2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)3.4 函数的应用(一)

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)3.4 函数的应用(一)，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．某商店同时卖出两件外套，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店( C )
A.不亏不盈 B.盈利37.2元
C.亏损14元 D.盈利14元
解析：设两件外套的成本分别为a元，b元，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（1＋20%）＝168，,b（1－20%）＝168，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝140，,b＝210，))
∴2×168－(a＋b)＝336－350＝－14，
∴此时商店亏损14元．
2．据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( D )
A.y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)
B.y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C.y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
D.y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
解析：因为自行车为x辆，所以电动车为(4 000－x)辆，存车总收入y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．
3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( D )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
4．国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y关于x的函数关系式是( A )
A.y＝m(1－x)2 B.y＝m(1＋x)2
C.y＝2m(1－x) D.y＝2m(1＋x)
解析：第一次降价后价格为m(1－x)，第二次降价后价格变为y＝m(1－x)(1－x)＝m(1－x)2.
5．某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( C )
A.上午10：00 B.中午12：00
C.下午4：00 D.下午6：00
解析：由图象知，当0≤x≤4时，设直线y＝k1x，把点(4，320)代入得k1＝80，所以y＝80x；当4eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4k2＋b＝320，,20k2＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2＝－20，,b＝400，))此时y＝f(x)＝－20x＋400，所以f(x)＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(80x，0≤x≤4，,－20x＋400，4二、多项选择题
6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
则下列说法正确的是( BD )
A.买小包装实惠
B.买大包装实惠
C.卖3小包比卖1大包盈利多
D.卖1大包比卖3小包盈利多
解析：大包装300克8.4元，则等价于100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故A错误，B正确；卖1大包盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖3小包盈利3×(3－0.5－1.8)＝2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故C错误，D正确．
7．某外贸公司在30天内A商品每件的销售价格P(元)与时间t(天)的关系满足如图所示的函数，A商品的日销售量Q(万件)与时间t(天)的关系为Q＝40－t，则下列说法正确的是( AC )
A.第15天的日销售额最大
B.第20天的日销售额最大
C.最大日销售额为125万元
D.最大日销售额为120万元
解析：由题图可得当0所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,6＝20a＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,a＝\f(1,5)，))
所以P＝eq \f(1,5)t＋2，当20≤t≤30时，可设P＝mt＋n，图象过点(20，6)，(30，5)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＝20m＋n，,5＝30m＋n，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,10)，,n＝8，))
所以P＝－eq \f(1,10)t＋8，
综上可得， P＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)t＋2，0又Q＝－t＋40(0eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)t＋2))（－t＋40），0当0三、 填空题
8．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为y＝－eq \f(1,4)x＋50(0解析：设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，其中x为每件产品的定价(单位：元)，y为每天售出的件数(单位：件)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(30＝k×80＋b，,20＝k×120＋b，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,4)，,b＝50，))
∴y＝－eq \f(1,4)x＋50(09．用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是9 m2．
解析：设矩形的一边长为x m，则与这条边垂直的边长为eq \f(12－2x,2) m，所以矩形面积S＝x•eq \f(12－2x,2)＝－x2＋6x(010．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费办法如下表：
若某月份甲、乙两户居民共缴纳水费76元，且甲户用水未超过12 m3，乙户用水未超过15 m3，则该月份甲户用水量为10 m3．(甲、乙两户的月用水量为整数)
解析：水费为76不是3的倍数，故乙户用水量超过12 m3，乙户用水12 m3的水费为36元，剩余40元，甲户最多水费为3×12＝36(元)，而乙户用水超过12 m3但不超过18 m3的部分费用最少为5元，最多为15元，作以下验证，若是5元，则甲户水费为35元，不合题意；若是10元，则甲户水费为30元，符合题意，此时甲户用水为10 m3时，乙户用水14 m3；若是15元，则甲户水费为25元，不合题意．所以，甲户用水为10 m3时，乙户用水14 m3满足题意．
四、解答题
11．据市场分析，某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解：(1)设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5，
解得a＝eq \f(1,10).所以y＝eq \f(1,10)(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为Q(x)，
则Q(x)＝1.6x－y＝
1．6x－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,10)（x－15）2＋17.5))＝
－eq \f(1,10)(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．
当x＝23时，Q(x)取最大值．
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．
12．某科技企业决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元)．当年产量不足80台时，C(x)＝eq \f(1,2)x2＋40x，当年产量不小于80台时，C(x)＝101x＋eq \f(8 100,x)－2 180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．
解：(1)当0当x≥80时，
y＝100x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(101x＋\f(8 100,x)－2 180))－500＝
1 680－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(8 100,x)))，
于是y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2＋60x－500，0(2)由(1)可知当0y＝－eq \f(1,2)(x－60)2＋1 300，
故当x＝60时，y取得最大值，为1 300，当x≥80时，
y＝1 680－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(8 100,x)))≤1 680－
2eq \r(x•\f(8 100,x))＝1 500，
当且仅当x＝eq \f(8 100,x)，即x＝90时，y取最大值，为1 500.
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元．
13．(多选题)甲、乙两人沿同一方向从A地去B地，途中都使用两种不同的速度v1，v2(v1
A B C D
解析：甲的平均速度为eq \f(2v1v2,v1＋v2)，时间为eq \f(s,\f(2v1v2,v1＋v2))；乙的平均速度为eq \f(v1＋v2,2)，时间为eq \f(s,\f(v1＋v2,2))，其小于eq \f(s,\f(2v1v2,v1＋v2))，所以CD不正确．经分析知，A中图为甲、乙两人先使用速度v1，后使用速度v2；B中图为甲、乙两人先使用速度v2，后使用速度v1，AB均符合题意．故选AB．
14．某信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密的方法是英文的a，b，c，…，z的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数．
通过变换公式：
f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,2)（x∈N*，x≤26，x不能被2整除），,\f(x,2)＋13（x∈N*，x≤26，x能被2整除），))
将明文转换成密文，如8→eq \f(8,2)＋13＝17，即h变换成q；5→eq \f(5＋1,2)＝3，即e变换成c.按上述规律，若将明文译成的密文是shxc，则原来的明文是lve.
解析：由已知得加密变换公式为f(x)＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,2)（x∈N*，x≤26，x不能被2整除），,\f(x,2)＋13（x∈N*，x≤26，x能被2整除），))
又∵明文译成的密文是shxc，设密文s对应的明文为α，则f(α)＝19，若eq \f(α＋1,2)＝19，则α＝37>26，不符合要求，若eq \f(α,2)＋13＝19，则α＝12，即s对应的明文为l，同理可以确定出h对应的明文为，x对应的明文为v，c对应的明文为e，∴原来的明文是lve.
15．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t，0eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(15＋\f(1,2)t，0(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
解：(1)由已知得，y＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15＋\f(1,2)t))（80－2t），0＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（t＋30）（40－t），0＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－t2＋10t＋1 200，0(2)由(1)知，①当0－(t－5)2＋1 225，
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，
ymin＝1 200(当t＝10时取得)；
②当10∴y<1 200，
ymin＝600(当t＝20时取得)．
由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，
ymin＝600(当t＝20时取得)．
型号
小包装
大包装
质量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.0元
8.4元
每户每月用水量x(m3)
每m3的水价
不超过12 m3的部分
3元
超过12 m3但不超过18 m3的部分
5元
超过18 m3的部分
8元