2023-2024学年广西壮族自治区百色市德保县高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广西壮族自治区百色市德保县高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．是虚数单位，则（ ）
A．B．
C．D．
2．圆和的位置关系是（ ）
A．外离B．相交C．内切D．外切
3．已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．6B．12C．8D．16
4．已知直线与直线，若，则（ ）
A．B．2C．2或D．5
5．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ）

A．B．
C．D．
6．设，向量，，，且，，则（ ）
A．B．3C．D．4
7．已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每小题5分，选不全，得2分，全选对得5分，共20分）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若，，则直线的倾斜角为
C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
D．直线的截距为
10．已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线过定点，坐标为
B．直线与圆的位置关系无法确定
C．直线被圆截得的最短弦长是
D．直线被圆截得的弦长最大时
11．关于函数下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的增区间为
C．函数的最小值为D．函数的一条对称轴的方程为
12．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点（在轴左侧），则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知空间向量的夹角为，则 ．
14．直线：与圆相交、两点，则 ．
15．已知为轴上一点，，是椭圆的两个焦点，△为正三角形，且的中点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ．
16．在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，将军从点出发，河岸线所在直线方程为，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程 ．
四、解答题（6题，共70分）
17．已知直线过点且与直线：垂直．
(1)求直线的方程；
(2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程．
18．已知，.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值.
19．已知圆过点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，点，记为线段的中点，求的轨迹方程；
20．在下面的三个条件：①，②，③.任选一个补充到问题中，并给出解答.
在锐角中，角的对边分别为，且__________.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
21．椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的斜率为2的直线交椭圆于､两点，求的面积.
22．如图，直三棱柱的所有棱长都是2，分别是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
1．A
【分析】根据复数除法法则计算出答案.
【详解】.
故选：A
2．D
【分析】由圆与圆的位置关系判断，
【详解】圆的圆心为，半径为1，
圆可化为，圆心为，半径为4，
而两圆心的距离为，故两圆外切，
故选：D
3．D
【分析】利用标准方程可求得，再根据长轴定义即可求出结果.
【详解】根据椭圆标准方程可知，解得；
所以该椭圆的长轴长为.
故选：D
4．A
【分析】解方程，再检验即得解.
【详解】解：若，则，
所以或．
当时，重合，不符合题意，所以舍去；
当时，符合题意．
故选：A
5．B
【分析】根据空间向量基本定理进行求解.
【详解】因为，点N为BC中点，所以，
故
.
故选：B
6．C
【分析】通过，，可列式求出，则可求出，进而求出.
【详解】解：，，得，
又，则，得，
，
，
.
故选：C.
本题考查空间向量垂直，平行，模的坐标表示，是基础题.
7．B
【分析】首先求出直线过定点，在求出临界点处直线的斜率，结合图象得到不等式组，解得即可.
【详解】因为直线：，即，令，解得，
所以直线恒过定点，
又，，直线的斜率为，
要使直线与线段有公共点，由图可知，解得，
即的取值范围是.

故选：B.
8．A
【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解．
【详解】依题意得
则点C到直线AB的距离为
故选：A
9．BC
【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可.
【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；
B：由于，的横坐标相等，即直线与y轴垂直，故倾斜角为，对；
C：由题设，直线方程为，显然在直线上，对；
D：直线在y轴上的截距为，但轴上的截距不一定为，错.
故选：BC
10．AD
【分析】A选项，变形后得到方程组，求出定点坐标；B选项，确定直线所过定点在圆内，从而得到直线与圆的位置关系；C选项，当与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短，由两点间距离公式和垂径定理得到最短弦长；D选项，当直线经过圆心时，被圆截得的弦长最大，将圆心坐标代入直线，得到的值.
【详解】A选项，变形为，
令，解得，
故直线过定点，坐标为，A正确；
B选项，因为，故在圆内，则直线与圆相交，B错误；
C选项，当与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短，

此时，
由垂径定理得，最短弦长为，C错误；
D选项，直线经过圆心时，被圆截得的弦长最大，
将代入中，，
解得，D正确.
故选：AD
11．AD
【分析】通过对进行恒等变换，，即可根据三角函数的性质进行判断
【详解】，
对A，最小正周期为，A对；
对B，由，得，B错；
对C，最小值为，C错；
对D，由得，当时，对称轴为，D对.
故选：AD
12．AD
【分析】设椭圆的左焦点为，连接，根据对称性得到，结合定义可判定A正确；由，得到，根据周长，可判定B错误；联立方程组求得，，结合向量的数量积的运算公式，得到，可判定C错误；由，结合面积公式，可判定D正确.
【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，
根据椭圆的对称性知，所以，故A正确；
由椭圆，可得，则，
因为，所以的取值范围是，
所以的周长为，其取值范围是，故B错误；
联立方程组，解得，，
又由，所以，
所以为钝角，则为钝角三角形，故C错误；
联立方程组，解得，，
可得，所以，
又由，，可得，故D正确.
故选：AD.
13．13
【分析】利用向量数量积运算律即可求得的值.
【详解】空间向量的夹角为，
则.
故13
14．
【分析】根据给定条件，联立方程求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算作答.
【详解】由解得或，不妨令，
所以.
故
15．
【分析】连接，由题设易知且，结合椭圆的定义得到，即可求离心率.
【详解】如图，连接．由△为正三角形，且为线段的中点，
∴．又，，
∴，，由椭圆的定义，得，即，
∴，即椭圆的离心率．
故
16．
【分析】求出点关于河岸线所在直线的对称点，结合圆的性质可得原点与点连线和河岸线所在直线的交点即为“将军饮马”点，再求出最小值即得.
【详解】若军营所在区域为，圆：的圆心为原点，半径为，如图：
设为关于直线的对称点，于是，解得，即，
令原点为，连接交直线于点，交圆于点，
对直线上任意点，，
因此将军饮马点为时，最小，最小值为，由于到达营区点即回到军营，
所以“将军饮马”的最短总路程为点与圆上的点的最短距离.
故
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知设出的方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出答案；
（2）联立直线与的方程，求解方程组得出交点坐标，然后即可根据两点式方程，求出答案.
【详解】（1）由已知可设直线的方程为.
又直线过点，所以有，解得，
所以，直线的方程为.
（2）联立直线与的方程，
可得，
所以，直线与的交点.
又直线l经过，
代入直线的两点式方程可得，，
整理可得.
18．(1)
(2)
【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.
【详解】（1）由已知可得，，
∴.
（2），，
∵，∴存在实数使得，
∴，，，联立解得.
19．(1)
(2)
【分析】（1）先求的垂直平分线方程为，与的交点即圆心，圆心到点的距离即为半径，即可得圆的标准方程.
（2）由为线段的中点得到坐标与坐标的关系，代入圆方程可得轨迹方程.
【详解】（1），的中点坐标为，直线的斜率为，
故线段的垂直平分线方程为，即，
联立得，即圆的圆心为，半径为，
故圆的方程为
（2）设，，因为线段的中点，
所以，则，
因点在圆上运动，所以，
则，
即的轨迹方程为.
20．(1)条件选择见解析，；
(2).
【分析】（1）若选①：利用正弦定理边角转化和两角和的正弦公式，即可求出答案；若选②：利用三角恒等变换结合条件即得；若选③：利用正弦定理边角转化和余弦定理，即可求出答案；
（2）利用正弦定理表示出，然后利用三角函数的性质即得.
【详解】（1）选①：由正弦定理及，得，
又，
，又，
，又，
；
选②：由，得，
即，
，，
，
，即；
选③：由及正弦定理，得，
又由余弦定理得，
所以，，
；
（2）由，可得，
所以，
因为，
所以，
所以，即，
所以的取值范围为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意和椭圆的定义可知a，c，再根据，即可求出b，由此即可求出椭圆的方程；
（2）求出直线的方程，将其与椭圆方程联立，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，再根据面积公式即可求出结果.
【详解】（1）由题意可得，，∴，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）直线l的方程为，
代入椭圆方程得，设，，
则，，，
∴，
又∵点O到直线AB的距离，
∴，
即△OAB的面积为.
22．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）取的中点，连接，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得，证得，，即可求解；
（2）利用空间向量的方法求线面角即可.
【详解】（1）
如图所示，取的中点，连接，
由直三棱柱的所有棱长都是2，是中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
由分别为的中点，可得，可得两两垂直.
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
可得，，，
，，，，
又，平面，平面.
（2）由（1）可得平面，则，即为平面的一个法向量，又由，
设直线与平面所成的角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.