专题30 几何变换之平移模型 2024年中考数学核心几何模型重点突破（全国通用）

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【理论基础】
一、平移
1.平移的定义
把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。
2.平移的两个要素：
(1)平移方向；(2)平移距离。
3.对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。
4.平移方向和距离的确定
(1)要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移。若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平
移来完成(有特殊要求例外)，而移动距离是由最终要达到的位置确定的。具体给出从某点P到另一点P’的方向为平移方向，线段PP’的长度为平移距离。给出具体方位(如向东或者西北等)和移动长度(如10cm)
(2)图形平移后，平移方向与平移距离的确定。图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点的射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离。
5.平移性质
图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。平移后的图形与原图形
①对应线段平行(或在同条一直线上)且相等；
②对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等；
③图形的形状与大小都不变(全等)；
④图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。
6.判别平移图形：
除根据定义判别外，还可以根据平移特征，从中去掉那些能互相替代和包含的内容，只要具
备以下三条：
(1)这两个图形必须是全等形；
(2)这两个全等形的对应线段必须互相平行或者在同一条直线上)
(3)这两个全等形的对应点连线必须互相平行(或在同一条直线上)。
以上为判别方法一，由判别方法一还可以演变推出如下判别方法二：
(1)这两个图形必须是全等形；
(2)这两个全等形的对应顶点字母的排列顺序在图中的方向必须相同(同位顺时针或同为逆时针)；
(3)这两个全等形的对应点连线必须互相平行(或在同一条直线上)。
二、坐标系中的平移
1.一次函数的平移
设一次函数的解析式为
若将它向上平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向下平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向左平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向右平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为.
2.反比例函数的平移
设反比例函数的解析式为
若将它向上平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向下平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向左平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向右平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为.
3.二次函数的平移
设二次函数的解析式为
若将它向上平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向下平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向左平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向右平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为.
4.设函数的解析式为
若将它向上平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向下平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向左平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向右平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为.
5.函数平移规律
口诀1：上加下减，左加右减；
口诀2：左右横，上下纵，正减负加.
【例1】如图，把沿平移到的位置，它们的重叠部分的面积是面积的一半，若，则此三角形移动的距离是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，先求出，再求即可得出答案．
【解析】解：由平移的性质得，，
∴，
∴，
∴，
∵AB=2，
∴=，
∴=AB-=2-．
故选A．
【例2】如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________．
【答案】（1，3）
【分析】根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论．
【解析】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），
又
∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到
∵B（﹣4，2）
∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3）
故答案为：（1，3）
【例3】如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC的位置如图．
(1)将△ABC向x轴正方向平移5个单位得△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
(2)以O为旋转中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2，并标明对应字母；
(3)△ABC和△A2B2C2关于点P中心对称，请直接写出点P的坐标________．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析
(3)（，0）
【分析】（1）找出平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）连接两组对应点，相交于点P，根据中心对称的性质可得点P坐标．
【解析】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，点P即为所求，
由网格特点可知：P（，0）．
故答案为：（ ，0）．
一、单选题
1．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到．若BC＝3，△ABC与重叠部分面积为2，则＝( )
A．B．2C．D．+1
【答案】C
【分析】重叠部分为等腰直角三角形，设=2x，则边上的高为x，根据重叠部分的面积列方程求x，再求．
【解析】解：设＝2x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴平移性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，
则边上的高为x，
∴×x×2x＝2，解得x＝（舍去负值），
∴C＝2，
∴＝BC-＝．
故选：C．
2．如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为（ ）
A．15cmB．18cmC．21cmD．24cm
【答案】B
【分析】根据平移的性质得到，，再根据四边形的周长公式计算，即可得到答案．
【解析】解：的周长为，
∴
由平移的性质可知，
四边形的周长，
故选：B．
3．下列语句中正确的有（ ）个．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等；③垂直于同一直线的两直线平行；④△ABC平移到，则对应点的连线段平行且相等．
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据平行公理、平行线的性质与判定、平移的性质逐个判断即可得．
【解析】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则原语句错误；
②如果两个角的两边互相平行，则这两个角有可能相等（如图1）也有可能互补（如图2），则原语句错误；
③在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行，则原语句错误；
④平移到，则对应点的连线段平行（或在同一条直线上）且相等，则原语句错误；
综上，正确的个数为0个，
故选：A．
4．如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第个图案中有白色地面砖________ 块，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形，1个黑色的六边形，根据规律解题即可．
【解析】解：由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形，
∴第n个图案白色六边形的个数为：，
∴第4个图案白色六边形的个数为：，
故选C．
5．如图，菱形的对角线交于点O，，，将沿点A到点C的方向平移，得到，当点与点C重合时，点A与点之间的距离为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】B
【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，AO＝AC＝2，OB＝BD＝8，再由平移的性质得出＝OA＝2，＝OB＝8，＝90°，则＝AC＋＝6，然后由勾股定理即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠AOB＝90°，
∵将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到，点与点C重合，
∴＝OA＝2，＝OB＝8，＝∠AOB＝90°，
∴＝AC＋＝6，
∴，
故选：B．
6．如图所示，三张正方形纸片①，②，③分别放置于长，宽的长方形中，正方形①，②，③的边长分别为a，b，c，且，则阴影部分周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平移的性质求出水平边之和及竖直边之和，再列式计算解答．
【解析】解：将阴影部分水平的边通过平移可得水平边之和为：2（a＋b），
将阴影部分竖直的边通过平移可得竖直边之和为：2（a＋c－b），
∴阴影部分的周长为：2（a＋b）＋2（a＋c−b）＝2a＋2b＋2a＋2c−2b＝4a＋2c，
故选：A．
7．如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2；
结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4．
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】D
【分析】根据平移的性质，逐项判断即可．
【解析】解：∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF，
∴BE＝CF＝a，
∵BF＝BE+CE+CF，BF＝8，EC＝4，
∴8＝a+4+a，
∴a＝2，故结论Ⅰ正确；
∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF，
∴AC＝DF，
∵四边形ABFD的周长为22，
∴AB+BC+CF+DF+AD＝22，
∴AB+BC+CF+AC+AD＝22，
∵三角形ABC的周长为18，
∴AB+BC+AC＝18，
∴18+CF+AD＝22，即18+a+a＝22，
∴a＝2，故结论（Ⅱ）不正确，
∴Ⅰ对Ⅱ不对，
故选：D．
8．如图，将直角三角形沿着斜边的方向平移到的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边交于点G．如果，的面积等于4，下列结论：①；②三角形平移的距离是4；③；④四边形的面积为16；其中正确的是（ ）
A．②③B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】由平移的性质得到BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正确；根据图形的平移得到∠EDC=∠A，∠EDC=∠BED，故∠A=∠BED，故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到△ABC平移的距离＞4，故②错误；根据三角形的面积公式得到GE=2，根据梯形的面积公式得到四边形GCFE的面积=（6+10）×2=16，故④正确．
【解析】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四点在同一条直线上，
∴BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正确；
由图形的平移知，ED∥AB，AC∥BE，
∴∠EDC=∠A，∠EDC=∠BED，
∴∠A=∠BED，故①正确；
∵BG=4，
∴AD=BE＞BG，
∴△ABC平移的距离＞4，故②错误；
∵EF=10，
∴CG=BC-BG=EF-BG=10-4=6，
∵△BEG的面积等于4，
∴BG•GE=4，
∴GE=2，
∴四边形GCFE的面积=（6+10）×2=16，故④正确；
故选：C．
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，以点、、为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△（点分别为点的对应点），然后以点为中心将△顺时针旋转，得到△（点分别是点的对应点），则点的坐标是_______．
【答案】
【分析】作，根据已知条件可以得到 而，则由此可确定的横坐标，接着确定的横坐标，根据的横坐标和的长度可以确定的坐标．
【解析】
如图，以点为顶点的三角形向上平移3个单位，得到（分别是 C的对应点），
的坐标分别为 ，
过A作AD于D，过，
,
而,
的横坐标为8+3=11，纵坐标为3+4=7，
的坐标为．
故答案为：．
10．在平面直角坐标系中，A（，4），B（，3），C（1，0），．
（1）三角形ABC的面积为______；
（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为______．
【答案】 5
【分析】（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交点，根据题意分别求得的坐标，然后根据，即可求解．
（2）设，则，根据平移可得向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，求得，根据三角形面积求得，即可求解．
【解析】解：（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图，
∵A（，4），B（，3），C（1，0），
∴ ，
，，
∴，
，
，
故答案为：5；
（2），设，则，
∵将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，
∴向下移动了个单位，向右移动了个单位，
∴向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，
如图，过点作轴，于点，则，
过点作轴交于点，
∵，
∴，
∴，
根据题意是沿方向平移得到的，
∴，
∵，
解得：，
∴，
故答案为：．
11．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点，连接．
（1）阴影部分的周长为______；
（2）若三角形的面积比三角形的面积大，则的值为______．
【答案】
【分析】（1）由平移的性质可得出，．再根据，即可求出阴影部分的周长；
（2）过A点作于，利用等面积法计算出，由，，即可得出，再根据，即可列出关于a的等式，解出a即可．
【解析】（1）∵三角形沿方向平移得到三角形，
，．
，
阴影部分的周长为，
故答案为：；
（2）过A点作于，如图，
∵∠BAC=90°
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵三角形的面积比三角形的面积大，即，
∴，
解得．
故答案为：．
12．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD=__________．
【答案】15°或30°或90°
【分析】根据△ABC的平移过程，分为了点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到∠ACD和∠CDE和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解即可．
【解析】第一种情况：如图，当点E在BC上时，过点C作，
∵△DEF由△ABC平移得到，
∴，
∵，，
∴，
①当∠ACD=2∠CDE时，
∴设∠CDE=x，则∠ACD=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x+x=45°，解得：x=15°，
∴∠ACD=2x=30°，
②当∠CDE=2∠ACD时，
∴设∠CDE=x，则∠ACD=x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x+x=45°，解得：x=30°，
∴∠ACD=x=15°，
第二种情况：当点E在△ABC外时，过点C作
∵△DEF由△ABC平移得到，
∴，
∵，，
∴，
①当∠ACD=2∠CDE时，
设∠CDE=x，则∠ACD=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x=x+45°，解得：x=45°，
∴∠ACD=2x=90°，
②当∠CDE=2∠ACD时，由图可知，∠CDE<∠ACD，故不存在这种情况，
综上：∠ACD=15°或30°或90°．
13．菱形如图放置，点坐标是(3，4)，先将菱形向左平移6个单位长度，向上平移1个单位长度，然后沿轴翻折，最后绕坐标原点旋转90°得到菱形的对角线交点的对应点为点，则点的坐标是__________ ．
【答案】（-3，2）或（3，-2）
【分析】先由菱形的性质求出A点坐标，再由中点坐标公式求出对角线交点M坐标以及平移以后对应的点的坐标，最后根据绕坐标原点旋转90°求出P点坐标即可．
【解析】延长BC交y轴于N，连接OB、AC交于点M，
∵点坐标是(3，4)，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，M为AC中点，
∴A点坐标（5,0），
∴M点坐标，
∴将菱形向左平移6个单位长度，向上平移1个单位长度后M点对应坐标为，
∴再把点沿轴翻折后对应点坐标为，
∵在坐标平面内绕点O旋转90°，
∴对应点横纵坐标绝对值互换作为对应点的横纵坐标绝对值，再根据所在象限确定对应点坐标
∴若是顺时针旋转，则对应点在第二象限，坐标为（-3，2），
若是逆时针旋转，则对应点在第四象限，坐标为（3，-2），
综上所述，点P的坐标为（-3，2）或（3，-2），
故答案为：（-3，2）或（3，-2）．
14．在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
【答案】平行四边形 2
【分析】（1）利用平移的性质证明即可．
（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结论．
【解析】解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
故答案为：平行四边形．
（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，
∴AJ=JC，
∴BJ=AC=，
∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，
∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，
∴四边形BHCJ是正方形，
∴BH=CH=，
在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，
∴A′B=CD′，
∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，
∴A′B+D′B的最小值为2，
故答案为：2．
三、解答题
15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）.
(1)作出把向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到；
(2)若已知的顶点B的坐标为（-1，4），顶点C的坐标为（-3，1），请作出合适的平面直角坐标系，并直接写出点的坐标.
【答案】(1)答案见解析
(2)，图见解析
【分析】（1）根据题意将各顶点进行平移，然后依次连接即可；
（2）根据顶点B的坐标为（-1，4），画出坐标系，然后根据坐标系确定点的坐标．
【解析】（1）解：如图所示，向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．
（2）解：如图所示建立坐标系，点的坐标为．
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点B，C的坐标分别是，．
(1)请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系；
(2)把先向右平移4个单位，再向下平移2个单位得到，请在图中画出，并写出，，的坐标；
(3)y轴上是否存在点P，使的面积是的面积的2倍，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析；，，
(3)存在，或
【分析】（1）依据点B，C坐标分别为（−1，1），（0，3）即可得到原点的位置，进而得出直角坐标系；
（2）依据平移的方向和距离，即可得到；
（3）y轴上是否存在点P，依据△PBC的面积等于△ABC的面积的2倍，即可得到点P的纵坐标的值．
【解析】（1）解：建坐标系如图所示：
（2）解：画出如图所示.
，，
（3）解：∵
∴
∴
∵
∴或．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（m，b），且，m是64的立方根．
(1)直接写出A，B两点坐标为：A____，B____；
(2)将线段AB平移得到线段CD，点B的对应点是点C（8，0），点A的对应点是点D．
①在平面直角坐标系中画出平移后的线段CD，直接写出点D的坐标；
②若点E在y轴的负半轴上，且S△ABO＝S△CDE，求点E的坐标；
(3)若点E在y轴上运动，但不和AB与y轴的交点重合，也不和CD与y轴的交点重合，直接写出∠BEC，∠ABE，∠DCE的数量关系．
【答案】(1)，
(2)①
②或
(3)当点E在AB和CD之间时，；
当点E在AB和CD的上方时，或；
当点E在AB和CD的下方时，．
【分析】（1）利用平方根和绝对值得非负性，算出a、b的值，由立方根求出m的值，即可得出A和B的坐标；
（2）①根据平移的性质，画出点D的位置即可作答；
②根据S△ABO＝S△CDE，得出，算出DE的长度后，再分类讨论即可；
（3）分类讨论点E的位置，过点E作EFABCD，根据平行线的性质，得出∠BEC，∠ABE，∠DCE的数量关系．
【解析】（1）由题意得，，，
解得：，，
∵m是64的立方根，
∴，
∴，；
（2）①如图，线段CD即为所求，点D的坐标为；
②设点E的坐标为，
∵，，，
∴，B到x轴的距离为5，，
∵S△ABO＝S△CDE，，
∴，
解得，
∵，
当点E在D上方时，；
当点E在D下方时，，
∴点E的坐标为或；
（3）如图1，当点E在AB和CD之间时，过点E作EFABCD，
∴，，
∴；
如图2，当点E在AB和CD的上方时，过点E作EFABCD，
∴，，，
∴；
如图3，当点E在AB和CD的上方时，过点E作EFABCD，
∴，，，
∴；
如图4，当点E在AB和CD的下方时，过点E作EFABCD，
∴，，，
∴．
18．如图，点A的坐标为，点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为．
(1)点E的坐标为________；点B的坐标为_______；
(2)在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“”移动．
①当点P在CD上时﹐设，试用含x，y的式子表示z，写出解答过程．
②当点P在BC上﹐且直线OP平分四边形ABCD的面积时﹐求点P的坐标．
【答案】(1)（-2，0）；（0，2）．
(2)① ②
【分析】（1）依据平移的性质可知轴，BC=AE=3，然后依据点A和点C的坐标可得到点B和点E的坐标；
（2）①过点P作交AB于点F，则，然后依据平行线的性质可得到∠BPF=∠CBP=x，∠APF=∠DAP=y，最后，再依据角的和差关系进行解答即可；②先求解四边形ABCD的面积，再画出图形，结合直线OP平分四边形ABCD的面积建立方程求解即可．
【解析】（1）解：∵将三角形OAB沿x轴负方向平移，C（-3，2），A（1，0），
∴轴，BC=AE=3．
∴B（0，2），E（-2，0）．
故答案为：（-2，0）；（0，2）．
（2）①∵点P在线段CD上时，
如图，过点P作交AB于点F，则，
∴∠BPF=∠CBP=x，∠APF=∠DAP=y，
∴∠BPA=∠BPF+∠APF=x+y=z，
∴z=x+y．
②∵由平移的性质可得：轴， 而
∴
∵
∴ 而
∴
如图，当点P在BC上﹐且直线OP平分四边形ABCD的面积时﹐
∴
∴
∴
∴
19．问题背景：
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，点B坐标为(5，0)，将线段OA沿x轴向右平移使点O对应点为点B．
动手操作：
(1)请在图①中出AO平移后的线段BC，直接写出点C的坐标；
实践探究：
(2)已知，现有，且轴，另一边DE所在直线交OA于点P，完成下列各题：
①如图①，当点A，P，E在同一条直线上时，即点P与点E重合时，_______．
②当点A，P，E不在同一条直线上时，请结合图②③分别求出的度数．
【答案】(1)见解析，C(6，4)
(2)①；②或
【分析】（1）由平移的性质即可作图和求出C点坐标；
（2）①由平行的性质可求出，即可求出；②过点P作轴，即得出．又可证明，得出，最后即可求出；过点P作轴，即得出，又可证明，即得出，最后即可求出．
【解析】（1）如图，线段BC即为所作．
由平移的性质可知C(6，4)；
（2）①∵，
∴，
∴；
②如图，过点P作轴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴；
如图，过点P作轴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴．
综上可知：或109°．
20．如图，在5×5的方格纸中，△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形．
(1)仅用无刻度的直尺画出△ABC的AB边上的高CH（保留作图痕迹）；
(2)若AB＝5，求CH的长；
(3)在5×5的方格纸中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC）共有 个．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【分析】（1）取格点P，连接CP交AB于点H，线段CH即为所求作．
（2）利用面积法求解即可．
（3）如图，将△ABC作如下变换，①直接平移，网格中与△ABC 全等的格点三角形有3种情况，②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况，综合①②③即可求得答案．
【解析】（1）如图，线段CH即为所求作；
理由如下，取格点，如图，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴是AB边上的高；
（2）∵
即
∴
（3）①直接平移，网格中与△ABC 全等的格点三角形有3种情况，如图，
②根据大正方形的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应(先对称再平移)，一共有4×4=16种情况，

③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况
综上所述，一共有3+16+12=31个
故答案为：31．
21．在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：将点向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点与点的中点为，称点为点的关于点的“平移中点”．已知，，点为点的关于点的“平移中点”．
(1)①若，，则点的坐标为______；
②若，点的横坐标为，则的值为_____（用含的代数式表示）．
(2)已知，点在直线上．
①当点在轴上时，点的坐标为______；
②当点在第一象限时，的取值范围是______．
(3)已知正方形的边长为，各边与轴平行或者垂直，其中心为，点为正方形上的动点．
①当时，在点运动过程中，点形成的图形的面积是_______；
②当点在直线上，在点运动过程中，若存在点在正方形的边上或者内部，则的取值范围是_______．
【答案】(1)①；②
(2)①；②
(3)①；②
【分析】（1）①由定义可求，再由中点坐标公式求出点的坐标即可；
②根据的横坐标可建立方程，从而可求；
（2）①求出，，由题意可得，求出即可求解；
②由①可得，，即可求出的范围；
（3）①求出，，由此可知点形成的正方形边长为，则可求出点形成的图形的面积；
②由题意可知，则，，再由，，当时，可得，则时，存在点在正方形的边上或者内部；当时，可得，则时，存在点在正方形的边上或者内部，即可求的范围．
【解析】（1）解：①∵，，
∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，
∴与的中点的坐标是，即．
故答案为：．
②∵，
∴，
∵，
∴点的横坐标为，
∵点的横坐标为，
∴．
故答案为：．
（2）①∵，点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点在轴上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
②∵点在第一象限，
∴，，
∴．
故答案为：．
（3）①∵当时，，
∵，
∴，
∴，
∵点为正方形上的动点，
∴点运动形成的图形也是正方形，
∵正方形的边长为，
∴点运动形成的正方形的边长为，
∴点运动形成的图形的面积是．
故答案为：．
②∵点在直线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形的边长为，各边与轴平行或者垂直，中心为，
又∵点为正方形上的动点，
∴，，
当时，，
∴，
∴时，存在点在正方形的边上或者内部，
当时，，
∴时，存在点在正方形的边上或者内部．
综上所述，当时，存在点在正方形的边上或者内部．
故答案为：．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知A（），（），将线段平移至，连接，，，．
(1)直接写出点的坐标；
(2)点在轴上从点沿正方向运动，点在运动过程中是否存在的面积是的面积的倍？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点在运动过程中（不考虑与点、点A重合的情形），请写出，，三者之间存在怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)C（1，3）
(2)存在，点坐标为或
(3)或，理由见解析
【分析】（1）由平移的性质可得，，即可求解；
（2）分两种情况讨论，先求出的长，面积关系可求解；
（3）分两种情况讨论，由平行线的可得，，即可求解．
【解析】（1）解：，，将线段平移至，
，，，
点
（2）解：存在，
当点在线段上时，则，
的面积是的面积的3倍，
，
，
点；
当点在线段的延长线上时，，
，
，
点；
综上所述：点坐标为或
（3）解：如图，当点在线段上时，过点作，与交于点，
由平移可知，，
，
，，
，
；
如图，当点在的延长线上时，过点作，与得延长线交于点，
由平移可知，，
，
，，
，
；
综上所述，或．
23．“卓越数学兴趣小组”准备对函数图像和性质进行探究，他们制定了以下探究步骤：
(1)该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y＝的图像（如图1），然后画出了的图像，请在图1中画出此图像（草图）．
(2)他们发现函数图像可以由y＝的图像平移得到，请写出平移过程．
(3)他们发现可以根据函数图像画出函数的图像，请在图2中画出此图像（草图），并写出其中的两条函数性质．
(4)他们研究后发现，方程中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合图像，就a的取值范围讨论方程解的情况．
【答案】(1)见解析
(2)向左平移1个单位，再向下平移3个单位
(3)见解析
(4)当a＜0时，方程无解；当a＞3或0＜a＜3时，方程有两个解；当a＝0或a＝3时，方程有一个解
【分析】（1）画出函数的图像即可；
（2）观察图像即可得到结论；
（3）作出函数值小于零的部分图像关于x轴的轴对称图形得到函数图像，然后根据图像写出两条性质即可；
（4）分a＜0，a=0或a=3，0＜a＜3或a＞3三种情况，分别根据函数图像求解即可．
【解析】（1）解：如图①所示即为所求．
（2）解：将y＝的图像向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得y＝－3的图像．
（3）解：函数图像如图②，性质如下（不唯一）：
①函数有最小值，最小值为0，
②当x＞1时，y随着x的增大而增大，x＜－1时，y随着x的增大而增大．
（4）解：方程中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化
当a＜0时，方程无解；
当a＞3或0＜a＜3时，方程有两个解；
当a＝0或a＝3时，方程有一个解．
24．如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DEAB，连接AE，∠B＝∠E＝75°．
(1)请说明AEBC的理由．
(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数．
③在整个运动中，求∠E、∠Q、∠EDQ之间的的等量关系．
【答案】(1)见解析
(2)①∠Q＝15°；②∠Q＝50°或150°，③∠EDQ＝∠E﹣∠Q或∠EDQ＝∠Q﹣∠E．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论；
（2）①如图2，过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论；
②过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论．
③结合①②即可得在整个运动中，∠E、∠Q、∠EDQ之间的的等量关系．
【解析】（1）解：∵DEAB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AEBC；
（2）①如图2，过D作DFAE交AB于F，
∵线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，
∴PQAE，
∴DFPQ，
∴∠DPQ＝∠FDP，
∵∠E＝75°，
∴∠EDF＝180°－∠E＝105°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣105°﹣90°＝165°，
∴∠DPQ+∠QDP＝∠FDP＋∠QDP＝∠FDQ＝165°，
∴∠Q＝180°﹣165°＝15°；
②如图3，过D作DFAE交AB于F，
∵PQAE，
∴DFPQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ∠Q，
∵∠E＝75°，
∴∠EDF＝105°，
∴180°﹣∠QQ＝105°，
∴∠Q＝50°；
如图4，过D作DFAE交AB于F，
∵PQAE，
∴DFPQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ∠Q，
∵∠E＝75°，
∴∠EDF＝105°，
∴180°﹣∠QQ＝105°，
∴∠Q＝150°，
综上所述，∠Q＝50°或150°，
③如图3，∵DFAE，DFPQ，
∴∠EDG＝∠E，∠GDQ＝∠Q，
∴∠EDQ＝∠EDG－∠GDQ＝∠E－∠Q，
即∠EDQ＝∠E－∠Q；
如图4，∵DFAE，DFPQ，
∴∠FDE＝180°－∠E，∠FDQ＝180°－∠Q，
∴∠EDQ＝∠FDE－∠FDQ＝∠Q－∠E，
即∠EDQ＝∠Q－∠E；
综上所述，∠EDQ＝∠E﹣∠Q或∠EDQ＝∠Q﹣∠E．