专题09 三角形中的垂线段最短模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）

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【模型1】垂线段最短
如图，已知点P是直线外一点，过点P作，则PB是直线外一点P与直线上各点的连线中最短的线段。
【模型2】两条线段的和最小值问题
如图，已知点是内任意一点，点、是，上的动点，求的最小值，通常作
点关于的对称点，过点作于点，交于点。此时的值最小。
【例1】如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
【答案】C
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可．
【解析】解：如图：
过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，
根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，
AF＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ECF＝30°．
故选：C．
【例2】如图Rt△ABC，，AB=5，BC=3，若动点P在边AB上移动，则线段CP的最小值是_______．
【答案】
【分析】过作于，由垂线段最短可知，当点P运动到点的位置时，CP最小，由勾股定理可得出，再由，即可得出答案．
【解析】解：过作于，
由垂线段最短可知，当点P运动到点的位置时，CP最小，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴则线段CP的最小值是:，
故答案为：．
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=8cm，点D为线段AB上的一个动点，从点A出发沿线段AB向点B运动，速度为2cm/s．
(1)求AB，AC的长度；
(2)如图，连接CD，线段CD是否有最小值；若有最小值，请求出这个最小值及此时时间t的值；若没有最小值，请说明理由；
(3)若点E为线段AC的中点，连接DE，当△ADE为等腰三角形时，求时间t的值．
【答案】(1)，的长度分别是16cm、cm
(2)最小值为cm，t=6s
(3)t=2s或或．
【分析】（1）根据含直角三角形的性质及勾股定理即可得到答案；
（2）依题意得，当时，有最小值，可得、，根据可得答案；
（3）依题意得，，，分三种情况：①当时，②当时，③当时，结合方程求解即可．
【解析】（1）在中，，，
∴AB=2BC=16cm，
由勾股定理得：，
答：，的长度分别是、．
（2）依题意得，当时，有最小值，
此时，在中，，
由勾股定理得：，
，由得，，
最小值为，．
（3）依题意得，，，
①当时，由，
，
②当时，
如图所示，过D作DF⊥AE于F，
点在的垂直平分线上，且cm，
∵AD=2DF，
由勾股定理得cm，
∴，
由得，，
③当时，
如图所示，过E作EG⊥AD于G，
∴点在的垂直平分线上，且AD=2AG，
∴cm，由勾股定理得（cm)
，
由得，，
综上，或或．
一、单选题
1．如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（ ）
A．PE＝6B．PE＞6C．PE≤6D．PE≥6
【答案】D
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等以及点到直线的距离中，垂线段最短即可求解．
【解析】解：过P点作PH⊥AB于H，如图，
∵AP平分∠CAB，PD⊥AC，PH⊥AB，
∴PH＝PD＝6，
∵点E是边AB上一动点，
∴PE≥6．
故选：D．
2．如图，从位置O到直线公路l有四条小道，其中路程最短的是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
【答案】C
【分析】根据垂线的性质即可得到结论．
【解析】解：根据垂线段最短得，能最快到达公路l的小道是OC，
故选C．
3．如图，在Rt△ABC中，，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是的平分线，若P，Q分别是AD何AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（ ）
A．2.4B．4C．4.8D．5
【答案】C
【分析】由题意可以把Q反射到AB的O点，如此PC+PQ的最小值问题即变为C与线段AB上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．
【解析】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，
∵当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，
∴PC+PQ的最小值即为CM的长度，
∵，
∴CM=，即PC+PQ的最小值为 ，
故选C．
4．如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（ ）
A．从大变小B．从小变大C．从小变大再变小D．从大变小再变大
【答案】C
【分析】根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，据此即可解答．
【解析】解：根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，
如图：过点A作与点E，交弧BC于点G，
，AB=AG=AC，
，即，
故系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是从小变大再变小，
故选：C．
5．如图，中，，，，，平分，如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先作垂直交于点，再作垂直，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点和，进而求得的最小值．
【解析】解：如图所示：

过点作于点，交于点，
过点作于点，
平分，
，
．
中，，，，，，
，
，
．
即的最小值是，
故选：B
6．如图，BD⊥CD，垂足为D，∠ABD＝30°，∠A＝90°，且AD＝4，DC＝6，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（ ）
A．7.1B．6.5C．4.8D．3.2
【答案】C
【分析】过D点作DH⊥BC于H，如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到BD=8，再利用勾股定理计算出BC=10，接着利用面积法计算出DH，然后根据垂线段最短求解．
【解析】解：过D点作DH⊥BC于H，如图，
∵∠A=90°，∠ABD=30°，
∴BD=2AD=2×4=8，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴BC=，
∵DH•BC=BD•CD，
∴DH=，
∴DP的最小值为4.8．
故选：C．
二、填空题
7．如图，，，，为上一动点，则的最小值为______．
【答案】4
【分析】根据垂线段最短得出BP⊥AC时，BP的值最小，根据角平分线的性质得出BP=BD，再求出答案即可．
【解析】解：当BP⊥AC时，BP有最小值，
∵∠DAB=∠BAC，∠ADB=90°，BD=6，BP⊥AC，
∴BP=BD=4，
即BP的最小值是4，
故答案为：4．
8．在△ABC中，，，E是AB边上的中点，且，点D是AB上一个动点，当CD取最小值时，∠DCE=________．
【答案】
【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据垂线段最短可得当时，取最小值，则此时，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可得．
【解析】解：是边上的中点，
，
，
，
，
，
由垂线段最短可知，当时，取最小值，则此时，
，
故答案为：．
9．如图，已知是的中线，点是边上一动点，若的面积为10，，则的最小值为_______
【答案】2.5
【分析】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案．
【解析】解：∵AM是△ABC的中线，
∴==5，
∴点M到AC的距离为：÷4=2.5，
根据垂线段最短，
则MP的最小值2.5．
故答案为：2.5．
10．如图，菱形ABCD中，，，E是对角线AC上的任意一点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】过点E作于点F，连接BF．由菱形的性质可知，即得出，从而可得出，即当最小时最小．由垂线段最短可知当时BF最小，求出的值即可．
【解析】如图，过点E作于点F，连接BF．
∵，四边形ABCD为菱形，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴当最小时最小，即最小．
由垂线段最短可知当时BF最小，如图．
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，BC＝3，点M为BC上一定点且BM＝1，在BC上有一动点Q，在BD上有一动点P，则PM+PQ的最小值为 _______．
【答案】
【分析】在BA上取一点，使得，连接，过点M作MN⊥AB于点N．根据锐角三角函数可得MN＝，再根据，可得，从而得到≥MN，即可求解．
【解析】解：如图，在BA上取一点，使得，连接，过点M作MN⊥AB于点N．
在Rt△BMN中，∠MNB＝90°，BM＝1，∠MBN＝60°，
∴MN＝BM×sin60°＝
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BP＝BP，，
∴（SAS），
∴，
∵≥MN＝，
∴PM+PQ的最小值为，
故答案为：．
12．如图，，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为______．
【答案】8
【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．
【解析】解：如图，连接，过点作交的延长线于，
∵，且，
∴，
∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
∴的面积的最小值为，
故答案为：8．
三、解答题
13．如图，点在直线外，点在直线上，连接．选择适当的工具作图．
(1)在直线上作点，使，连接；
(2)在的延长线上任取一点，连接；
(3)在，，中，最短的线段是______________，依据是______________．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)，垂线段最短
【分析】（1）利用直角三角板作，再利用直尺连接即可得；
（2）利用直尺连接即可得；
（3）根据垂线段最短即可得．
【解析】(1)解：利用直角三角板和直尺作图如下：
(2)解：利用直尺连接，作图如下：
(3)解：在，，中，最短的线段是，依据是垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短．
14．如图，已知点P在∠AOC的边OA上，
(1)过点P画OA的垂线交OC于点B；
(2)画点P到OB的垂线段PM；
(3)测量P点到OB边的距离： cm；
(4)线段OP、PM和PB中，长度最短的线段是 ；理由是 ．
【答案】(1)图形见解析；
(2)图形见解析；
(3)1.5；
(4)PM，垂线段最短
【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可．
（2）根据垂线段的定义画出图形即可．
（3）利用测量法解决问题即可．
（4）根据垂线段最短判断即可．
【解析】（1）如图，直线PB即为所求作．
（2）如图，线段PM即为所求作．
（3）PM约为1.5cm，故答案为：1.5．
（4）线段OP、PM和PB中，长度最短的线段是PM，理由是垂线段最短．故答案为：PM，垂线段最短．
15．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC，点P、Q分别是AD、AC上的动点（点P不与A、D重合，点Q不与A、C重合），求PC＋PQ的最小值
【答案】
【分析】过点C作CH⊥AB于H，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，则PC+PQ的最小值就是线段CH的长，根据•AB•CH=•AC•BC即可求出的长．
【解析】解：如解图，过点C作CH⊥AB于H，交AD于点P，
过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD平分∠BAC，CH⊥AB，PQ⊥AC，
∴PQ=PH，
∴PC+PQ=PC+PH=CH，
∴PC+PQ的最小值就是线段CH的长，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴•AB•CH=•AC•BC，
∴CH=，
即PC+PQ的最小值为．
16．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝750米，CD＝600米，AD＝450米．
(1)问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线BC的长．
【答案】(1)是从村庄到河边最近的路，理由见解析
(2)米
【分析】（1）结合已知条件根据勾股定理的逆定理、垂直的定义、垂线段最短即可得解；
（2）设米，则米、米，根据勾股定理列出关于的方程求解即可．
【解析】（1）解：结论：是从村庄到河边最近的路．
理由： ∵在中，米，米，米，
∴，即，
∴是直角三角形，
∴．
∴．
∴是从村庄到河边最近的路．
（2）设米，则米，米，
∵在中，由勾股定理得：．
∴．
∴．
答：原来的路线的长为米．
17．如图所示，∠AED=80°，EF平分∠AED交AD于点F，∠1=40°
(1)写出判定EFBD的推理过程．
(2)当∠ADE=50°时，线段EA、EF、ED中最短的是哪段？并说出理由．
【答案】(1)见解析
(2)EF最短，理由见解析
【分析】（1）由EF平分∠AED交AD于点F，有，∠1=40°则内错角相等，两直线平行．
（2）由 ，可判断出即可得出答案．
【解析】（1）∵EF平分∠AED，
∴∠AEF=∠FED，
∵∠AED=80°，
，
∠1=40°，
∴ EF∥BD；
（2）EF最短．
理由：∵∠1=40°，
∴当∠ADE=50°时，∠ADB=90°，则BD⊥AD ，
又∵EF∥BD，
∴EF⊥AD，
∴EF为垂线段，
∴EF最短.
18．在中，，，是边上一点，，直线交于点．
(1)如图1，若，则______，______；
(2)如图2，在（1）的条件下，点在直线上运动，且满足，，连接，请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图3，若，点在直线上运动，且满足，，连接，请求出的最小值．
【答案】(1)2，1
(2)ND=ME，ND⊥ME，见解析
(3)
【分析】（1）证明△CDE是等腰直角三角形，可得结论；
（2）如图2中，结论：ND=ME，ND⊥ME.证明∠DCN≌△ECM（SAS），可得结论；
（3）如图3中，连接BM，证明△ACN≌△BCM（SAS），推出AN=BM，过点B作BH⊥DE于H，则当BM⊥DE时，BM最小即为BH，在Rt△BEH中，求得BH=AN的最小值为．
【解析】(1)解：如图1中，
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵AC＝3，，
∴CD＝2，AD＝1，
∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠A＝45°，∠CED＝∠B＝45°，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝2，
∴BE=BC−CE＝3−2＝1，
故答案为：2，1；
(2)结论：ND=ME，ND⊥ME．
理由：∵∠DCE=∠MCN=90°，
∴∠DCE-∠DCM=∠MCN-∠DCM，
即∠DCN=∠MCE，
又∵CD=CE，CM=CN，
∴△DCN≌△ECM（SAS），
∴ND=ME，∠CDN=∠CEM=45°，
∵∠CDE=45°，
∠NDE=∠NDC+∠CDE=90°，
∴ND⊥ME；
(3)连接BM，
∵∠NCM=∠ACB=90°，
∴∠ACN=∠BCM，
又∵NC=MC，AC=BC，
∴△ACN≌△BCM（SAS），
∴AN=BM，
当BM⊥DE时，BM最小，
过点B作BH⊥DE于H，
在Rt△DCE中，∠CDE=30°，CD=2，
∴，，
在Rt△BEH中，，
∴AN的最小值为．
19．(1)如图1，在中，，D是边的中点，E、F分别是、边上的点．若B、E、F在一条直线上，且，探究与的数量之间有何等量关系，并证明你的结论．
(2)为了丰富学生的业余生活，增强学生的身体素质，某体育课上老师组织学生进行传球训练．如图2所示，体育老师在地面画了一块场地，已知米，米，D为的中点，测得的长为15米，受训练的两名同学E和F分别在和边上移动，老师站在C点位置给同学传球，先把球传给E同学，E同学再传给F同学，请求出所传球的运动路径最小值（即的最小值）．
【答案】(1)，证明见解析；(2)米．
【分析】（1）根据等角对等边，可知是等腰三角形，易证，证明≌，进而结论得证；
（2）根据垂线段最短可知当B，E，F三点共线，且垂直时，有最小值为，根据等体积法求解即可．
【解析】（1）解：．
理由如下：∵，
∴，．
∵，D是边的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴．
在和中
∵
∴≌，
∴，
∴．
（2）解：解：如图，连接
∵，，
∴，
∴，
∴当B，E，F三点共线，且垂直时，有最小值为．
由等面积法可得，
解得米，
∴所传球的运动路径最小值为米．
20．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，E、F分别是AD、AC边上的点．
（1）如图①，连接BE、EF，若∠ABE＝∠EFC，求证：BE＝EF；
（2）如图②，若B、E、F在一条直线上，且∠ABE＝∠BAC＝45°，探究BD与AE的数量之间有何等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若AB＝13，BC＝10，AD＝12，连接EC、EF，直接写出EC+EF的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）连接CE，根据等腰三角形的性质可得、，经过倒角及角的和差运算可得∠ABE＝∠ACE，利用等边对等角即可得证；
（2）根据已知易得和都是等腰直角三角形，通过证明即可得出结论；
（3）由（1）可得，作于点P，则BP为的最小值，利用等面积法即可求解．
【解析】解：（1）连接CE，
，
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴AD为线段BC的垂直平分线，，
∴，
∴，
∴，
即∠ABE＝∠ACE，
∵∠ABE＝∠EFC，
∴∠ACE＝∠EFC，
∴，
∴；
（2）连接CE，
由（1）可得∠ABE＝∠ACE，
∵∠ABE＝∠BAC＝45°，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）由（1）可知，
∴，
作于点P，则BP为的最小值，
，
解得，
∴EC+EF的最小值为．