2023-2024学年江苏省苏州市吴中区重点中学八年级（上）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市吴中区重点中学八年级（上）月考数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图( )
A. B.
C. D.
2.到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形( )
A. 三条角平分线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点D. 三边中垂线的交点
3.如图，DE是▵ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC=8，BC=5，则▵BEC的周长是
( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
4.如图是一个经过改造的规则为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过台球边缘多次反弹)，那么球最后将落入的球袋是( )
A. 1号袋B. 2号袋C. 3号袋D. 4号袋
5.如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，∠2−∠1=( )
A. 60∘B. 75∘C. 90∘D. 105∘
6.等腰三角形中一个角为80∘，则它的底角为
( )
A. 80∘或20∘B. 50∘或20∘C. 80∘或50∘D. 80∘
7.如图，AD是▵ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，DF=DC，▵ADE和▵ADF的面积分别为a和b，则▵DEC的面积为
( )
A. a+bB. a−bC. a+b2D. a−b2
8.如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE=∠F；②2∠DAE=∠ABD−∠ACE；③S△AEB：S△AEC=AB：AC；④∠AGH=∠BAE+∠ACB.其中正确的结论有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ．
10.等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则它的周长为 ．
11.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 个．
12.如图，BD⊥OA于点D，交射线OC于点P，PD=1，∠B=30°，若点P到OB的距离为1，则OP的长为 ．
13.如图，▵ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点P，若∠BPC=35∘，则∠CAP= ．
14.如图，在▵ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=10，△BMC的周长是16，若点P在直线MN上，则PA−PB的最大值为 ．
15.如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
16.如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N.现有四个结论：①∠BPC=12∠BAC；②CP平分∠ACF；③∠APC=90∘−12∠ABC；④S▵APM+S▵CPN>S▵APC.其中结论正确的为 .(填写结论的编号)
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17.(1)解方程组：x−3y=75x+2y=1；(2)因式分解：9a2x−y+4b2y−x2．
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题8.0分)
如图，求作点P，使点P同时满足：①PA=PB；②到直线m，n的距离相等．(尺规作图，保留作图痕迹)
19.(本小题8.0分)
如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，在下面每个网格中画出符合要求的图形(画出三种即可)．
20.(本小题8.0分)
用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．
(1)请用含x的式子表示第三条边的长度．
(2)若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长．
21.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．
(1)若∠ABC=30°，∠ACB=40°，求∠DAE的度数；
(2)已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长．
22.(本小题8.0分)
如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何?证明你的结论．
23.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.

(1)求证：AE=2CE;
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
24.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
25.(本小题8.0分)
阅读材料：
如图，▵ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S▵ARP+S▵ACP=S▵ABC，即：12AB⋅r1+12AC⋅r2=12AC⋅h，∴r1+r2=h(定值)．
(1)类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边▵ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边▵ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h(定值)．
(2)理解与应用
▵ABC中，∠C=90∘，AB=10，AC=8，BC=6，▵ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？若存在，求出这个距离r的值；若不存在，请说明理由．
26.(本小题8.0分)
如图，在▵ABC中，AB=AC=2，∠B=36∘，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE=36∘，DE交线段AC于点E．
(1)当∠BDA=128∘时，∠EDC=___________，∠AED=___________；
(2)线段DC的长度为何值时，▵ABD≌▵DCE？请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，▵ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形，解题关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形三边中垂线的交点，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE=BE，进而得出答案．
【详解】解：∵DE是▵ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵AC=8，BC=5，
∴▵BEC的周长是：BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=13．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
所以球最后将落入的球袋是1号袋，
故选 A．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；(2)对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图所示，连接AD，
在▵ABD和▵ACD中，
AB=ACAD=ADBD=CD,
∴▵ABD≌▵ACDSSS，
∴∠1=∠ACD，
∵∠2−∠ACD=∠DCE=90∘，
∴∠2−∠1=90∘．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180∘，分析可得答案．
【详解】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80∘，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80∘，
②当这个角是顶角时，设该等腰三角形的底角是x∘，
则2x+80=180，
解可得，x=50，即该等腰三角形底角的度数是50∘；
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键；注意分类讨论思想的应用．
7.【答案】B
【解析】【分析】作DG⊥AB于点G，由AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，得DG=DE，可证明Rt▵ADG≌Rt▵ADEHL，得S▵ADG=S▵ADE，再证明Rt▵DGF≌Rt▵DFCHL，得S▵DGF=S▵DEC，由S▵DGF+S▵ADF=S▵ADG=S▵ADE，得S▵DEC+b=a，则S▵DEC=a−b，于是得到问题答案．
【详解】解：作DG⊥AB于点G，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，
∴DG=DE，∠AGD=∠AED=∠CED=90∘，
在Rt▵ADG和Rt▵ADE中，
AD=ADDG=DE,
∴Rt▵ADG≌Rt▵ADEHL，
∴S▵ADG=S▵ADE，
在Rt△DGF和Rt△DFC中，
DF=DCDG=DE,
∴Rt▵DGF≌Rt▵DFCHL，
∴S▵DGF=S▵DEC，
∵S▵DGF+S▵ADF=S▵ADG=S▵ADE，且S▵ADE=a，S▵ADF=b，
∴S▵DEC+b=a，
∴S▵DEC=a−b；
故选：B．
【点睛】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt▵ADG≌Rt▵ADE及Rt▵DGF≌Rt▵DFC是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE=∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC=12∠BAC，由三角形的内角和定理得∠DAE=90°−∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC=AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH=∠BAE+∠ACB．
【详解】解：如图，AE交GF于M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE=∠AMF=90°，
∵∠AED=∠MEF，
∴∠DAE=∠F；故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC=12∠BAC，
∠DAE=90°−∠AED
=90°−(∠ACE+∠EAC)
=90°−(∠ACE+12∠BAC)
=12(180°−2∠ACE−∠BAC)
=12(∠ABD−∠ACE)，
∴2∠DAE=∠ABD−∠ACE；
故②正确；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC=AB：CA；故③正确，
④∵∠DAE=∠F，∠FDG=∠FME=90°，
∴∠AGH=∠MEF，
∵∠MEF=∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH=∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH=∠BAE+∠ACB；故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
9.【答案】12：01
【解析】【分析】根据镜面对称原理，左右颠倒，上下不变即可解题．
【详解】据镜面对称原理物体的像与物体本身上下不变，左右颠倒可知，
10:51对称之后为12:01，
故答案为12:01．
【点睛】本题考查了镜面对称，属于简单题，熟悉镜面对称的原理是解题关键．
10.【答案】16cm或14cm
【解析】【分析】根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，分两种情况：①当腰长为6cm时，②当腰长为4cm时，解答出即可．
详解】解：根据题意，
①当腰长为6cm时，等腰三角形的三边分别为6，6，4，符合三角形三边关系，
周长=6+6+4=16(cm)；
②当腰长为4时，等腰三角形的三边分别为4，4，6，符合三角形三边关系，
周长=4+4+6=14(cm)．
故答案为：16cm或14cm．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，注意本题要分两种情况解答．
11.【答案】6
【解析】【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可．
【详解】解：如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC=BC；
C在C5，C6位置上时，AB=BC；
即满足点C的个数是6，
故答案为：6
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．
12.【答案】2
【解析】【分析】过点P作PE⊥OB于点E，可得出PD=PE=1，则得出∠POD=∠POE，由直角三角形的性质得出答案．
【详解】如图，过点P作PE⊥OB于点E，
∵点P到OB的距离为1，
∴PE=1，
∵PD=1，
∴PD=PE，
又∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴点P在∠AOB的平分线上，
即∠POD=∠POE，
∵∠B=30°，BD⊥OA，
∴∠BOD=60°，
∴∠POE=12∠BOD=30°，
∴OP=2PE=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．熟练掌握几何图形的性质是解题的关键．
13.【答案】55∘
【解析】【分析】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x∘，∠ACP=∠PCD=x∘，进而根据三角形的外角的性质得出∠CAF=110∘，证明Rt▵PFA≌Rt▵PMAHL，即可求解．
【详解】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，

设∠PCD=x∘，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x∘，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=35∘，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=x−35∘，
∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=2x∘−x∘−35∘−x∘−35∘=70∘，
∴∠CAF=110∘，
在Rt▵PFA和Rt▵PMA中，
AP=APPM=PF,
∴Rt▵PFA≌Rt▵PMAHL，
∴∠FAP=∠PAC=55∘．
故答案为：55∘．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义以及性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】【分析】先找出BC的长，再确定PA−PB的取得最大值为BC的长即可．
【详解】解：∵AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，
∴MA=MC，
∵△BMC的周长是16，AB=10，
∴BC=▵BMC的周长−MC+MB=16−AM+MB=16−AB=16−10=6，
点P在直线MN上，如图，连接PA，PC，PB，

∵点P在AC的垂直平分线MN上，
∴PA=PC，
∴PA−PB=PC−PB≤BC=6，
故PA−PB的最大值为6，此时点P是直线MN与直线BC的交点．
故答案为：6．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】【分析】先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知BE=AB=4，连结
BP，依据正方形的对称性可知PB=PD，则PE+PD=PE+BP.由两点之间线段最短可知：当点B、P、E 在一条直线上时，PE+PD 有最小值，最小值为BE的长．
【详解】解：连结BP．
∵四边形ABCD 为正方形，面积为16，
∴正方形的边长为4．
∵△ABE 为等边三角形，
∴BE=AB=4．
∵四边形ABCD 为正方形，
∴△ABP 与△ADP 关于AC 对称．
∴BP=DP．
∴PE+PD=PE+BP．
由两点之间线段最短可知：当点B、P、E 在一条直线上时，PE+PD 有最小值，最小值=BE=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查正方形的性质和轴对称−最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解题关键．
16.【答案】①②③
【解析】【分析】①根据三角形的判定和性质得到AD=AM，∠APM=∠APD，CD=CN，∠NPC=∠DPC，于是得到∠APC=12∠MPN，故①正确；
②作PD⊥AC于D.根据角平分线性质得到PM=PN，PM=PD，得到PM=PN=PD，于是得到点P在∠ACF的角平分线上，故②正确；
③根据四边形内角和得到∠ABC+90∘+∠MPN+90∘=360∘，求得∠ABC+∠MPN=180∘，于是得到∠APC=90∘−12∠ABC，故③正确；
④根据角平分线定义得到∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCN=12∠ACF=∠BPC+12∠ABC，得到∠BPC=12∠BAC，根据全等三角形的性质得到S▵APM+S▵CPN=S▵APC，故④不正确．
【详解】解：①∵PB平分∠ABC，CP平分∠ACF，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACF=2∠PCF，
∵∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCF=∠PBF+∠BPC，
∴∠BAC=2∠BPC，
∴∠BPC=12∠BAC，
故①正确；
②作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)，
故②正确；
③∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90∘+∠MPN+90∘=360∘，
∴∠ABC+∠MPN=180∘，
∴∠APC=90∘−12∠ABC，故③正确；
④∵PM=PD，AP=AP，
∴Rt▵APM≌Rt▵APDHL，
同理Rt▵CPD≌Rt▵CPNHL，
∴S▵APD=S▵APM，S△CPD=S△CPN，
∴S▵APM+S▵CPN=S▵APC，故④不正确．
综上所述，①②③正确．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．
17.【答案】(1)x=1y=−2
(2)x−y9a2+4b2x−4b2y

【解析】【分析】(1)用加减法求解即可；
(2)用提公因式法分解即可解答．
【详解】解：(1)x−3y=7①5x+2y=1②,
①×5得：5x−15y=35③，
②−③得：17y=−34，
解得：y=−2，
把y=−2代入①得：x+6=7，
解得：x=1，
∴原方程组的解为：x=1y=−2；
(2)9a2x−y+4b2y−x2
=9a2x−y+4b2x−y2
=x−y9a2+4b2x−4b2y．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】见解析
【解析】【分析】连接AB，作AB的垂直平分线e，后作直线m、n所成角的角平分线f，直线e和f的交点即为所求的P点．
【详解】解：所作图形如下所示：

直线e为AB的垂直平分线，直线f为直线m，n所成角的角平分线，
∵直线m，n所成角的角平分线有两条，
∴符合条件的P点有两个．
【点睛】此题主要考查垂直平分线和角平分线的性质和作法．熟练掌握垂直平分线和角平分线的性质是解题的关键．
19.【答案】见解析
【解析】【详解】解：如图所示．
【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可．
20.【答案】(1)45−4xcm
(2)7cm，17cm，17cm

【解析】【分析】(1)依据三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm，即可用含x的式子表示第三条边的长度．
(2)依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，即可得到这个等腰三角形的三边长．
【小问1详解】
解：∵三角形的第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少4cm，
∴第二条边长为3x−4cm．
∴第三条边长为41−x−3x−4=45−4xcm．
【小问2详解】
解：若x=3x−4，则x=2，此时三边长分别为2cm，2cm和37cm，
根据三角形三边关系可知，2，2，37不能组成三角形；
若x=45−4x，则x=9，此时三边长分别为9cm，9cm和23cm，
根据三角形三边关系可知，9，9，23不能组成三角形；
若3x−4=45−4x，则x=7，此时三边长分别为7cm，17cm，17cm，
根据三角形三边关系可知，7，17，17可以组成三角形．
∴这个等腰三角形的三边长分别为7cm，17cm，17cm．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系进行判断．
21.【答案】(1)40°；(2)4cm．
【解析】【分析】(1)求出∠BAC=110°根据线段垂直平分线的性质得到，DA=DB，EA=EC，继而即可求解；
(2)连接OA，OB，OC，根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质求得OA=OB和OA=OC，进而得出OB=OC，计算即可求解．
【详解】解：(1)∵∠ABC=30°，∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−30°−40°=110°，
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠ABC=30°，
同理，EA=EC，
∴∠EAC=∠ACB=40°，
∴∠DAE=∠BAC−∠BAD−∠EAC=110°−30°−40°=40°；
(2)连接OA，OB，OC，
∵△ADE的周长7cm
∴AD+DE+EA=7(cm)，
∴BC=DB+DE+EC=AD+DE+EA=7(cm)；
∵△OBC的周长为15，
∴OB+OC+BC=15，
∵BC=7，
∴OB+OC=8，
∵OM垂直平分AB，
∴OA=OB，
同理，OA=OC，
∴OA=OB=OC=4cm．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
22.【答案】相等，详见解析
【解析】【分析】连EB、EC，根据角平分线和垂线的性质可得EF=EG，再根据中线的性质得到EB=EC，即可证明Rt△EFB≌Rt△EGC，即可得到结果；
【详解】解答：相等．
证明如下：连EB、EC，
∵AE是∠BAC的平分线，
且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
∴EF=EG，
∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，
∴EB=EC，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC，
∴BF=CG．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，结合角平分线的性质、垂线性质求解是解题的关键．
23.【答案】见解析
【解析】【分析】(1)连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，利用等边对等角的性质可得∠ABE=∠A；结合三角形外角的性质可得∠BEC的度数，再在Rt△BCE中结合含30°角的直角三角形的性质，即可证明第(1)问的结论；
(2)根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=CD，再利用直角三角形锐角互余的性质可得到∠ABC=60°，至此不难判断△BCD的形状
【详解】(1)证明：连结BE，如图．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE，
∴AE=2CE．
(2)解：△BCD是等边三角形．
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点．
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD．
又∵∠ABC=60°，
∴△BCD是等边三角形．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握30°角的直角三角形的性质是解(1)的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解(2)的关键，
24.【答案】(1)t=43；(2)t=1或t=85
【解析】【分析】(1)由题意得AP=2tcm，BQ=tcm，BP=AB−AP=4−2tcm，再由等边三角形的性质得到PB=BQ，即4−2t=t，解方程即可；
(2)讨论∠PQB=90°或∠BPQ=90°时，利用PB与BQ之间的关系，建立方程求解即可．
【详解】解：(1)由题意得AP=2tcm，BQ=tcm，
∴BP=AB−AP=4−2tcm
∵△PBQ是等边三角形，
∴PB=BQ，
∴4−2t=t，
解得t=43，
∴当t=43时，△PBQ为等边三角形；
(2)∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴当△PBQ为直角三角形时，只能是∠PQB=90°或∠BPQ=90°，
当∠PQB=90°时，
∴∠BPQ=30°，
∴BQ=12BP，
∵BP=4−2tcm，BQ=tcm，
∴t=124−2t，
解得t=1；
当∠BPQ=90°时，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2BP，
∴t=24−2t，
解得t=85，
综上所述，当t=1或t=85时△PBQ为直角三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质．
25.【答案】(1)见解析 (2)存在，2
【解析】【分析】(1)连接PA，PB，PC，仿照面积的割补法，得出∵S▵PBC+S▵PAC+S▵PAB=S▵ABC，而这几个三角形的底相等，故可得出高的关系．
(2)作∠ACB与∠ABC的角平分线相交于O，根据角平分线的性质可得点O到各边的距离相等，连接AO，根据S▵OBC+S▵OAC+S▵OAB=S▵ABC，则12BC⋅r+12AC⋅r+12AB⋅r=12BC⋅AC，代入三边长即可求解．
【小问1详解】
解：连接PA，PB，PC，
∵S▵PBC+S▵PAC+S▵PAB=S▵ABC，
∴12BC⋅r1+12AC⋅r2+12AB⋅r3=12BC⋅h，
∵BC=AC=AB，
∴r1+r2+r3=h(定值)．
【小问2详解】
解：存在，
作∠ACB与∠ABC的角平分线相交于O，过点O作OD⊥BC于D，作OE⊥AC于E，作OF⊥AB于F，
∵AO平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴OD=OE，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OF⊥AB，
∴OD=OF，
∴OD=OE=OF，
∴▵ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等．
连接AO，设OD=OE=OF=r
∵S▵OBC+S▵OAC+S▵OAB=S▵ABC
∴12BC⋅r+12AC⋅r+12AB⋅r=12BC⋅AC
∴12×6r+12×8⋅r+12×10r=12×6×8
∴r=2．
【点睛】本题考查三角形的面积，角平分线的性质，解题关键是利用面积分割法，求线段之间的关系．
26.【答案】(1)16∘，52∘；
(2)当DC=2时，▵ABD≌△DCE，证明见解析．
(3)当∠BDA=108∘或72∘时，▵ADE的形状可以是等腰三角形

【解析】【分析】(1)由平角的定义和三角形外角的性质可求∠EDC，∠DEC的度数即可；
(2)当DC=2时，由“ASA”可证▵ABD≌△DCE即可；
(3)分AD=DE，DE=AE，AD=AE三种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性质可求∠BDA的度数．
【小问1详解】
解：∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180∘，且∠ADE=36∘，∠BDA=128∘，
∴∠EDC=180∘−128∘−36∘=16∘，
∵AB=AC，∠B=36∘，
∴∠B=∠C=36∘，
∴∠AED=∠EDC+∠C=16∘+36∘=52∘，
故答案为：16∘，52∘；
【小问2详解】
当DC=2时，▵ABD≌△DCE，
理由如下：
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=36∘，
∴∠BAD=∠CDE，
∵AB=AC=2，DC=2
∴AB=CD，
在△ABD和△DCE中，
∵∠BAD=∠CDEAB=CD∠B=∠C,
∴▵ABD≌△DCE(ASA)；
【小问3详解】
①若AD=DE时，
∵AD=DE，∠ADE=36∘，
∴∠DEA=∠DAE=12180∘−36∘=72∘，
∵∠DEA=∠C+∠EDC，
∴∠EDC=72∘−36∘=36∘，
∴∠BDA=180∘−∠ADE−∠EDC=180∘−36∘−36∘=108∘．
②若AE=DE时，
∵AE=DE，∠ADE=36∘，
∴∠ADE=∠DAE=36∘，
∴∠AED=180∘−36∘−36∘=108∘，
∵∠DEA=∠C+∠EDC，
∴∠EDC=108∘−36∘=72∘,
∴∠BDA=180∘−∠ADE−∠EDC=180∘−36∘−72∘=72∘，
③当AD=AE，∠ADE=36∘，
∴∠AED=∠ADE=36∘=∠C,
此时不符合题意，舍去．
综上所述：当∠BDA=108∘或72∘时，▵ADE的形状可以是等腰三角形
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．