
所以 ，
即 时的解析式为.
六、解答题
19．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据待定系数法即可将条件代入求解，
（2）分类讨论即可求解一元二次不等式的解.
【详解】（1）设，
由，得
又，
则，解得，
所以．
（2）由已知，即，即，
①当时，原不等式即为：，解得；
②当时，解得或；
③当时，解得或
综上，当时，不等式的解集为：，
当时，不等式的解集为：，
当时，不等式的解集为：．
七、应用题
20．我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款高科技设备．通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，假设该企业一年生产x千台设备，且每生产一千台设备，需另投入成本万元，，由市场调研知，该设备每台售价1万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完．
(1)求该企业一年的利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)当年产量为多少（千台）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)年产量为90（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5200万元
【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额=固定成本－可变成本的公式，分两种情况讨论，即可求解；
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【详解】（1）当 时，
，
当时，
，
所以．
（2）若，，
当时，万元；
若，，
当且仅当时，即时等号成立，万元；
因为，
所以年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5200万元．
八、解答题
21．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)若函数的图像恒在线段上方，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)函数在上为减函数；证明见解析
(3)
【分析】（1）由是，得，结合，即可得出的值；
（2）根据定义，取任意且，证明即可；
（3）由在上是减函数，得出最小值，即可求出的取值范围．
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，则，
又因为，即，解得，
所以，．
（2）函数在上为减函数；
证明如下：取任意且，
则，
因为，所以，
又因为，
所以，所以，即，
所以函数在上为减函数．
（3）因为函数在上为减函数，
所以，
所以．
22．已知，．
(1)若，判断的奇偶性．
(2)若是单调递增函数，求的取值范围．
(3)若在上的最小值是3，求的值．
【答案】(1)当时，是奇函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数
(2)
(3)或
【分析】（1）由，解出m，代入结合函数的奇偶性进行判断；（2）即在的左右两侧都单调递增；（3）由（2），在上单调递增，进而对，时进行分类讨论即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
，则，解得或者
当时，，因为，
所以是奇函数．
当时，，
，，，
所以既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）由题意得
当，即时，在上是增函数．
（3）①，在上单调递增，在处取得最小值，，解得或者；
②时，在单调递增，因为，，在上单调递增，所以在处取得最小值，，无解；
③，在单调递增，在单调递减，在单调递增．
若，即时，函数在上单调递增，所以在处取得最小值，，无解；
若，即时，在单调递增，在上单调减，因为，所以在处取得最小值，，无解；
若，即，在单调递增，在单调递减，在单调增，，
解得或者，舍去；若，解得，舍去．综上，或．
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