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2023-2024学年新疆维吾尔自治区克拉玛依市第十三中学高一上学期第一次月考（10月）数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年新疆维吾尔自治区克拉玛依市第十三中学高一上学期第一次月考（10月）数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据元素与集合，集合间的关系可判断.
【详解】空集是不含任何元素的集合，故A正确，D错误；是任何集合的子集，故B错误；
对C，元素与集合之间只能是属于或不属于，故C错误.
故选：A.
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作差比较可得.
【详解】因为，
所以.
故选：B
3．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质求出，3a的范围，两式相加即可得出答案．
【详解】因为，，所以，，所以．
故选：D.
4．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】因为“”“”，“”“”，
所以，是的充分不必要条件.
故选：A.
5．命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词的否定是存在量词可得结果.
【详解】命题：“，”的否定是，.
故选：C
6．已知，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质一一判定即可.
【详解】对于A，若，则，即A错误；
对于B，由，结合糖水不等式可知，
或作差法证，即，即B正确；
对于C、D，取，则满足，，
但，，即C、D错误；
故选：B
7．下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D；
【详解】解：对于A：若、时，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：若、时，，故C错误；
对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：D
8．已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．
C．D．
【答案】D
【分析】由于，所以，化简后利用基本不等式可求出其最小值.
【详解】因为，，，
所以原式
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
二、多选题
9．下面命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】CD
【分析】利用特殊值判断A、B，利用不等式的性质判断C、D.
【详解】对于A：当时，故A错误；
对于B：取，则，故B错误；
对于C：由，则，，所以，故C正确；
对于D：由，所以，所以，故D正确.
故选：CD
三、单选题
10．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】C
【分析】根据关于x的不等式的解集为或可判断，判断A;由此可得是的两根，推得，即可求解以及的解集，判断;结合题意将代入，可退的结果为负，判断D.
【详解】由于关于x的不等式的解集为或，
故，A错误；
由以上分析可知，是的两根，则，
即 ，故即，则，B错误；
不等式即，
则或，即不等式的解集为或，C正确；
由于关于x的不等式的解集为或，
故的解集为，所以时，，
即，故D错误，
故选：C.
11．若正实数，满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．有最小值B．有最小值
C．有最小值4D．有最小值
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断．
【详解】对于A，因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，所以，故有最大值，故A不正确；
对于B，，当且仅当时取等号，故，即有最大值，故B不正确；
对于C，，当且仅当时取等号，故有最小值4，故C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D不正确.
故选：C.
四、多选题
12．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A．若，则满足戴德金分割
B．若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素
C．若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素
D．若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素
【答案】BD
【分析】A选项，，A错；BD选项，可举出例子；C选项，推理出，C错误.
【详解】A选项，，故，A错误；
B选项，设，满足，
此时为戴德金分割，且没有最大元素，有一个最小元素，B正确；
C选项，若有一个最大元素，有一个最小元素，则，故C错误；
D选项，设，满足没有最大元素，也没有最小元素，D正确.
故选：BD
五、填空题
13．集合的真子集的个数是 ．
【答案】7
【分析】．先根据题意写出集合的具体元素，再利将其真子集的个数给求出来即可.
【详解】因为，
则的元素个数为，故A有个真子集．
故答案为：.
14．设集合，，若，则 .
【答案】1
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故答案为：1.
15．命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“，”的否定为：“，”，因为原命题为假命题，所以其否定为真，
所以当即时，恒成立，满足题意；
当即时，只需，
解得：.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
16．设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】先根据不等式的解集求得，得到，再把对任意，恒成立，结合二次函数的性质，转化为恒成立，即可求解.
【详解】由函数，且不等式的解集为，
即是方程两个实数根，
可得，解得，所以，
又由，且，
当时，函数取得最大值，最大值为，
因为对任意恒成立，即恒成立，
解得或，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
六、解答题
17．设全集，集合，.
（1）求及；
（2）求.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据集合的交并集运算求解即可；
（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.
【详解】解：（1）因为，，
所以，
（2）因为，所以，
所以.
18．解下列不等式．
（1）；
（2）．
【答案】（1）不等式的解集为；
（2）.
【分析】根据解一元二次不等式的方法进行求解（1）（2）即可.
【详解】（1）由，
所以方程无实根，
又函数的图像是开口向上，
所以函数恒成立，
因此，原不等式的解集为；
（2）不等式的解集等价于不等式的解集，
由方程的两实数根为，
又函数的图像开口向上，且与轴交于点，
所以不等式的解集为.
19．已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由得，然后分类和求解．
【详解】（1）当时，中不等式为，即，
∴或，则
（2）∵，∴，
①当时，，即，此时；
②当时，，即，此时.
综上的取值范围为.
20．已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围.
【答案】(1)5
(2)﹛或﹜
【分析】（1）利用集合相等的条件求a的值，但要注意验证；
（2）由A∩C＝C得C⊆A，再利用集合子集的元素关系求解.
【详解】（1）由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，
因为A＝B，所以，
解得，
故a＝5.
（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A.
当C＝∅时，△＝1﹣24a＜0，解得a；
当C＝{2}时，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此时无解；
当C＝{6}时，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此时无解或a＝0.
综上，a的取值范围为.
21．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为矩形市民休闲广场.全国文明城市是中国大陆所有城市品牌中含金量最高､创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2的草坪，南北边缘都留有5m的空地栽植花木.
(1)设占用空地的面积为S（单位：），矩形休闲广场东西距离为x（单位：，），试用x表示为S的函数；
(2)当x为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值.
【答案】(1)
(2)休闲广场东西距离为40时，用地最小值为
【分析】(1)根据面积公示列关系式即可.
(2)代入第一问求出的解析式结合基本不等式求最值即可即可.
【详解】（1）因为广场面积须为，所以矩形广场的南北距离为，
所以；
（2）由（1）知，
当且仅当x=40时，等号成立.
答：当休闲广场东西距离为40m时，用地最小值为.
22．设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）．
(1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值；
(2)若f(1)=2，
①a＞0，b＞0，求的最小值；
②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①9；②
【分析】（1）由一元二次不等式的解得一元二次方程的解，利用根与系数关系列方程求解；
（2）由条件得，①利用基本不等式求最小值；②化简不等式为标准的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立可得．
【详解】（1）由题意的两根是和1且，
所以，解得．
（2）①，，
又，
所以，当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是9．
②由①得，，即，
的解集为R，时，不合题意，
所以，且，解得，
所以的范围是．
一、单选题
1．下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据元素与集合，集合间的关系可判断.
【详解】空集是不含任何元素的集合，故A正确，D错误；是任何集合的子集，故B错误；
对C，元素与集合之间只能是属于或不属于，故C错误.
故选：A.
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作差比较可得.
【详解】因为，
所以.
故选：B
3．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质求出，3a的范围，两式相加即可得出答案．
【详解】因为，，所以，，所以．
故选：D.
4．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】因为“”“”，“”“”，
所以，是的充分不必要条件.
故选：A.
5．命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词的否定是存在量词可得结果.
【详解】命题：“，”的否定是，.
故选：C
6．已知，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质一一判定即可.
【详解】对于A，若，则，即A错误；
对于B，由，结合糖水不等式可知，
或作差法证，即，即B正确；
对于C、D，取，则满足，，
但，，即C、D错误；
故选：B
7．下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D；
【详解】解：对于A：若、时，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：若、时，，故C错误；
对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：D
8．已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．
C．D．
【答案】D
【分析】由于，所以，化简后利用基本不等式可求出其最小值.
【详解】因为，，，
所以原式
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
二、多选题
9．下面命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】CD
【分析】利用特殊值判断A、B，利用不等式的性质判断C、D.
【详解】对于A：当时，故A错误；
对于B：取，则，故B错误；
对于C：由，则，，所以，故C正确；
对于D：由，所以，所以，故D正确.
故选：CD
三、单选题
10．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】C
【分析】根据关于x的不等式的解集为或可判断，判断A;由此可得是的两根，推得，即可求解以及的解集，判断;结合题意将代入，可退的结果为负，判断D.
【详解】由于关于x的不等式的解集为或，
故，A错误；
由以上分析可知，是的两根，则，
即 ，故即，则，B错误；
不等式即，
则或，即不等式的解集为或，C正确；
由于关于x的不等式的解集为或，
故的解集为，所以时，，
即，故D错误，
故选：C.
11．若正实数，满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．有最小值B．有最小值
C．有最小值4D．有最小值
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断．
【详解】对于A，因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，所以，故有最大值，故A不正确；
对于B，，当且仅当时取等号，故，即有最大值，故B不正确；
对于C，，当且仅当时取等号，故有最小值4，故C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D不正确.
故选：C.
四、多选题
12．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A．若，则满足戴德金分割
B．若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素
C．若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素
D．若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素
【答案】BD
【分析】A选项，，A错；BD选项，可举出例子；C选项，推理出，C错误.
【详解】A选项，，故，A错误；
B选项，设，满足，
此时为戴德金分割，且没有最大元素，有一个最小元素，B正确；
C选项，若有一个最大元素，有一个最小元素，则，故C错误；
D选项，设，满足没有最大元素，也没有最小元素，D正确.
故选：BD
五、填空题
13．集合的真子集的个数是 ．
【答案】7
【分析】．先根据题意写出集合的具体元素，再利将其真子集的个数给求出来即可.
【详解】因为，
则的元素个数为，故A有个真子集．
故答案为：.
14．设集合，，若，则 .
【答案】1
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故答案为：1.
15．命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“，”的否定为：“，”，因为原命题为假命题，所以其否定为真，
所以当即时，恒成立，满足题意；
当即时，只需，
解得：.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
16．设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】先根据不等式的解集求得，得到，再把对任意，恒成立，结合二次函数的性质，转化为恒成立，即可求解.
【详解】由函数，且不等式的解集为，
即是方程两个实数根，
可得，解得，所以，
又由，且，
当时，函数取得最大值，最大值为，
因为对任意恒成立，即恒成立，
解得或，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
六、解答题
17．设全集，集合，.
（1）求及；
（2）求.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据集合的交并集运算求解即可；
（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.
【详解】解：（1）因为，，
所以，
（2）因为，所以，
所以.
18．解下列不等式．
（1）；
（2）．
【答案】（1）不等式的解集为；
（2）.
【分析】根据解一元二次不等式的方法进行求解（1）（2）即可.
【详解】（1）由，
所以方程无实根，
又函数的图像是开口向上，
所以函数恒成立，
因此，原不等式的解集为；
（2）不等式的解集等价于不等式的解集，
由方程的两实数根为，
又函数的图像开口向上，且与轴交于点，
所以不等式的解集为.
19．已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由得，然后分类和求解．
【详解】（1）当时，中不等式为，即，
∴或，则
（2）∵，∴，
①当时，，即，此时；
②当时，，即，此时.
综上的取值范围为.
20．已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围.
【答案】(1)5
(2)﹛或﹜
【分析】（1）利用集合相等的条件求a的值，但要注意验证；
（2）由A∩C＝C得C⊆A，再利用集合子集的元素关系求解.
【详解】（1）由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，
因为A＝B，所以，
解得，
故a＝5.
（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A.
当C＝∅时，△＝1﹣24a＜0，解得a；
当C＝{2}时，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此时无解；
当C＝{6}时，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此时无解或a＝0.
综上，a的取值范围为.
21．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为矩形市民休闲广场.全国文明城市是中国大陆所有城市品牌中含金量最高､创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2的草坪，南北边缘都留有5m的空地栽植花木.
(1)设占用空地的面积为S（单位：），矩形休闲广场东西距离为x（单位：，），试用x表示为S的函数；
(2)当x为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值.
【答案】(1)
(2)休闲广场东西距离为40时，用地最小值为
【分析】(1)根据面积公示列关系式即可.
(2)代入第一问求出的解析式结合基本不等式求最值即可即可.
【详解】（1）因为广场面积须为，所以矩形广场的南北距离为，
所以；
（2）由（1）知，
当且仅当x=40时，等号成立.
答：当休闲广场东西距离为40m时，用地最小值为.
22．设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）．
(1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值；
(2)若f(1)=2，
①a＞0，b＞0，求的最小值；
②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①9；②
【分析】（1）由一元二次不等式的解得一元二次方程的解，利用根与系数关系列方程求解；
（2）由条件得，①利用基本不等式求最小值；②化简不等式为标准的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立可得．
【详解】（1）由题意的两根是和1且，
所以，解得．
（2）①，，
又，
所以，当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是9．
②由①得，，即，
的解集为R，时，不合题意，
所以，且，解得，
所以的范围是．
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