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专题15 共边共角相似模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）
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这是一份专题15 共边共角相似模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用），文件包含专题15共边共角相似模型答案详解docx、专题15共边共角相似模型docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
【模型】如图，已知,要证∽,只需再知道一组对应角相等（两组对角分别相等的两三角形相似）或（两组对应边成比例且其夹角对应相等的两三角形相似）即可证明∽
【例1】如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【例2】如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是__________．
【例3】定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
一、单选题
1．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，D是△ABC的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则具备的条件可以是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，DEBC，过点A作AM⊥BC于M，交DE于N，若S△ADE：S△ABC＝4：9，则AN：NM的值是（ ）
A．4：9B．3：2C．9：4D．2：1
7．如图，在中，点在AB边上，若，，，，则线段CD的长为（ ）
A．4B．5C．D．
8．如图，在中，，将绕顶点A逆时针旋转至，此时点D在上，连接，线段分别交于点H、K，则下列四个结论中：①；②是等边三角形；③；④当时，；正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③
二、填空题
9．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=2，BD=3，则AC的长为 ．
10．如图，，和分别是和的高，若，则与的周长之比为_____．与的面积之比为______．
11．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O．点E在CD上，且DE：EC＝1：3，连接BE交AC于点F，若OF＝，则正方形的边长为_______．
12．如图，已知，，点M、N分别是、的中点，则________．
13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，则DE：BC＝_____．
14．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则＝________．
15．如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，则BC＝_______．
16．如图，在△ABC中，AB=AC=6．D是AC中点，E是BC上一点，BE=，∠AED=∠B，则CE的长为_____________．
三、解答题
17．如图，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s，点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果点P、Q两动点同时运动，何时QBP与ABC相似？
18．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1，AD+AC=8．
（1）找出图中的一对相似三角形并证明；
（2）求AC长．
19．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．
20．已知：如图，在中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD =∠ACB．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长.
21．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值．
24．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
25．（1）如图1，在中，为上一点，．求证：．
（2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：．
（3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积．
26．如图1，四边形内接于是的直径，．延长交的延长线于点．
（1）证明：．
（2）当时，
①求的长度．
②如图2，作平分交于点，连结，求的面积．
27．如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，AB＝AC＝6，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，连接AF与CE相交于点G．
（1）求的度数．
（2）如图2，作交CE于点H，若CF＝4，，求GH的值．
（3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60°得到线段EM，当构成等腰三角形时，请直接写出AE的长．
28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
29．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
30．我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图 1，四边形 ABCD 中，AC⊥BD，则四边形 ABCD 是“准筝形”．
（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真” 或“假”）
（2）如图 1，在准筝形 ABCD 中，AD＝3，AB＝2，BC＝4，求 CD的长．
（3）如图 2， 在准筝形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，点 P 在线段 AD 上，AP＝2，且 AD＝3， AO =，在 BD 上存在移动的线段EF，E 在 F 的左侧，且 EF＝1，使四边形 AEFP 周长最小，求此时OE 的长度．
【模型】如图，已知,要证∽,只需再知道一组对应角相等（两组对角分别相等的两三角形相似）或（两组对应边成比例且其夹角对应相等的两三角形相似）即可证明∽
【例1】如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【例2】如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是__________．
【例3】定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
一、单选题
1．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，D是△ABC的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则具备的条件可以是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，DEBC，过点A作AM⊥BC于M，交DE于N，若S△ADE：S△ABC＝4：9，则AN：NM的值是（ ）
A．4：9B．3：2C．9：4D．2：1
7．如图，在中，点在AB边上，若，，，，则线段CD的长为（ ）
A．4B．5C．D．
8．如图，在中，，将绕顶点A逆时针旋转至，此时点D在上，连接，线段分别交于点H、K，则下列四个结论中：①；②是等边三角形；③；④当时，；正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③
二、填空题
9．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=2，BD=3，则AC的长为 ．
10．如图，，和分别是和的高，若，则与的周长之比为_____．与的面积之比为______．
11．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O．点E在CD上，且DE：EC＝1：3，连接BE交AC于点F，若OF＝，则正方形的边长为_______．
12．如图，已知，，点M、N分别是、的中点，则________．
13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，则DE：BC＝_____．
14．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则＝________．
15．如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，则BC＝_______．
16．如图，在△ABC中，AB=AC=6．D是AC中点，E是BC上一点，BE=，∠AED=∠B，则CE的长为_____________．
三、解答题
17．如图，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s，点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果点P、Q两动点同时运动，何时QBP与ABC相似？
18．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1，AD+AC=8．
（1）找出图中的一对相似三角形并证明；
（2）求AC长．
19．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．
20．已知：如图，在中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD =∠ACB．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长.
21．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值．
24．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
25．（1）如图1，在中，为上一点，．求证：．
（2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：．
（3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积．
26．如图1，四边形内接于是的直径，．延长交的延长线于点．
（1）证明：．
（2）当时，
①求的长度．
②如图2，作平分交于点，连结，求的面积．
27．如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，AB＝AC＝6，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，连接AF与CE相交于点G．
（1）求的度数．
（2）如图2，作交CE于点H，若CF＝4，，求GH的值．
（3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60°得到线段EM，当构成等腰三角形时，请直接写出AE的长．
28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
29．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
30．我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图 1，四边形 ABCD 中，AC⊥BD，则四边形 ABCD 是“准筝形”．
（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真” 或“假”）
（2）如图 1，在准筝形 ABCD 中，AD＝3，AB＝2，BC＝4，求 CD的长．
（3）如图 2， 在准筝形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，点 P 在线段 AD 上，AP＝2，且 AD＝3， AO =，在 BD 上存在移动的线段EF，E 在 F 的左侧，且 EF＝1，使四边形 AEFP 周长最小，求此时OE 的长度．
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