专题01 线段的中点模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）

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模型分析
【理论基础】如图，已知点M是线段AB的中点
【模型变式1】双中点求和型
如图已知点M是线段AB上任意一点，点C是AM的中点，点D是BM的中点
【证明】
点C是AM的中点，点D是BM的中点
【模型变式2】双中点求差型
如图点M是线段AB延长线上任意一点，点C是线段AM的中点，点D是线段BM的中点
【证明】
点C是线段AM的中点，点D是线段BM的中点
【模型总结】两中点之间的线段，等于原线段的一半。
典例分析
【例1】已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．7cmB．3cmC．7cm或3cmD．5cm
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．
【解析】解：根据题意画图如下：
∵，M是AC的中点，N是BC的中点，
∴；
∵，M是AC的中点，N是BC的中点，
∴．
故选：D．
【例2】如图，点C是线段AB上一点，AC【答案】4
【分析】根据中点的性质可得BC的长，根据线段的和差可得AB的长，根据中点的性质可得BM的长，再根据线段的和差可得MN的长．
【解析】由N是CB的中点，NB=5，得：BC=2NB=10．
由线段的和差，得：AB=AC+BC=8+10=18．
∵M是AB的中点，
∴，
由线段的和差，得：MN=MB-NB=9-5=4，
故答案为：4.
【例3】如图，已知点在同一直线上，分别是的中点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长；
（3）若，求的长；
（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关.
【分析】（1）先求解 再利用中点的含义求解 再利用线段的差可得答案；
（2）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案；
（3）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案；
（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.
【解析】解：（1） ，分别是的中点，


（2） ，分别是的中点，


（3） ，分别是的中点，


（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关.
模型演练
一、单选题
1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1B．3C．1或3D．2或3
【答案】C
【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．
【解析】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2,
∴AD=AC=1
如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6,
∴AD=AC=3
故选C．
2．点C在线段上，下列条件中不能确定点C是线段中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、C、D都可以确定点C是线段AB中点．
【解析】解：A、AC=BC，则点C是线段AB中点；B、AC+BC=AB，则C可以是线段AB上任意一点；C、AB=2AC，则点C是线段AB中点；D、BC=AB，则点C是线段AB中点．故选：B．
3．如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则BD的长为（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【答案】B
【分析】利用线段和的定义和线段中点的意义计算即可．
【解析】∵AB=AC+BC，且AB=10，BC=4，
∴AC=6，
∵D是线段AC的中点，
∴AD=DC=AC=3，
∴BD=BC+CD=4+3=7，
故选B．
4．如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF ＝8，CD ＝4，则AB的长为（ ）
A．10B．12C．16D．18
【答案】B
【分析】由已知条件可知，EC+FD=EF-CD=8-4=4，又因为E是AC的中点，F是BD的中点，则AE+FB=EC+FD，故AB=AE+FB+EF可求．
【解析】解：由题意得，EC+FD=EF-CD=8-4=4，
∵E是AC的中点，F是BD的中点，
∴AE=EC，BF=DF
∴AE+FB=EC+FD=4，
∴AB=AE+FB+EF=4+8=12．
故选：B．
二、填空题
5．如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝8cm，则CD＝___cm．
【答案】2
【分析】由点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，可得，即可求得答案．
【解析】解：∵点D是线段AB的中点，
∴，
∵C是线段AD的中点，
∴，
∴，
故答案为：2．
6．在直线上取A，B，C三点，使得AB＝9cm，BC＝4cm，如果O是线段AC的中点，则线段OA的长为_____．
【答案】2.5cm或6.5cm
【分析】分两种情况：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，线求出AC，根据线段中点的定义求出OA．
【解析】解：分两种情况：
①当点C在线段AB上时，
∵AB＝9cm，BC＝4cm，
∴AC=AB-BC=9-4=5cm，
∵O是线段AC的中点，
∴；
②当点C在线段AB的延长线上时，
∵AB＝9cm，BC＝4cm，
∴AC=AB+BC=9+4=13cm，
∵O是线段AC的中点，
∴；
故答案为：2.5cm或6.5cm．
7．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝7cm，BC＝3cm，则AD的长为_____cm．
【答案】
【分析】由已知条件可知，MN＝MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD＝2（MB+CN），故AD＝AB+CD+BC可求．
【解析】解：∵MN＝MB+BC+CN，MN＝7cm，BC＝3cm，
∴MB+CN＝7﹣3＝4cm，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴AB＝2MB，CD＝2CN，
∴AD＝AB+BC+CD＝2（MB+CN）+BC＝2×4+3＝11cm．
故答案为：11．
8．如图，C，D两点将线段AB分为三部分，AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6．M是线段AB的中点，N是线段DB的中点．则线段MN的长为____________．
【答案】7
【分析】先根据已知条件求出CD，DB的长，再根据中点的定义求出BM，BN的长，进而可求出MN的长．
【解析】解：∵AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6，
∴CD=6÷3×4=8，
∴DB=6÷3×5=10，
∴AB=6+8+10=24，
∵M是线段AB的中点，
∴MB=AB=×24=12，
∵N是线段BD的中点，
∴NB=DB=×10=5，
∵MN=MB-NB，
∴MN=12-5=7．
故答案为：7．
三、解答题
9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C，D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点
(1)若AB=16cm，CD=6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；
(2)如果AB=m，CD=n，用含m，n的式子表示MN的长
【答案】(1)10cm；11cm；(2)．
【分析】（1）根据AC+BD=AB-CD列式进行计算即可求解，根据中点定义求出AM+BN的长度，再根据MN=AB-（AM+BN）代入数据进行计算即可求解；
（2）根据（1）的求解，把AB、CD的长度换成m、n即可
【解析】(1)∵AB=16cm，CD=6cm，
∴AC+BD=AB-CD=10cm，
∴MN=AB-（AM+BN）=AB-（AC+BD）=16-5=11（cm）；
(2)∵AB=m，CD=n，
∴AC+BD=AB-CD=m-n，
∴MN=AB-（AM+BN）=AB-（AC+BD）=m-（m-n）=．
10．已知线段AB如图所示，延长AB至C，使BC＝AB，反向延长AB至D，使AD＝BC．点M是CD的中点，点N是AD的中点．
(1)依题意补全图形；
(2)若AB长为10，求线段MN的长度．
【答案】(1)见解析
(2)线段MN的长度为10．
【分析】（1）根据题意画出图形；
（2）由图，根据线段中点的意义，根据线段的和与差进一步解决问题．
【解析】(1)解：补全图形如图所示：
；
(2)解：由题意知可知AD=AB=BC，且AB=10，
∴AD=AB=BC=10，即CD=30，
∵点M是CD的中点，点N是AD的中点，
∴DM=CD=15，DN=AD=5，
∴MN= DM- DN=10，
∴线段MN的长度为10．
11．已知点、在线段上，
（1）如图，若，，点为线段的中点，求线段的长度；
（2）如图，若，，，求线段的长度．
【答案】（1）2；（2）16．
【分析】（1）由，点为线段的中点，求得AD=DC=，由，可求BD=AD-AB=2；
（2）由，推出，由，可用BD表示，表示EC==13，求出，再求AE=可求，AC=AE+EC=16．
【解析】（1）∵，点为线段的中点，
∴AD=DC=，
∵，
∴BD=AD-AB=10-8=2；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵EC==13，
∴，
∴AE=，
∴AC=AE+EC=3+13=16．
12．如图，点C为线段AB上一点，AB=30，且AC - BC=10．
（1）求线段AC、BC的长．
（2）点P从A点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB上向B点运动，设运动时间为t秒（），点D为线段PB的中点，点E为线段PC的中点，若CD=DE，试求点P运动时间t的值．
（3）若点D为直线AB上的一点，线段AD的中点为E，且，求线段AD的长．
【答案】（1）；（2）或；（3）的长为：或
【分析】（1）由， 再两式相加，即可得到 再求解即可；
（2）以为原点画数轴，再利用数轴及数轴上线段的中点知识分别表示对应的数，由CD=DE，利用数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程，解方程可得答案；
（3）以为原点画数轴，分三种情况讨论，当在的左侧，当在线段上，当在的右侧，利用数轴与数轴上线段的中点知识，结合数轴上两点之间的距离分别表示 再利用建立方程，解方程即可得到答案．
【解析】解：（1） AB=30，
①
又ACBC=10②，
①+②得：


（2）如图，以为原点画数轴，
则对应的数分别为：，
点D为线段PB的中点，
对应的数为：
点E为线段PC的中点，
对应的数为：

，
CD=DE，


或
解得：或．
由，经检验：或都符合题意．
（3）如图，以为原点画数轴，设对应的数为，
当在的左侧时，
＜
舍去，
当在上时，
线段AD的中点为E，
对应的数为： 此时在上，







当在的右侧时，如图，
同理：



或
解得：（舍去），

综上：的长为：或
13．如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长度；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据图示知AM＝AC，AC＝AB﹣BC；
（2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC．
【解析】解：（1）线段AB＝20，BC＝15，
∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．
又∵点M是AC的中点．
∴AM＝AC＝×5＝，即线段AM的长度是．
（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，
∴CN＝BC＝×15＝6．
又∵点M是AC的中点，AC＝5，
∴MC＝AC＝，
∴MN＝MC+NC＝，即MN的长度是．
14．如图，点在线段AB上，，点分别是的中点．
求线段的长;
若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由;
若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;
请用一句简洁的话，描述你发现的结论．
【答案】；，证明解解析；，证明见解析；见解析
【分析】根据“点、分别是、的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可；
当为线段上一点，且，分别是，的中点，则存在；
点在的延长线上时，根据、分别为、的中点，即可求出的长度；
根据前面的结果解答即可．
【解析】解：分别是的中点，
分别是的中点
又
∵，
∴在点的右边，
如图示：
分别是的中点，
又
只要满足点在线段所在直线上，点分别是的中点．那么就等于的一半