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专题13 A字型和反A字型相似模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）
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这是一份专题13 A字型和反A字型相似模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用），文件包含专题13A字型和反A字型相似模型答案详解docx、专题13A字型和反A字型相似模型docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
【模型1】A字型相似模型
如图13-1，，要证∽，只要知道即可。
【模型2】反A字型相似模型
如图13-2，，要证∽，只要再知道一组对应角相等即可，即只需知道或。
【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5
【例2】如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
【例3】【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】如图②，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE = 2BE，点F在边CB上，CF= 2BF．O为AC的中点，连结EF、OE、OF．
（1）EF与AC的数量关系为__________．
（2）与的面积比为___________．
一、单选题
1．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
2．如图，已知若的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A．B．3C．2D．1
二、填空题
4．如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________
5．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为________．
三、解答题
6．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
7．在中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围．
8．中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?
（2）若的面积为，求关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?
9．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．
10．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，点D为圆上一点且∠ADC=∠AOF，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）判断CD与⊙O的位置关系；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．
11．如图，在中，点分别在上，且．
（1）求证：；
（2）若点在上，与交于点，求证：．
12．如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．
（1）求证：AG与⊙O相切．
（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．
13．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
14．如图，在平行四边形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作交于点，连接，交于点.设运动时间为.解答下列问题：
（1）当为___________时，？
（2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式.
（3）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（4）若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
15．如图，在矩形的边上取一点，连接并延长和的延长线交于点，过点作的垂线与的延长线交于点，与交于点，连接．
（1）当且时，求的长；
（2）求证：；
（3）连接，求证：．
【模型1】A字型相似模型
如图13-1，，要证∽，只要知道即可。
【模型2】反A字型相似模型
如图13-2，，要证∽，只要再知道一组对应角相等即可，即只需知道或。
【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5
【例2】如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
【例3】【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】如图②，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE = 2BE，点F在边CB上，CF= 2BF．O为AC的中点，连结EF、OE、OF．
（1）EF与AC的数量关系为__________．
（2）与的面积比为___________．
一、单选题
1．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
2．如图，已知若的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A．B．3C．2D．1
二、填空题
4．如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________
5．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为________．
三、解答题
6．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
7．在中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围．
8．中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?
（2）若的面积为，求关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?
9．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．
10．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，点D为圆上一点且∠ADC=∠AOF，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）判断CD与⊙O的位置关系；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．
11．如图，在中，点分别在上，且．
（1）求证：；
（2）若点在上，与交于点，求证：．
12．如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．
（1）求证：AG与⊙O相切．
（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．
13．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
14．如图，在平行四边形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作交于点，连接，交于点.设运动时间为.解答下列问题：
（1）当为___________时，？
（2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式.
（3）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（4）若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
15．如图，在矩形的边上取一点，连接并延长和的延长线交于点，过点作的垂线与的延长线交于点，与交于点，连接．
（1）当且时，求的长；
（2）求证：；
（3）连接，求证：．
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