2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)4.1.1　n次方根与分数指数幂

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)4.1.1　n次方根与分数指数幂，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．下列各式正确的是( D )
A．27eq \s\up6(\f(2,3))＝3
B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3＝－eq \f(1,8)
C．eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－4))2)＝π－4
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(81,256)))－eq \f(3,4)＝eq \f(64,27)
解析：27eq \s\up6(\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(33))eq \s\up6(\f(2,3))＝33×eq \f(2,3)＝32＝9，故A错误；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－3)＝23＝8，故B错误；eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－4))2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(π－4))＝4－π，故C错误；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(81,256)))eq \s\up12(－\f(3,4))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))4))－eq \f(3,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))－3＝eq \f(64,27)，故D正确．故选D．
2．设a，b 为非零实数，则下列运算正确的是( B )
A．eq \r(n,an)＝aB．2a•(－2a)2＝8a3
C．a10÷a10＝0D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a2b))eq \s\up12(3)＝8a5b3
解析：当n取偶数，a<0时不成立，比如eq \r((－2)2)≠－2 ，故A错误；2a•(－2a)2＝2a•4a2＝8a3，故B正确；a10÷a10＝a0＝1，故C错误；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a2b))eq \s\up12(3)＝8a6b3，故D错误．故选B．
3．若正数x，y满足x3＝8，y4＝81，则x＋y＝( C )
A．1B．3
C．5D．7
解析：因为正数x，y满足x3＝8，y4＝81，所以x＝eq \r(3,8)＝2，y＝eq \r(4,81)＝3，所以x＋y＝2＋3＝5.故选C．
4．若x≠0，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－eq \r(x2)＋eq \f(\r(x2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)))的值为( C )
A．－1B．0
C．1D．2
解析：因为x≠0，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－eq \r(x2)＋eq \f(\r(x2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))＋eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)))＝1.故选C．
5．化简eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))2)＋eq \r(5,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－a))5)的结果是( C )
A．0B．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－a))
C．0或2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－a))D．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))
解析：eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))2)＋eq \r(5,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－a))5)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－a)).当a≥b时，原式＝a－b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－a))＝0；当a二、多项选择题
6．若n∈N，a∈R，则下列四个式子中一定有意义的是( AC )
A．eq \r(4,(－4)2n)B．eq \r(4,(－4)2n＋1)
C．eq \r(5,a4)D．eq \r(4,a5)
解析：对于A，2n为偶数，则(－4)2n>0恒成立，有意义；对于B，(－4)2n＋1<0，无意义；对于C，a4为恒大于或等于0的数，有意义；对于D，当a<0时，式子无意义．故选AC．
7．设a>0，m，n是正整数，且n>1，则下列各式中，正确的是( AB )
A．aeq \s\up6(\f(m,n))＝eq \r(n,am)
B．a0＝1
C．a－eq \f(m,n)＝－eq \r(n,am)
D．eq \r(n,an)＝a
解析：∵a>0，m，n是正整数，且n>1，
∴aeq \s\up6(\f(m,n))＝eq \r(n,am)，故A正确；显然a0＝1，故B正确；a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))，故C不正确；当n取偶数，eq \r(n,an)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))；当n取奇数，eq \r(n,an)＝a，故D不正确．故选AB．
三、 填空题
8．二次根式eq \r(x2)＝－x成立的条件是x≤0.
解析：因为eq \r(x2)＝|x|＝－x，所以x≤0.
9．已知a>0，b>0，化简：(eq \r(3,a))3•eq \r(ab3)＝aeq \s\up6(\f(3,2))beq \s\up6(\f(3,2)).(用分数指数幂表示)
解析：(eq \r(3,a))3•eq \r(ab3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(1,3))))eq \s\up12(3)•eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ab3))eq \s\up6(\f(1,2))＝a•aeq \s\up6(\f(1,2))beq \s\up6(\f(3,2))＝aeq \s\up6(\f(3,2))beq \s\up6(\f(3,2)).
10．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是③.(填序号)
①－eq \r(x)＝(－x)eq \s\up6(\f(1,2))(x＞0)；
②eq \r(6,y2)＝yeq \s\up6(\f(1,3)) (y＜0)；
③x－eq \f(3,4)＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))3) (x＞0)；
④x－eq \f(1,3)＝－eq \r(3,x) (x≠0)．
解析：当x>0时，－eq \r(x)＝－xeq \s\up6(\f(1,2))，故①错误；当y<0时，eq \r(6,y2)>0，yeq \s\up6(\f(1,3))<0，故②错误；当x>0时，x－eq \f(3,4)＝eq \r(4,x－3)＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))3)，故③正确；当x≠0时，x－eq \f(1,3)＝eq \f(1,\r(3,x))，故④错误．
四、解答题
11．计算下列各式(式中字母均为正数)．
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(2,3)y\s\up6(\f(1,2))))•eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)x－1y\s\up6(\f(1,2))))•eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)x\s\up6(\f(1,3))y－\f(1,6)))；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,2))－9.50－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2).
解：(1)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)))))x－eq \f(2,3)＋(－1)＋eq \f(1,3)yeq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)))＝eq \f(25,24)x－eq \f(4,3)yeq \s\up6(\f(5,6)).
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,2))－9.50－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))eq \s\up6(\f(1,2))－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＝eq \f(3,2)－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＝eq \f(1,2).
12. (1)化简：27－eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,9)))eq \s\up6(\f(1,2))－(eq \r(2))0.
(2)先化简，再求值．已知a＝2eq \r(7)，b＝5eq \r(2)，求eq \f(a6－9b4,\r(a6＋6a3b2＋9b4))•eq \f(b2,a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2)))的值．
解：(1)27－eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,9)))eq \s\up6(\f(1,2))－(eq \r(2))0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(33))－eq \f(1,3)－7＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))2))eq \s\up6(\f(1,2))－1＝eq \f(1,3)－7＋eq \f(5,3)－1＝－6.
(2)eq \f(a6－9b4,\r(a6＋6a3b2＋9b4))•eq \f(b2,a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2)))＝
eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3＋3b2)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3＋3b2))2))•eq \f(b2,a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2)))＝
eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3＋3b2)),a3＋3b2)•
eq \f(b2,a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2)))＝eq \f(b2,a2)，
因为a＝2eq \r(7)，b＝5eq \r(2)，所以
eq \f(a6－9b4,\r(a6＋6a3b2＋9b4))•eq \f(b2,a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2)))＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5\r(2)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(7)))2)＝eq \f(50,28)＝eq \f(25,14)..
13．化简eq \f(\r(3,ab2)•a2b2,\r(\r(3,b)•(a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(1,4)))4))(a，b为正数)的结果是( C )
A．eq \f(b2,a2)B．eq \f(a2,b2)
C．a2b2D．ab
解析：eq \f(\r(3,ab2)a2b2,\r(\r(3,b)(a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(1,4)))4))＝eq \f((ab2)\s\up6(\f(1,3))a2b2,[b\s\up6(\f(1,3))(a\s\up6(\f(2,3))b)]\s\up6(\f(1,2)))＝eq \f(a\s\up6(\f(7,3))b\s\up6(\f(8,3)),a\s\up6(\f(1,3))b\s\up6(\f(2,3)))＝a2b2.
14．化简：eq \r(3,a\s\up6(\f(9,2))\r(a－3))÷eq \r(\r(3,a－7)•\r(3,a13))＝1.
解析：因为eq \r(a－3)有意义，所以a>0，所以原式＝eq \r(3,a\s\up6(\f(9,2))•a－\f(3,2))÷eq \r(a－\f(7,3)•a\s\up6(\f(13,3)))＝eq \r(3,a3)÷eq \r(a2)＝a÷a＝1.
15. 求值：
(1)eq \f(\r(6•\r(3,6)•\r(6,64)),\r(6,63))；
(2)0.008－eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))0＋(2－eq \f(2,3))3＋8－eq \f(2,3).
解：(1)eq \f(\r(6•\r(3,6)•\r(6,64)),\r(6,63))＝
eq \f(\r(6•6\s\up6(\f(1,3))•6\s\up6(\f(2,3))),6\s\up6(\f(1,2)))＝eq \f(\r(62),6\s\up6(\f(1,2)))＝eq \f(6,6\s\up6(\f(1,2)))＝6eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(6).
(2)0.008－eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))0＋(2－eq \f(2,3))3＋8－eq \f(2,3)＝
(0.23)－ eq \f(1,3)－1＋2－ eq \f(2,3)×3＋2－ eq \f(2,3)×3＝5－1＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(9,2).