专题18 三平行相似模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）

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【理论基础】如图，，若，则.
证明：∵，
∴△DEF∽△DAB，
∴，即①
同理△BEF∽△BCD，
∴，即②
①＋②，得，
.
【例1】如图，的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：
①EO⊥AC；②；③；④．
其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①根据已知的条件首先证明是等边三角形，因此可得，所以可得，再根据O、E均为AC和AB的中点，故可得，便可证明；②首先证明，因此可得，故可得 和的比. ③根据勾股定理可计算的AC：BD；④根据③分别表示FB、OF、DF，代入证明即可.
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②错误，
设，则，，，
∴，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确，
综上所述：正确的是①③④，共3个．
故选C．
【例2】如图，，若 AC  8 ， BD  12 ，则 EF ___________．
【答案】
【分析】根据，可得△BEF∽△BCA，△AEF∽△ADB，从而得到，即可求解．
【解析】解：∵，
∴△BEF∽△BCA，
∴，
∵，
∴△AEF∽△ADB，
∴，
∴，
即，
∴，
∵AC  8 ， BD  12 ，
∴，
解得：．
故答案为：
【例3】如图：，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG、FG的长．
【答案】
【分析】在△ABC中，先证明利用相似三角形的性质求解EG，在△BAD中，证明，利用相似三角形的性质求解EF，即可求出FG=EG-EF．
【解析】解：∵△ABC中，，
∴
∴ ，
∵BC=10，AE=3，AB=5，
∴，
∴EG=6，
∵△BAD中，，
∴
∴，
∵AD=6，AE=3，AB=5，
∴，
∴EF= ．
∴FG=EG-EF=．
一、单选题
1．如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与相交于点M，已知，则点M离地面的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知易得△ABM∽△CDM，可得对应高BH与HC之比，易得MHAB，可得△MCH∽△ACB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
【解析】∵和表示两根直立于地面的柱子，
∴AB⊥BC，CD⊥BC，MH⊥BC，
∴ABCDMH，
∴∠A=∠MCD，∠ABM=∠D
∴△ABM∽△CDM，
∴===(相似三角形对应高的比等于相似比)，
∴=
∴=，
即=，
∵MHAB，
∴∠A=∠CMH，∠ABC=∠MHC，
∴△MDH∽△ADB，
∴==，，
∴=，
解得MH=．
∴点M离地面的高度MH为m．
故选：A．
2．如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树的高度，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯高的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定与性质直接求解即可．
【解析】解：根据题意可知，
，，
，
，即，解得m，
路灯高的长是m，
故选：C．
3．如图1，小明在路灯下笔直的向远离路灯方向行走，将其抽象成如图2所示的几何图形．已知路灯灯泡距地面的距离AB等于4米，小明CD身高1.5米，小明距离路灯灯泡的正下方距离BC等于4米，当小明走到E点时，发现影子长度增加2米，则小明走过的距离CE等于（ ）
A．在3和4之间B．在4和5之间C．在5和6之间D．在6和7之间
【答案】A
【分析】根据题意证明△DCM∽△АВМ，得到，代入数值求出CM=2.4，再证△FEN∽△ABN，得到，即，求出BN=，计算CE=BN-BC-EN=-4-4.4=，判断即可．
【解析】由图可知小明在点C处时，其影长为CM，在点E处时，其影长为EN，
由题意可得AB⊥BN，CD⊥BN，EF⊥BN，EF= CD = 1.5米，EN=(CM+2)米，
∴∠DCM=∠АВM=9，
∵∠CMD =∠BMA，
∴△DCM∽△АВМ，
∴，
∵BM=BC+CM=4+CM，
∴，
解答CM=2.4，
∴EN=CM+2=2.4+2=4.4，
∵∠FEN=∠ABN=9，∠ENF=∠BNA，
∴△FEN∽△ABN，
∴，即，
解得BN=，
∴CE=BN-BC-EN=-4-4.4=，
∵3<<4，
∴小明走过的距离CE在3和4之间，
故选A．
4．如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM-EF值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角形中位线定理分别求得FG=AB=2，EG=CD=3，得到EF=1，再证明△AOB∽△COD和△BOM∽△BDC，利用相似三角形的性质求得OM=，据此即可求解．
【解析】解：∵AB=4，CD=6，AB⊥BC，CD⊥BC，OM⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥OM∥FG∥DC，
又∵点E是BD的中点，
∴点G是BC的中点，点F是AC的中点，
∴FG=AB=2，EG=CD=3，
∴EF=EG-FG=1，
∵CD∥AB，∴△AOB∽△COD，
∴即，
∴，
∵OM∥CD，
∴△BOM∽△BDC，
∴，
∴OM=，
∴OM-EF=-1=．
故选：A．
5．如图，EF是一个杠杆，可绕支点O自由转动，若动力和阻力的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的大小变化情况是（ ）
A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定
【答案】B
【分析】由图证明，从而得到，即，再根据题意得出答案．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，即，
∵阻力不变，即ME不变，
又∵OM，ON不变，
∴由得，NF不变，即的大小不变．
故选：B．
6．如图，和中，，斜边AC、BD交于点E，过点E作，垂足为F，若，，则EF的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过证明△BEF∽△BDC，△CEF∽△CAB，可得即可求解．
【解析】解：∵，
∴∠ABC=∠DCB=90°=∠EFC，
∴，
∴△BEF∽△BDC，△CEF∽△CAB，
∴，
∵，，
∴
∴．
故选：D．
二、填空题
7．如图，已如矩形ABCD，将△BCD绕点B顺时针旋转90°至△BEF，连接AC，BF，若点A，C，F恰好在同一条直线上，则______．
【答案】
【分析】设，，由矩形和旋转的性质可知，．易证，即得出，即，将b看作已知数，根据公式法即可求出，根据a>0，可知，最后代入即可．
【解析】设，，
由矩形和旋转的性质可知，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
整理，得：，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
8．如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．
【答案】
【分析】先求出，可得，再根据题意可得，从而得到∽∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性质，可得∶∶∶∶……∶= ，即可求解．
【解析】解：当x=1时，，
∴点，
∴，
∴，
∵根据题意得：，
∴∽∽∽∽……∽，
∴∶∶∶：……∶= OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，
∵，，，，……，
∴，，，……，，
∴∶∶∶∶……∶= ，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
9．如图，一教学楼AB的高为20m，教学楼后面水塔CD的高为30m，已知BC＝30m，小张的身高EF为1.6m．当小张站在教学楼前E处时，刚好看到教学楼顶端A与水塔顶端D在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE．
【答案】55.2 m
【分析】如图，过点F作FN⊥CD，交CD于点N，交AB于点M，构造相似三角形：△AMF∽△DNF，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．
【解析】解：如图，过点F作FN⊥CD，交CD于点N，交AB于点M，
∵AM∥DN，
∴△AMF∽△DNF．
∴．
由题意知，BE=FM，BC=MN=30m，EF=BM=CN=1.6m，FN=FM+MN=BE+BC=（BE+30）m．
∴DN=CD-CN=30-1.6=28.4m，AM=AB-BM=20-1.6=18.4m．
∴．
解得BE=55.2m．
故此时他与教学楼的距离BE为55.2m．
10．如图，，E为与的交点，F在上，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件可得，根据相似三角形的性质列出比例式，即可证明结论
【解析】
11．如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且ABCDEF．
(1)若AE＝3，求ED的长．
(2)求EF的长．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）证明，得到，把已知数据代入计算即可；
（2）根据，得到，同理得到，两个比例式相加再代入计算，得到答案．
【解析】（1）解：，
，
，
，，，
，
解得：；
（2），
，
，
同理：，
，
，
解得：．
12．如图，圆、圆为两个不相交的圆，记圆的半径为，圆的半径为，有，E是两圆连心线上的一点，满足关系式，点F、G为圆A上任意的动点，作直线EF、EG分别与圆C交于H、I、J、K四点，连接IK
(1)设圆、圆的两条外的公切线分别为，证明总是在点E处相交；
(2)若固定点，让点在圆上移动，证明：此时的值与的位置无关；
(3)当IK时，连接、，设与交于，证明在上，且满足
【答案】(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
(3)证明过程见详解
【分析】（1）根据公切线的性质，证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例即可求证结果；
（2）利用对应边成比例证明两个三角形相似，利用比例的性质即可求证结果；
（3）根据两个三角形全等，对应边也相等，证明等腰三角形性，利用等腰三角形的三线合一即可求证结果．
【解析】（1）证明：如图所示，
是公切线，是公切线，
∵是，的公切线，点，点，点，点是切点，
∴，，，，且点，点，点在公切线上，点，点，点在公切线上，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，的公切线总是在点E处相交．
（2）证明：如图所示，
连接，，点，点在圆上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值与的位置无关．
（3）证明：如图所示，连接，，所在直线是，的直径，
∵，垂足为点，
∴直线平分，，，
∴，
∴，
∴，，，
在，中，
∵，
∴，
∴，
∴点在的角平分线上．
如图所示，
连接，，且，，由等腰三角形，等腰三角形得，，
∴，
又∵，
∴，即．
13．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．
(1)求证：BE=FG；
(2)如果AB•DM=EC•AE，连接AM、DE，求证：AM垂直平分DE．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到△ABE与△EFG全等，据此即可证明BE=FG；
（2）证明△ABE∽△ECM，可得EM=DM，再利用HL证明△AEM≌△ADM即可解决问题．
【解析】(1)证明：∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠GEF=90°，
又∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠GEF=∠BAE，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABE=∠EGF=90°，
在△ABE与△EGF中，，
∴△ABE≌△EGF（AAS）；
∴BE=FG；
(2)证明：连接AM、DE，
∵∠GEF=∠BAE，∠ABE=∠ECM=90°，
∴△ABE∽△ECM，
∴，即AB•EM=EC•AE，
∵AB•DM=EC•AE，
∴DM= EM，
∵EF⊥AE，
∴∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠ADM=90°，
∵DM= EM，AM= AM，
∴△AEM≌△ADM(HL) ，
∴AE= AD，
∴AM垂直平分DE．
14．某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．
(1)若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝ 米，FQ＝ 米；
(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，为什么？
【答案】(1)3，2
(2)离B地（或离D地），理由见解析
【分析】（1）通过证明，，再根据相似三角形的性质进行求解即可；
（2）由（1）得，，，设，可求出，求出x的值，即可求解．
【解析】（1）解：由题意得，，
，
，
，点F是BD的中点，
，
，
解得；
，
，
，点F是BD的中点，
，
，
解得；
故答案为：3；2；
（2）小明站在离B点米处的位置，理由如下：
由（1）得，，，
，设，
，
，
，
，
解得，
，
所以，小明站在离B点米处的位置．
15．如图1，在四边形中，，，，点是边的中点，连接交对角线于点，，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求的面积；
(3)如图2，连接交于点，点为上一动点，连接、．将沿折叠得到，交于点，当为直角三角形时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)2或5
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由得四边形是矩形；
（2）过点作于点，先证，得到，再证，求得GF的长，再得出的面积；
（3）先根据勾股定理求出AC的长，再根据中位线定理求出OE的长，再由为直角三角形分两种情况讨论，分别求出CP的长即可．
【解析】(1)证明：，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
(2)如图1，过点作于点，
是矩形，
，，
，
，
，
易知，
，
，
，
的面积为；
(3)是矩形，是中点
，点是中点，，
，是的中位线，
，，
，
为直角三角形分两种情况讨论：
①如图2，当时，，
由折叠的性质，知，
，
；
②如图3，当时，同理可得平分，
，，
，
，
，，
，
，即，
，
综上所述，的长为2或5。