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专题14 8字型和反8字型相似模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）
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这是一份专题14 8字型和反8字型相似模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用），文件包含专题148字型和反8字型相似模型答案详解docx、专题148字型和反8字型相似模型docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
【模型1】8字型模型
如图14-1，要证明∽根据对顶角相等，可知，只需知道，即可知另一组对应角相等。可得∽。
【模型2】反8字型模型
如图14-2，要证明∽根据对顶角相等，可知，只需再知道一组对应角相等即可，即或即可得证∽。
【例1】如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【例2】如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为_______cm．
【例3】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8B．10C．12D．14
2．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（ ）
A．1：5B．4：25C．4：31D．4：35
3．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于
A．3B．4C．6D．8
5．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（ ）cm．
A．32B．24C．48D．64
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD＝30°；②S平行四边形ABCD＝；③OE：AC＝1：4；④S△OCF＝2S△OEF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
8．如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（ ）
A．9B．12C．18D．24
二、填空题
9．已知与是位似图形，位似中心为点O，若，则与的面积之比为__________．
10．已知中，分别是直线和上的点，若且，则_________．
11．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___．
12．如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长．
三、解答题
13．如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．
（1）求HD的长；
（2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）
14．如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于．
求证：．
15．如图与交于，且．
（1）求证：∽．
（2）若，，，求的长．
16．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
17．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题：
（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；
（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由；
（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由．
18．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
19．如图，中，中线，交于点，交于点．
（1）求的值．
（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．
20．已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接，交于点．
①若，求的长；
②作，垂足为，求证：．
21．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．
（1）求证：∠BDE=∠ACD；
（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；
（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB·BE=AD·BC；
②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．
22．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．
23．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求证：AN＝CM；
（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；
（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．
24．如图，在正方形中，点E在对角线上，，过点E的直线分别交，于点M，N．
（1）当时，的长为________，________；
（2）已知．
①若，求此时的长；
②当E，F为的三等分点，点P在正方形的边上时，是否存在满足的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．
【模型1】8字型模型
如图14-1，要证明∽根据对顶角相等，可知，只需知道，即可知另一组对应角相等。可得∽。
【模型2】反8字型模型
如图14-2，要证明∽根据对顶角相等，可知，只需再知道一组对应角相等即可，即或即可得证∽。
【例1】如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【例2】如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为_______cm．
【例3】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8B．10C．12D．14
2．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（ ）
A．1：5B．4：25C．4：31D．4：35
3．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于
A．3B．4C．6D．8
5．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（ ）cm．
A．32B．24C．48D．64
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD＝30°；②S平行四边形ABCD＝；③OE：AC＝1：4；④S△OCF＝2S△OEF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
8．如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（ ）
A．9B．12C．18D．24
二、填空题
9．已知与是位似图形，位似中心为点O，若，则与的面积之比为__________．
10．已知中，分别是直线和上的点，若且，则_________．
11．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___．
12．如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长．
三、解答题
13．如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．
（1）求HD的长；
（2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）
14．如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于．
求证：．
15．如图与交于，且．
（1）求证：∽．
（2）若，，，求的长．
16．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
17．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题：
（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；
（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由；
（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由．
18．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
19．如图，中，中线，交于点，交于点．
（1）求的值．
（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．
20．已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接，交于点．
①若，求的长；
②作，垂足为，求证：．
21．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．
（1）求证：∠BDE=∠ACD；
（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；
（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB·BE=AD·BC；
②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．
22．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．
23．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求证：AN＝CM；
（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；
（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．
24．如图，在正方形中，点E在对角线上，，过点E的直线分别交，于点M，N．
（1）当时，的长为________，________；
（2）已知．
①若，求此时的长；
②当E，F为的三等分点，点P在正方形的边上时，是否存在满足的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．
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