2023-2024学年江苏省苏州市昆山市四校联考八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市昆山市四校联考八年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个图案中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，在△ABC中，AC=5，BC=7，AB=9，用图示尺规作图的方法在边AB上确定一点D.则△ACD的周长为
．( )
A. 12B. 14C. 16D. 21
3.到三角形三条边的距离相等的点是三角形的交点( )
A. 三个内角平分线B. 三边垂直平分线C. 三条中线D. 三条高线
4.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=15，BD=10，则点D到AB的距离是
( )
A. 15B. 10C. 8D. 5
5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN/\!/BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
6.已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是
( )
A. ∠A−∠B=∠C
B. ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
C. (b+c)(b−c)=a2
D. a=7，b=24，c=25
7.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：

①x2+y2=49，②x−y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．
其中说法正确的是
( )
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
8.如图，四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，M，N分别是AB，AD上的点，当△CMN的周长最小时，则∠MCN的度数为
( )
A. 40°B. 80°C. 90°D. 100°
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______．
10.直角三角形两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线等于_．
11.如图，AB//CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=75°，则∠B的度数为______．
12.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D是BC上一点，BD=2，DE⊥BC交AB于点E，则AE=______．
13.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB=_____．
14.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，D是BC的中点，点P是线段AD上一点，连接BP，将△ABP沿BP翻折得到△A’BP，当A’P⊥AD时，则∠ABP=_______．
15.如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD=4，则△ABC的面积是____
16.如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD=8，AD、BE分别是△ABC边BC、AC上的高，P是AD上的动点，则△CPE周长的最小值是_____．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
如图，在规格为8×8的边长为1个单位的正方形网格中(每个小正方形的边长为1)，△ABC的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直．
(1)画出△ABC关于直线n的对称图形△A’B’C’；
(2)直线m上存在一点P，使△APB的周长最小；在直线m上作出该点P；(保留画图痕迹)
18.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，且AB=BD.求∠CAD的度数．
19.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD= CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：DE=DF．
20.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D在边AC上，连接BD，DB=BC，E是CD的中点，F是AB的中点，连接EF，求证：EF=12AB．
21.(本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=12，CD=13，AD=3，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
22.(本小题8.0分)
有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送2m(水平距离BC=2m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
23.(本小题8.0分)
已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△BEF的面积．
24.(本小题8.0分)
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的边分别为a、b、c．
(1)若a:b=3:4，c=10，求a，b的值．
(2)若c−a=4，b=16，求a的值．
25.(本小题8.0分)
已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，点F是BD的中点．
(1)求证：EF⊥BD；
(2)若∠BED=90°，求∠BCD的度数．
(3)若∠BED=α，直接写出∠BCD的度数．(用含α的代数式表示)
26.(本小题8.0分)
如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．

(1)如图1，三角形内角分别为80°，25°，75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D.求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知△ABC中，∠B=64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD.①求∠C的度数．②若AB=3，AC=5，求BC的长．
27.(本小题8.0分)
如图1，△ABC中，CD⊥AB于点D，且BD：AD：CD=2：3：4，
(1)试说明△ABC是等腰三角形；
(2)已知S△ABC=90cm2，如图2，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点Q从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点P运动的时间为t(秒)，
①若△DPQ的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点P运动的过程中，△PDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是BC的垂直平分线，可得CD=BD，从而得到△ACD的周长为AC+CD+AD，即可求解．
【详解】解：根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵AB=9，
∴CD+AD=AD+BD=AB=9，
∵AC=5，
∴△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+AB=5+9=14．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据角平分线的性质定理可进行求解．
【详解】解：根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知：到三角形三条边距离相等的点是三个内角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】过D点作DE⊥AB于E，如图，然后根据角平分线的性质求出DE的长即可．
【详解】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵BC=15，BD=10，
∴CD=BC−BD=5，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC=5，
∴点D到AB的距离为5．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5.【答案】D
【解析】【分析】利用角平分线和平行可以证明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN=MN即可解答．
【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN/\!/BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．
【详解】解：A、∵∠A−∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，故△ABC为直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=53+4+5×180°=75°，故△ABC是锐角三角形，不是直角三角形；
C、∵(b+c)(b−c)=a2，∴b2−c2=a2，即b2=c2+a2，故△ABC为直角三角形；
D、∵72+242=252，∴△ABC为直角三角形；
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
7.【答案】B
【解析】【详解】可设大正方形边长为a，小正方形边长为b，所以据题意可得a2=49，b2=4；
根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，式①正确；
因为是四个全等三角形，所以有x=y+2，所以x−y=2，式②正确；
根据三角形面积公式可得S△=xy2，而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以4×xy2+4=49，化简得2xy+4=49，式③正确；
因为x2+y2=49，2xy+4=49，
所以(x+y)2=94
所以x+y= 94，因而式④不正确．
故答案为B．
8.【答案】D
【解析】【分析】作点C关于AB的对称点E，关于AD的对称点F，则CM=EM，CN=FN，可得CM+MN+CN=EM+MN+FN，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长，根据四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°得∠BCD=140°，根据三角形内角和定理得∠E+∠F=40°，根据等边对等角得∠CMN=2∠E，∠CNM=2∠F，即可得∠CMN+∠CNM=80°，根据三角形内角和定理即可得．
【详解】解：如图所示，作点C关于AB的对称点E，关于AD的对称点F，
则CM=EM，CN=FN，
∴CM+MN+CN=EM+MN+FN，
∴当E、M、N、F在同一条直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长，
∵四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，
∴∠BCD=360°-∠A-∠B-∠D=360°-40°-90°-90°=140°，
∴∠E+∠F=180°-∠BCD=180°-140°=40°，
∵CM=EM，
∴∠E=∠MCB，
∴∠CMN=∠E+∠MCB=2∠E，
∵CN=FN，
∴∠F=∠NCD，
∴∠CNM=∠F+∠NCD=2∠F，
∴∠CMN+∠CNM=2(∠E+∠F)=2×40°=80°，
∴∠MCN=180°-(∠CMN+∠CNM)=180°-80°=100°，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径．
9.【答案】17
【解析】【分析】分两种情况：当3为腰长，7为底边长时，由三角形三边关系可判断出此三角形不存在；当7为腰长，3为底边长时，根据三角形周长进行计算即可．
【详解】解：当3为腰长，7为底边长时，
∵3+3=6<7，不满足三角形三边关系，
∴此三角形不存在；
当7为腰长，3为底边长时，
∵7+3=10>7，满足三角形三边关系，
∴此三角形存在，周长为：7+7+3=17，
综上所述：如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为17，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
10.【答案】6.5
【解析】【分析】利用勾股定理先求解斜边，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】解：∵直角三角形两条直角边的长分别为12和5，
∴斜边为： 122+52=13，
∴斜边上的中线等于12×13=6.5；
故答案为：6.5
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记勾股定理与斜边上的中线的性质是解本题的关键．
11.【答案】30°
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠C，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵CD=CE，
∴∠D=∠CED=75°，
∴∠DCB=180°−75°−75°=30°，
∵CD // AB，
∴∠B=∠C=30°，
故答案为：30°．
【点睛】此题考查了等腰三角形以及平行线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得∠B=60°，再由30°角直角三角形的性质可得EB=2BD=4，由此即可求得AE的长．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB=90°，∵BD=2，
∴EB=2BD=4，
∴AE=AB−BE=6−4=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及30°角直角三角形的的性质，利用30°角直角三角形的的性质求得EB=4是解决问题的关键．
13.【答案】8
【解析】【详解】∵AB=AC，AF⊥BC，∴∠AFB=90°，BF=CF，又∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠BEA=90°，∴EF=12BC=3，又∵D为AB中点，∴DE=DF=12AB，∵DE+DF+EF=11，∴DE+DF=8，∴AB=8．
14.【答案】20°
【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质，求出∠BAP=25°，再根据翻折的性质和∠APA′=90°，求出∠APQ=45°，再根据三角形外角的性质得出结论．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=50°，D是BC的中点，
∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC=25°，
延长BP至Q，如图所示：
由折叠的性质可知：∠APQ=∠A′PQ，
∵A’P⊥AD，
∴∠APQ+∠A′PQ=∠APA′=90°，
∴∠APQ=∠A′PQ=45°，
又∵∠ABP+∠BAP=∠APQ，
∴∠ABP=∠APQ−∠BAP=45°−25°=20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，图形的变换——折叠，三角形的外角性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
15.【答案】32
【解析】【分析】连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，根据角平分线的性质得出ME=MD=MF=4，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD=4，
∴ME=MD=4，MF=MD=4，
∵△ABC的周长是16，
∴AB+BC+AC=16，
∴△ABC的面积S=S△AMC+S△BCM+S△ABM
=12×AC×MF+12×BC×DM+12×AB×ME
=12×AC×4+12×BC×4+12×AB×4
=2(AC+BC+AB)
=2×16=32，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DM=ME=ME=4是解题的关键．
16.【答案】16.8
【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，则BP=CP，故而△CPE的周长=CP+CE+PE=BP+PE+CE，可以得到当B、P、E三点共线时，△CPE的周长最小，最小值即为BE+CE，在△ABC中，利用面积法可求出BE的长度，此题得解．
【详解】解：∵AB=AC，AD是△ABC的高，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴△CPE的周长=CP+CE+PE=BP+PE+CE，
∴当B、P、E三点共线时，△CPE的周长最小，最小值即为BE+CE，
∵AB=AC，AD、BE分别是△ABC边BC、AC上的高，
∴BP=CP，∠ADB=90°，
∵AB=AC=10，AD=8，
∴BD=6，
∴BC=2BD=12，
∵S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BE，
∴BE=BC⋅ADAC=12×810=9.6．
∴PC+PE的最小值是9.6，
∵∠BEC=90°，
∴CE= BC2−BE2=365，
∴△CPE周长的最小值是16.8，
故答案为：16.8．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够根据题意得到当B、P、E三点共线时，△CPE的周长最小，最小值即为BE+CE．

17.【答案】(1)见解析
(2)见解析

【解析】【分析】(1)根据轴对称的性质，进行作图即可得；
(2)过点B作关于直线m的对称点B″，连接AB″交m于点P，即可得．
【详解】(1)解：如图所示，
(2)解：如图所示，过点B作关于直线m的对称点B″，连接AB″交m于点P，
即△APB的周长最小．
【点睛】本题考查了轴对称变换，最短路径问题，解题的关键是掌握这些知识点．
18.【答案】22.5°
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BAD=∠BDA=45°，根据线段垂直平分线的性质得出DA=DC，求出∠DAC=∠DCA，根据三角形的外角性质得出∠CAD+∠DCA=∠ADB，即可求解．
【详解】解：∵∠B=90°，AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA=12(180°-∠B)=45°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠CAD+∠DCA=∠ADB，
∴∠DAC=12∠ADB=22.5°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线的性质得出DA=DC是解此题的关键．
19.【答案】见解析
【解析】【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，由垂线的性质可证得∠DEB=∠DFC=90°，由AAS证明△BDE≌△CDF，得出对应边相等即可．
【详解】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在△BDE与△CDF中，
∠DEB=∠DFC∠B=∠CBD=CD
∴△BDE≌△CDFAAS，
∴DE=DF
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用证明三角形全等的方法是解决问题的关键．
20.【答案】见解析
【解析】【分析】连接BE，根据等腰三角形的性质得出BE⊥AC，求出∠BEA=90°，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出即可．
【详解】证明：连接BE，如图．
∵DB=BC，E是CD的中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BEA=90°，
∵F是AB的中点，
∴EF=12AB．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质和等腰三角形的性质，能求出BE⊥AC是解此题的关键．
21.【答案】36
【解析】【分析】连接BD，根据勾股定理得DB=5，根据勾股定理的逆定理得△DBC是直角三角形，∠DBC=90°，根据S四边形ABCD=SDAB+SDBC进行计算即可得．
【详解】解：如图所示，连接BD，

∵∠A=90°，AB=4，AD=3，
∴DB= AB2+AD2= 42+32=5，
∵DB2+BC2=52+122=169=132=CD2，
∴△DBC是直角三角形，∠DBC=90°，
∴S四边形ABCD=SDAB+SDBC
=12AD.AB+12DB.BC
=6+30
=36
即四边形ABCD的面积为36．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线．
22.【答案】2.5m
【解析】【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC=AD−DE=AD−(BF−DE)=x−(1.5−0.5)=(x−1)m，利用勾股定理可得x2=22+(x−1)2，再解方程即可得出答案．
【详解】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC=(x−1)m，
故x2=22+(x−1)2，
解得：x=2.5，
答：绳索AD的长度是2.5m．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
23.【答案】152cm2
【解析】【分析】过点E作EH⊥BC于点H，由四边形ABCD是长方形和折叠知DE=BE，再用平行线的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H，

过点E作EH⊥BC于点H，
∴∠EHB=90°
∵四边形ABCD是长方形
∴∠A=∠ABC=90°
∴四边形ABHE是矩形
设BE=xcm，
由折叠知DE=BE，
∴AE=AD−ED=9−x，
在Rt△ABE中，BE2=AE2+AB2
∴x2=(9−x)2+32
解得x=5，
∴DE=BE=5cm，AE=4cm
∵AD/\!/BC，
∴∠EFB=∠DEF
又∵∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BF=BE=5，
∴△BEF的面积为12BF×EH=12×5×3=152cm2
【点睛】此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
24.【答案】(1)a=6，b=8
(2)30

【解析】【分析】(1)设a=3x，则b=4x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
(2)根据勾股定理可得a，b，c的数量关系，再把已知条件代入即可求出a的值．
【详解】(1)解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a:b=3:4，
∴设a=3x，则b=4x．
∵a2+b2=c2，即(3x)2+(4x)2=102，
解得x=2(负值舍去)，
∴a=3x=6，b=4x=8；
(2)∵△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，
∴a2+b2=c2，
∵c−a=4，b=16，
∴a2+256=(a+4)2，
解得：a=30．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
25.【答案】(1)见解析；(2)135°；(3)∠BCD=180°-12α
【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE，根据等腰三角形的性质得出即可；
(2)根据DE=EC=BE得出∠EDC=∠DCE，∠EBC=∠ECB，在四边形DEBC中，根据∠EDC+∠DCE+∠ECB+∠EBC+∠DEB=360°，求出2∠DCE+2∠ECB=270°，即可得出答案；
(3)由(2)得出2∠DCE+2∠BCE=360°−α，即可求出答案．
【详解】(1)证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，
∴DE=12AC，BE=12AC，
∴DE=BE，
∵点F是BD的中点，
∴EF⊥BD；
(2)解：∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，
∴DE=12AC=EC，BE=12AC=EC，
∴∠EDC=∠DCE，∠EBC=∠ECB，
∵在四边形DEBC中，∠EDC+∠DCE+∠ECB+∠EBC+∠DEB=360°，
∵∠DEB=90°，
∵∠EDC+∠DCE+∠ECB+∠EBC=360°−∠DEB=360°−90°=270°，
∴2∠DCE+2∠ECB=270°，
∴∠DCE+∠ECB=135°，
即∠BCD=135°；
(3)若∠BED=α，则∠BCD=180°−12α，
理由是：∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，
∴DE=12AC=EC，BE=12AC=EC，
∴∠EDC=∠DCE，∠EBC=∠ECB，
∵在四边形DEBC中，∠EDC+∠DCE+∠ECB+∠EBC+∠BED=360°，
∵∠BED=α，
∵∠EDC+∠DCE+∠ECB+∠EBC=360°−∠BED=360°−α，
∴2∠DCE+2∠ECB=360°−α，
∴∠DCE+∠ECB=180°−12α，
即∠BCD=180°−12α.
【点睛】本题考查了四边形的内角和、角平分线性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识点，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键，(2)和(3)求解过程类似．
26.【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①32°；②163

【解析】【分析】(1)从三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另一个三角形也是等腰三角形；
(2)根据等腰三角形的判定和性质求解可得．
(3)①由AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD.得AB=AD=CD，∠B=∠ADB=64°，从而求得∠C=∠CAD=12∠ADB=32°；②过点A作AE⊥BC于点E，Rt△ABE中，AE2=AB2−BE2=32−x2，Rt△ACE中，AE2=52−(3+x)2，得32−x2=52−(3+x)2，解方程即可．
【详解】(1)解：线段AD是△ABC的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数如图：

(2)证明：∵线段AC的垂直平分线交AC于点E，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰三角形，
∴∠C=∠DAC，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)①∵AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．
∴AB=AD=CD，
∴∠B=∠ADB=64°，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=12∠ADB=32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AD=CD=3，
∴BE=DE，
设BE为x，
∵Rt△ABE中，AE2=AB2−BE2=32−x2，
Rt△ACE中，AE2=52−(3+x)2，
∴32−x2=52−(3+x)2，
解得，x=76，
∴BC=76×2+3=163．

【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
27.【答案】(1)见解析；(2)7.5或9秒；(3)15或13.5或494秒．
【解析】【分析】(1)设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
(2)由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当PQ // BC时，AP=AQ；当DQ // BC时，AD=AQ；得出方程，解方程即可；
②由直角三角形的性质得出DE=5，根据题意得出当点P在DA上，即4【详解】(1)证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，
则AB=5x，
在Rt△ACD中，AC= AD2+CD2=5x，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)解：S△ABC=12×5x×4x=90cm2，而x>0，
∴x=3cm，
则BD=6cm，AD=9cm，CD=12cm，AC=15cm．
①当PQ // BC时，AP=AQ，
即15−t=t，
∴t=7.5；
当DP // BC时，AD=AP，
得：t=9；
∴若△DPQ的边与BC平行时，t值为7.5或9．
②∵点E是边AC的中点，CD⊥AB，
∴DE=12AC=7.5，
当点P在BD上，即0≤t<6时，△PDE为钝角三角形，但DP≠DE；
当t=6时，点P运动到点D，不构成三角形
当点P在DA上，即6如果DE=DP，则t−6=7.5，
∴t=13.5；
如果ED=EP，则点P运动到点A，
∴t=15；
如果PD=PE=t−6，
过点E作EF⊥AB于F，如图所示：
∵ED=EA，
∴DF=AF=12AD=4.5，
在Rt△AEF中，EF=6；
∵BP=t，BF=10.5，
∴FP=t−10.5
则在Rt△EFP中，(t−6)2−(t−10.5)2=62，
∴t=494．
综上所述，符合要求的t值为15或13.5或494秒．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．