2023-2024学年江苏省苏州市苏州高新区第一初级中学校八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市苏州高新区第一初级中学校八年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( )
A. 9B. 7C. 12D. 9或12
3.等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为( )
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
4.如图所示，共有等腰三角形( )
A. 4个B. 5个C. 3个D. 2个
5.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，则△ABC的面积为
( )
A. 12B. 24C. 10D. 20
6.如图，△ABC中，AC=8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB=AD，EF=EC，则EF的长是
( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.如图，线段AB,BC的垂直平分线l1、l2相交于点O.若∠DOE=44°，则∠AOC=( )
A. 92°B. 88°C. 46°D. 86°
8.如图，在△ABC中，∠BAC=∠ABC=48°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是CD上一点，将△ACE沿着AE翻折得到△AFE，连接CF，若E，F，B三点恰好在同一条直线上，则△CFA的度数是
( )
A. 72°B. 78°C. 80°D. 84°
二、非选择题（共96分）
9.已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为 ．
10.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=50°，DE⊥AC于点E，FD⊥AB于点D，则∠EDF的度数是 ．
11.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上一点．若△PAB的周长为14．PA=4，则线段AB的长度为 ．
12.如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 ．
13.定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰△ABC是倍长三角形，且一边长为6，则△ABC的底边长为 ．
14.如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E.若∠ABC=64°,∠C=29°,AB=4,BC=10，则AE= ．
15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD=2，BC=5，则AB2+CD2= ．
16.如图，在△ABC中，∠C=90°,∠ABC=70°，D是AB的中点，点E是边AC上一动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A’处，当A{{'}}E/\!/BC时，则∠ADE= ．
17.如图，在单位长度为1的正方形网格中，已知△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)画出△ABC关于直线DE的轴对称图形△A1B1C1；
(2)求△A1B1C1的面积．
18.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF/\!/BC，分别交AB、AC于E、F两点，求证C△AEF=AB+AC．
19.请用无刻度的直尺和圆规作图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC=PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
20.如图，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，D是斜边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE，已知AC=6，BD=5，求△ACE的周长．
21.如图，点P在∠AOB内部，点P关于OA、OB对称的点分别为C、D，连接PC交OA于点R，连接PD交OB于点T，连接CD，交OA于点M，交OB于点N，连接PM、PN．

(1)若CD=18cm，求△PMN的周长；
(2)若∠C=15°，∠D=17°，求∠MPN的度数．
22.意大利著名画家达⋅芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中左图的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，右图的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2．
(1)请用含a，b，c的代数式分别表示S1，S2；
(2)请利用达⋅芬奇的方法证明勾股定理．
23.如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在AB边上的F处，折痕为DE.已知AB=AC,FD⊥BC．
(1)求证：∠AFE=90°．
(2)AF=4,BF=6,求AE．
24.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
(1)当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
(2)当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t(s)，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
25.上小学时，我们已学过三角形三个内角的和为180°.定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°.那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，则∠B=______；
(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
①如图，若AD是∠BAC的平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠ABC=24°，则∠EAC=______．
26.(1)【问题】
已知：如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，BD=BA．EF垂直平分AC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF当∠B=30°，∠BAF=90°时，求∠DAC的度数．
(2)【探究】
若把“问题”中的条件“∠B=30°”去掉，其它条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？请说明理由．
(3)【拓展】
若把“问题”中的条件“∠B=30°”去掉，再将“∠BAF=90°”改为“∠BAF=α”，其余条件不变，则∠DAC=______．
27.如图，∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P，∠C=60°．
(1)直接写出∠APB== °；
(2)求证：PD=PF；
(3)若∠ABC=80°，求证：AP=BC．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】【分析】分类讨论2是腰与底，根据三角形三边关系验证即可．
【详解】解：当2为腰时，三角形的三边是2，2，5，因为2+2<5，所以不能组成三角形；
当2为底时，三角形的三边是2，5，5，所以三角形的周长=12，
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系，掌握等腰三角形的性质、三角形的三边关系．
3.【答案】B
【解析】【分析】这个底角的度数为x，则顶角的度数为(2x+20°)，根据三角形的内角和等于180°，即可求解．
【详解】解：设这个底角的度数为x，则顶角的度数为(2x+20°)，根据题意得：
2x+2x+20°=180°，
解得：x=40°，
即这个底角的度数为40°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数．
【详解】解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO=∠DCO=36°，
根据三角形的外角的性质，得
∠AOB=∠COD=72°．
再根据等角对等边，得
等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定定理．
5.【答案】A
【解析】【分析】如图，过A作AD⊥BC于D,证明CD=BD=4,AD= AC2−CD2=3,再利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于D,AB=AC=5,BC=6，

∴CD=BD=3,AD= AC2−CD2=4,
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×6×4=12.
故选A．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，证明CD=BD是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】连接AF，得到∠AFC=90°，再证AE=EF，可得EF=AE=EC，即可求出EF的长．
【详解】解：如图：连接AF，
∵AB=AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
∵EF=EC，
∴∠EFC=∠C，
∵在Rt△AFC中，∠AFC=90°，
∴∠AFE+∠EFC=90°，∠FAC+∠C=90°，
∴∠AFE=∠FAC，
∴AE=EF，
∵AC=8，
∴EF=AE=EC=12AC=4.
故选B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质.解题的关键是正确的添加辅助线．
7.【答案】B
【解析】【分析】连接BO并延长至点P.由线段垂直平分线的性质可知OA=OB=OC，∠ODE=∠OFA=90°，从而得出∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，∠ABC=180°−∠DOF.再根据三角形外角的性质可求出∠AOC=2∠ABC.由∠DOE=180°−∠DOF，即得出∠ABC=44°，从而即可解答．
【详解】解：如图，连接BO并延长至点P．
∵线段AB,BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴OA=OB=OC，∠ODE=∠OFA=90°，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠AOP=∠A+∠ABO=2∠ABO，∠COP=∠C+∠CBO=2∠CBO，
∴∠AOC=∠AOP+∠COP=2∠ABO+2∠CBO=2(∠ABO+∠CBO)=2∠ABC．
∵∠ODE=∠OFA=90°，
∴∠ABC=180°−∠DOF．
∵∠DOE=180°−∠DOF，
∴∠ABC=∠DOE=44°，
∴∠AOC=2∠ABC=88°．
故选B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，四边形内角和为360°等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得CD是AB的垂直平分线，可得AE=BE，∠AED=∠BED，所以∠AEC=∠BEC，由翻折的性质可得∠AEC=∠BEC=∠AEB，所以∠BEC=120°，进而可以解决问题．
【详解】解：在△ABC中，∠BAC=∠ABC=48°，
∵CD⊥AB，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠AED=∠BED，
∴∠AEC=∠BEC，
由翻折可知：∠AEC=∠AEB，CE=FE，
∴∠AEC=∠BEC=∠AEB，
∴∠BEC=120°，
∵CE=FE，
∴∠EFC=∠ECF=(180°−120°)÷2=30°，
∵∠BAC=48°，
∴∠ACE=90°−48∘=42°，
由翻折可知：∠AFE=∠ACE=42°，
∴∠CFA=∠EFC+∠AFE=30°+42°=72°．
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
9.【答案】35°
【解析】【分析】由等腰三角形两个底角相等可知内角为110°的角只能是顶角，再结合三角形内角和180°解题即可．
【详解】解：根据题意得，设等腰三角形的底角的度数为x，
则x+x+110°=180°
解得2x=70°
∴x=35°
故答案为：35°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10.【答案】65°/65度
【解析】【分析】根据三角形内角和可得∠A=∠B=180°−50°2=65°，根据DE⊥AC，FD⊥AB可得∠EDA=90°−∠A=25°，∠FDB=90°，即可得到答案；
【详解】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠C=50°，
∴∠A=∠B=180°−50°2=65°，
∵DE⊥AC，FD⊥AB，
∴∠EDA=90°−∠A=25°，∠FDB=90°，
∴∠EDF=180°−90°−25°=65°，
故答案为65°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据等腰三角形性质求出底角．
11.【答案】6
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得出AP=BP=4，进而即可求解．
【详解】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，
∴AP=BP=4．
∵△PAB=PA+PB+AB=14，
∴4+4+AB=14，
∴AB=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．
12.【答案】30
【解析】【分析】连接OA，过O作OE⊥AB,OF⊥AC，根据角平分线的性质，利用S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC进行计算即可．
【详解】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB,OF⊥AC，
则：OE=OF=OD=3，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB⋅OE+12BC⋅OD+12AC⋅OF,
即：S△ABC=12×(AB+BC+AC)×3,
∵△ABC的周长是20，
∴S△ABC=12×(AB+BC+AC)×3=12×20×3=30；
故答案为：30．
【点睛】本题考查角平分线的性质和割补法求三角形面积．熟练掌握角平分线的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
13.【答案】3或6
【解析】【分析】由倍长三角形的定义，分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：∵等腰△ABC是倍长三角形，
∴腰长=底边长的2倍或底边长=腰长的2倍，
如果腰长是6，底边长是3或12，
∵6+6=12，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是3，腰长是6；
如果底边长是6，腰长是12或3，
∵3+3=6，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是6，腰长是12，
∴△ABC的底边长是3或6．
故答案为：3或6．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握倍长三角形的定义，并分两种情况讨论．
14.【答案】3
【解析】【分析】延长AE交BC于点F，证明△ABE≌△FBE，得出AE=EF,AB=BF=4,∠BAF=∠BFA=58°，根据∠C=29°，得出∠CAF=∠C，则AF=CF，进而即可求解．
【详解】解：如图，延长AE交BC于点F．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE．
在△ABE和△FBE中，
∠AEB=∠FEB=90°BE=BE∠ABE=∠FBE,
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴AE=EF,AB=BF=4，
∴∠BAF=∠BFA=12×(180°−64°)=58°．
∵∠C=29°，
∴∠CAF=∠AFB−∠C=29°，
∴∠CAF=∠C，
∴AF=CF．
∵BC=10，
∴CF=BC−BF=6，
∴AF=6，
∴AE=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等角对等边，角平分线的定义，三角形外角的定义和性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
15.【答案】29
【解析】【分析】先利用勾股定理求出OA2+OD2=AD2=4，OB2+OC2=BC2=25，可得OA2+OD2+OB2+OC2=29，然后由OA2+OB2=AB2，OC2+OD2=CD2得出答案．
【详解】解：由题意知BD⊥AC，
∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，
根据勾股定理得，OA2+OD2=AD2=22=4，OB2+OC2=BC2=52=25，
∴OA2+OD2+OB2+OC2=4+25=29，
根据勾股定理得，OA2+OB2=AB2，OC2+OD2=CD2，
∴AB2+CD2=29，
故答案为：29．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
16.【答案】115°或25°
【解析】【分析】当A{{'}}E/\!/BC时，∠A’EA=∠C=90°，分两种情况考虑，根据翻折可得∠A’ED=∠AED=45°或135°，再根据三角形内角和定理，即可解决问题．
【详解】解：如图，当A{{'}}E/\!/BC时，

∴∠A’EA=∠C=90°，
∵∠ABC=70°，
∴∠A=90°−70°=20°，
由翻折可知：∠A’ED=∠AED=12∠A’EA=45°，
∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=180°−20°−45°=115°．
或者：由翻折可知：∠A’ED=∠AED=12×(360°−90°)=135°，
∴∠DEC=45°，
∴∠ADE=∠DEC−∠A=45°−20°=25°．

故答案为：115°或25°．
【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
17.【答案】(1)图形见解析
(2)△A1B1C1的面积为72

【解析】【分析】(1)找到△ABC的三个顶点，分别作图形三个顶点的对称点，按相同的顺序连接各对称点，即可画出图形的轴对称图形．
(2)首先构造正方形A1EFG，求出正方形的面积，然后再减去△A1B1C1四周的三个小三角形的面积，即可得出△A1B1C1的面积．
【详解】(1)
(2)解：∵S正方形A1EFG=3×3=9
S△A1EB1=12×3×2=3
S△B1FC1=12×2×1=1
S△A1GC1=12×1×3=32
∴S△A1B1C1=9−3−1−32=72
【点睛】本题考查了轴对称图形的画法，在网格中计算不规则三角形的面积．本题的关键在熟练掌握轴对称图形的画法．
18.【答案】见解析
【解析】【分析】由角平分线的定义可知∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD.由平行线的性质可得出∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，即得出∠ABD=∠EDB，∠FDC=∠ACD，根据等角对等边得出DE=EB，CF=DF，即可证明C△AEF=AB+AC．
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD．
∵EF/\!/BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠ABD=∠EDB，∠FDC=∠ACD，
∴DE=EB，CF=DF，
∴C△AEF=AE+AF+DE+DF=AE+AF+BE+CF=AB+AC．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定．证明出DE=EB，CF=DF是解题关键．
19.【答案】见解析
【解析】【分析】连接CD，作线段CD的垂直平分线，作∠AOB的平分线，则线段CD的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点即为点P．
【详解】解：如图，点P即为所作．

【点睛】本题考查作图—作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，作图—角平分线，角平分线的性质．掌握基本作图方法是解题关键．
20.【答案】14
【解析】【分析】根据题意可判断DE为BC的垂直平分线，即得出BE=CE.由勾股定理可求出AB，进而即可求解．
【详解】解：∵DE⊥BC，D是斜边BC的中点，
∴DE为BC的垂直平分线，BC=2BD=10，
∴BE=CE．
∵AC=6，BC=10，∠A=90°，
∴AB= BC2−AC2=8，
∴△ACE的周长=CE+AE+AC=BE+AE+AC=AB+AC=8+6=14．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．
21.【答案】(1)18cm
(2)116°

【解析】【分析】(1)证明PM=CM，PN=DN，可得△PMN的周长=CM+DN+MN=CD，从而可得答案；
(2)证明∠C=15°，∠D=17°，可得∠CPD=180°−∠C−∠D=148°，∠CPM=∠C=15°，∠DPN=∠D=17°，可得∠MPN=∠CPD−∠CPM−∠DPN=116°．
【详解】(1)解：∵点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，
∴PM=CM，PN=DN.
∴△PMN的周长=PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD=18cm．
(2)∵∠C=15°，∠D=17°，
∴∠CPD=180°−∠C−∠D=148°.
∵PM=CM，PN=DN，∠C=15°，∠D=17°，
∴∠CPM=∠C=15°，∠DPN=∠D=17°，
∴∠MPN=∠CPD−∠CPM−∠DPN=116°．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键．
22.【答案】(1)S1=a2+b2+ab，S2=c2+ab；(2)证明见解析．
【解析】【分析】(1)根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题；
(2)根据(1)的结果及S1=S2可证明勾股定理．
【详解】解：(1)S1=a2+b2+2×12ab=a2+b2+ab
S2=c2+2×12ab=c2+ab
(2)由S1=S2得
a2+b2+ab=c2+ab
所以 a2+b2=c2
【点睛】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息，属于中考常考题型．
23.【答案】(1)见解析
(2)AE=295

【解析】【分析】(1)根据折叠性质和等腰三角形性质得出∠B=∠C=∠EFD，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可；
(2)根据折叠性质和勾股定理解答即可．
【详解】(1)由折叠性质，∠C=∠EFD，EF=CE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=∠EFD，
∵FD⊥BC，
∴∠B+∠BFD=90°，
∴∠EFD+∠BFD=90°，
∴∠AFE=180°−∠EFD−∠BFD=90°；
(2)∵AF=4,BF=6,AB=AC
∴AC=AB=4+6=10
∴EF=CE=AC−AE=10−AE
在Rt△AFE中，AF2+EF2=AE2，
∴42+(10−AE)2=AE2，
解得：AE=295．
【点睛】本题考查折叠性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余、勾股定理，熟练掌握折叠性质和等腰三角形的性质，利用勾股定理建立方程思想是解答的关键．
24.【答案】(1)△BPQ是等边三角形，理由见解析
(2)当点P的运动时间为2s或4s时，△BQP是直角三角形

【解析】【分析】(1)分别求出BP、BQ的长可知BP=BQ，再由等边三角形的性质得到∠B=60°，即可证明△BPQ是等边三角形；
(2)分当∠PQB=90°时和当∠BPQ=90°时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】(1)解：△BPQ是等边三角形，理由如下；
由题意得，当t=2时，AP=2cm,BQ=4cm，
∴BP=AB−AP=4cm，
∴BP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴△BPQ是等边三角形；
(2)解；∵运动时间为ts，
∴AP=tcm,BQ=tcm，
∴BP=AB−AP=(6−t)cm，
如图1所示，当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=90°−∠B=30°，
∴BP=2BQ，
∴6−t=2t，
解得t=2；
如图2所示，当∠BPQ=90°时，
同理可得∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，
∴2(6−t)=t，
解得t=4；
综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，△BQP是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定条件并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
25.【答案】(1)15°；(2)①是，见解析；②24°或33°
【解析】【分析】(1)根据△ABC是“准互余三角形”，∠A=60°得出∠A+2∠B=90°，从中求出∠B即可；
(2)①△ABD是“准互余三角形”，理由如下：根据AD平分∠BAC，得出∠BAC=2∠BAD=2∠DAC，根据三角形内角和∠BAC+∠B+∠C=180°，得出2∠BAD+∠B=90°即可；
②点E是边BC上一点，△ABE是“唯互余三角形”，分两种情况，当2∠BAE+∠ABC=90°时，先求出∠BAE=33°，可得∠EAC=33°，当∠BAE+2∠ABC=90°时，
可求∠BAE=42°，根据∠EAC=90°−∠BAE−∠ABC=24°即可．
【详解】(1)∵△ABC是“准互余三角形”，∠A=60°，
∴∠A+2∠B=90°，
∴∠B=12(90°−∠A)=12(90°−60°)=15°，
故答案为：15°
(2)①解：△ABD是“准互余三角形”，理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2∠DAC，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠C=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴2∠BAD+∠B=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，
∴当2∠BAE+∠ABC=90°时，
∴∠BAE=12(90°−∠ABC)=12(90°−24°)=33°，
∴∠EAC=90°−∠BAE−∠ABC=33°，
∴当∠BAE+2∠ABC=90°时，
∴∠BAE=(90°−2∠ABC)=(90°−2×24°)=42°，
∴∠EAC=90°−∠BAE−∠ABC=90°−42°−24°=24°．
故答案为33°或24°．
【点睛】本题考查新定义“准互余三角形”，角平分线定义，角的倍分，掌握如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°或α+2β=90°.那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”是解题关键．
26.【答案】(1)45°；(2)45°；(3)12α
【解析】【分析】(1)连接AD，AF，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠BAD的度数，利用线段垂直平分线的性质可得∠CAF=∠C，结合三角形的内角和定理可求得∠AFB及∠C的度数，进而可求解；
(2)类比(1)的解法可求解；
(3)类比(1)的解法可求解．
【详解】解：(1)连接AD，AF，
∵AB=BD，∠B=30°，
∴∠BAD=∠BDA=180°−30°2=75°，
∵EF垂直平分AC，
∴∠CAF=∠C，
∵∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF=90°，
∴∠AFB=90°−30°=60°，
∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C，
∴∠C=∠CAF=30°，
∴∠CAD=∠ADB−∠C=75°−30°=45°；
(2)不会改变；
理由如下：
连接AD，AF，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA=180°−∠B2=90°−12∠B，
∵EF垂直平分AC，
∴∠CAF=∠C，
∵∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF=90°，
∴∠AFB=90°−∠B，
∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C，
∴∠C=∠CAF=45°−12∠B，
∴∠CAD=∠ADB−∠C=90°−12∠B−(45°−12∠B)=45°，
故∠DAC的度数不会改变；
(3)连接AD，AF，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA=180°−∠B2=90°−12∠B，
∵EF垂直平分AC，
∴∠CAF=∠C，
∵∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF=α，
∴∠AFB=180°−α−∠B，
∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C，
∴∠C=∠CAF=90°−12α−12∠B，
∴∠CAD=∠ADB−∠C=90°−12∠B−(90°−12α−12∠B)=12α．
故答案为：12α．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，利用类比推理求解是解题的关键．
27.【答案】(1)120
(2)见解析
(3)见解析

【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义得到∠PAB=12∠CAB，∠PBA=12∠CBA，再利用三角形内角和定理计算即可；
(2)过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，根据角平分线的性质得到PE=PG，PE=PH，可得PH=PG，再证明△PDG≅△PFH(AAS)，即可证明结论；
(3)作∠CBD的平分线交AC于点N，则∠CBN=∠DBN=12∠CBD，先分别求出∠CAB，∠CBD，∠ABD，∠CAF，∠BDC，∠CBN，∠DBN，∠ANB的度数，得到AD=BD，∠ANB=∠BDC=80°，BD=BN，再根据AAS证明△APD≅△CBN即可证明结论．
【详解】(1)∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠PAB=12∠CAB，∠PBA=12∠CBA，
∴∠APB=180°−(∠PAB+∠PBA)
=180°−(12∠CAB+12∠CBA)
=180°−12(180°−∠C)
=120°．
故答案为：120；
(2)过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，
∴PE=PG，PE=PH，
∴PH=PG，
∵PH⊥BC，PG⊥AC，
∴∠PGC=∠PHC=90°，
∴∠GPH=360°−90°−90°−60°=120°，
∴∠GPH=∠APB=120∘=∠DPF，
∴∠DPG=∠FPH，
在△PDG和△PFH中，
∠PGD=∠PHF=90°∠DPG=∠FPHPG=PH,
∴△PDG≅△PFH(AAS)，
∴PD=PF；
(3)如图，作∠CBD的平分线交AC于点N，则∠CBN=∠DBN=12∠CBD，
∵∠ABC=80°，∠C=60°，
∴∠CAB=180°−60°−80°=40°，∠CBD=∠ABD=12∠ABC=12×80°=40°，
∴∠CAF=12∠CAB=12×40°=20°，∠CAB=∠ABD=40°，
∴AD=BD，∠BDC=∠CAB+∠ABD=80°，
∴∠CBN=∠DBN=12∠CBD=12×40°=20°，
∴∠ANB=∠C+∠CBN=60°+20°=80°，∴∠ANB=∠BDC=80°，
∴BD=BN，
∴AD=BN，
在△APD和△BCN中，
∠PAD=∠CBN∠APD=∠CAD=BN,
∴△APD≅△CBN(AAS)，
∴AP=BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，证明三角形全等是解题的关键．