2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)4.3.2　对数的运算

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)4.3.2　对数的运算，共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．lg 125＋lg 8＝( B )
A．4B．3
C．2D．1
解析：lg 125＋lg 8＝lg(125×8)＝lg 1 000＝3.
2．已知lg23≈1.585，则lg281的值约为( D )
A．3.18B．6.36
C．3.17D．6.34
解析：因为lg23≈1.585，所以lg281＝lg234＝4lg23≈4×1.585＝6.34.
3．已知lgab＝lg 100.若b＝a＋2，则a＝( A )
A．2B．eq \f(1,2)
C．－2D．eq \r(2)
解析：因为lgab＝lg 100＝2，所以a2＝b，因为b＝a＋2，所以a2＝a＋2，解得a＝－1或2，因为a>0且a≠1，所以a＝2.故选A．
4．化简(lg62)2＋lg62•lg63＋2lg63－6lg62的值为( A )
A．－lg62B．－lg63
C．lg63D．－1
解析：(lg62)2＋lg62•lg63＋2lg63－6lg62＝lg62eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg62＋lg63))＋2lg63－2＝lg62＋2lg63－2＝2(lg62＋lg63)－lg62－2＝2－lg62－2＝－lg62.
5．定义矩阵运算eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a b,c d))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x,y))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋by,cx＋dy))，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg 2 lg 8,lg 5 lg 10))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,－1)))＝( A )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－lg 2,lg 2.5))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg 2,lg 2.5))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－lg 2,lg 5))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－lg 2,－lg 2.5))
解析：依题意得：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg 2 lg 8,lg 5 lg 10))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( 2,－1)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2lg 2－lg 8,2lg 5－lg 10))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2lg 2－3lg 2,lg 25－lg 10))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－lg 2,lg 2.5)).
二、多项选择题
6．以下运算错误的是( ABC )
A．lg 2×lg 3＝lg 6
B．(lg 2)2＝lg 4
C．lg 2＋lg 3＝lg 5
D．lg 4－lg 2＝lg 2
解析：根据对数的运算，lg 2＋lg 3＝lg 6从而判断A，C都错误，lg 2＋lg 2＝lg 4，从而判断B错误，lg 4－lg 2＝lgeq \f(4,2)＝lg 2，从而判断D正确．
7．若10a＝4，10b＝25，则( ACD )
A．a＋b＝2B．b－a＝1
C．ab>(lg 2)2D．b－a>lg 6
解析：由10a＝4，10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg100＝2，A选项正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lgeq \f(25,4)lg 2×lg 2＝(lg 2)2，C选项正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lgeq \f(25,4)>lgeq \f(24,4)＝lg 6，D选项正确．故选ACD．
三、填空题
8．求值：lg3eq \f(\r(4,27),3)＋lg 25－3lg33eq \s\up6(\f(1,4))＋lg 4＝1.
解析：原式＝lg33eq \f(3,4)－1＋lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(25×4))－3×eq \f(1,4)＝－eq \f(1,4)＋2－eq \f(3,4)＝1.
9．设lg2x＝a，lg2y＝b，则用a，b表示lg2eq \f(y,x)＋lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x4y8))＝3a＋9b.
解析：因为lg2x＝a，lg2y＝b，
所以lg2eq \f(y,x)＋lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x4y8))＝lg2y－lg2x＋lg2x4＋lg2y8＝lg2y－lg2x＋4lg2x＋8lg2y＝3lg2x＋9lg2y＝3a＋9b.
10．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lgax，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝eq \f(1,2).则a＝4；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))＝－1.
解析：由题意，函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lgax，因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝eq \f(1,2)，即lga2＝eq \f(1,2)，解得a＝4，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lg4x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))＝lg4eq \f(1,2)＋lg4eq \f(2,3)＋lg4eq \f(3,4)＝lg4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(2,3)×\f(3,4)))＝lg4eq \f(1,4)＝－1.
四、解答题
11．已知lg5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－2))＝0，2lg5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))－lg5y＋eq \f(1,2)＝0，求y的值．
解：∵lg5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－2))＝0，
∴x2＋2x－2＝1，解得x＝－3或x＝1，
由x＋2>0知x＝－3不合题意，舍去，所以x＝1时，2lg53－lg5y＋eq \f(1,2)＝0，∴lg5eq \f(9,y)＝－eq \f(1,2)＝lg55－eq \f(1,2)，即eq \f(y,9)＝5eq \s\up6(\f(1,2))，解得y＝9eq \r(5).
12．计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋lg 2•lg 50＋21＋lg25；
(2)eq \f(2,3)lg 8＋lg 5•lg 20＋(lg 2)2＋lg 10.
解：(1)(lg 5)2＋lg 2•lg 50＝(lg 5)2＋lg 2•(lg 5＋1)＝(lg 5)2＋lg 2•lg 5＋lg 2＝
lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝
lg 5＋lg 2＝1，
又21＋lg25＝2×2lg25＝2×5＝10，所以，原式＝11.
(2)原式＝eq \f(2,3)lg 8＋lg 5•lg 20＋(lg 2)2＋lg 10＝eq \f(2,3)lg 23＋lg 5•lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×5))＋(lg 2)2＋1＝2lg 2＋2lg 5•lg 2＋(lg 5)2＋(lg 2)2＋1＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)2＋1＝2lg 2＋2.
13．(多选题)若a>1，b>1，且lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝lg a＋lg b，则( AB )
A．lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1))＋lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－1))＝0
B．lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝0
C．lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1))＋lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－1))＝1
D．lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝1
解析：依题意a>1，b>1，由lg(a＋b)＝lg a＋lg b＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ab))，得a＋b＝ab，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－1))＝ab－(a＋b)＋1＝1，且eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，即lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1))＋lg(b－1)＝lg[(a－1)(b－1)]＝lg 1＝0，lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝0.故选AB．
14．已知3x＝2，y＝lg318，则x＝lg32；y－x＝2.
解析：因为3x＝2，则x＝lg32，故y－x＝lg318－lg32＝lg3eq \f(18,2)＝lg332＝2.
15．已知x>0，y>0，x＋y2＝4，求lg2x＋2lg2y的最大值为2.
解析：因为x>0，y>0，x＋y2＝4，由基本不等式得4＝x＋y2≥2eq \r(xy2)，即xy2≤4，当且仅当x＝2，y＝eq \r(2)时取等号．
则lg2x＋2lg2y＝lg2(xy2)≤lg24＝2，
因此lg2x＋2lg2y的最大值是2.