2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)4.5.1　函数的零点与方程的解

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)4.5.1　函数的零点与方程的解，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1. 函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是( A )
A．(－2，－1)B． (－1，0)
C．(0，1)D． (1，2)
解析：f(－2)＝－5，f(－1)＝1，f(0)＝1，f(1)＝1，f(2)＝7.因为f(－2)•f(－1)<0，f(－1)•f(0)>0，f(0)•f(1)>0，f(1)•f(2)>0，所以函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是(－2，－1)，故选A．
2．函数f(x)＝x2＋lg x－3的零点个数是( B )
A．0B． 1
C．2D． 3
解析：函数f(x)＝x2＋lg x－3的零点个数就是方程x2＋lg x－3＝0的实数解的个数，即函数y＝lg x与函数y＝－x2＋3的图象的交点个数，画出两个函数的图象，如图所示．由图可知，两个函数图象只有一个交点，所以函数f(x)＝x2＋lg x－3的零点个数为1，故选B．
3．若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则y＝f(x)有唯一零点的一个充分条件是( D )
A．f(3)<0
B．函数f(x)在定义域内是增函数
C．f(3)>0
D．函数f(x)在定义域内是减函数
解析：∵f(1)>0，f(2)<0，∴函数f(x)在区间(1，2)上一定有零点，若要保证y＝f(x)只有一个零点，则函数f(x)在定义域内可以是减函数，A，B，C中的条件均不满足．故选D．
4．函数f(x)＝eq \f(4,x)－2x的零点所在区间是( C )
A．(－1，0)B． (0，1)
C．(1，2)D． (2，3)
解析：当x<0时，eq \f(4,x)<0，2x>0，∴f(x)<0，∴f(x)在(－1，0)内无零点；当x>0时，f(x)为减函数，至多有1个零点，∵f(1)＝4－2＝2>0，f(2)＝2－4＝－2<0，
∴f(1)f(2)<0，又f(x)在(1，2)上连续，
∴函数f(x)零点所在区间为(1，2)．故选C．
5．函数f(x)＝x3＋5x－7的零点所在的区间可以是( B )
A．(0，1)B． (1，2)
C．(2，3)D． (3，4)
解析：f(0)＝－7<0，f(1)＝1＋5－7＝－1<0，f(2)＝8＋10－7＝11>0，f(3)＝27＋15－7＝35>0，f(4)＝64＋20－7＝77>0，由f(1)f(2)<0，则函数f(x)的零点存在的区间可以是(1，2)．故选B．
二、多项选择题
6．下列函数存在零点的是( ABC )
A．y＝x－eq \f(1,x)
B．y＝eq \r(2x2－x－1)
C．y＝lgax2(a>0，且a≠1)
D．y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≥0，,x－1，x<0))
解析：令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；选项B中函数的零点为－eq \f(1,2)和1；只有选项D中函数无零点．
7．函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的可能取值是( BC )
A．0B． 1
C．2D． 3
解析：因为函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a在(1，2)内连续，且为增函数，所以f(1)×f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0，解得0三、填空题
8．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是(0，2)．
解析：令f(x)＝|2x－2|－b＝0，则|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，当09．函数f(x)＝lg2x＋2x－7零点个数是1.
解析：设g(x)＝lg2x，h(x)＝－2x＋7，作出g(x)，h(x)的图象如图所示．
由图可知g(x)与h(x)只有一个交点，则lg2x＋2x－7＝0有一个实数根，∴函数f(x)有一个零点．
10．若关于x的方程eq \f(1,1＋|x|)－x2＋a＝0有两个不等的实数根，则a的取值范围是(－1，＋∞)．
解析：方程eq \f(1,1＋|x|)－x2＋a＝0有两个不等的实根，等价于函数y＝eq \f(1,1＋|x|)与y＝x2－a的图象有两个交点．先作出函数y＝eq \f(1,1＋|x|)的图象(可以先作出函数y＝eq \f(1,1＋x)(x≥0)的图象，再关于y轴作翻折变换得到函数y＝eq \f(1,1＋|x|)的图象)，
结合函数y＝x2－a的图象与y＝eq \f(1,1＋|x|)的图象有两个交点，画出y＝x2－a的大致图象如图所示．不难发现，当－a<1，即a>－1时，两个函数图象有两个交点，从而a的取值范围是(－1，＋∞)．
四、解答题
11．设函数f(x)＝ex－m－x，其中x∈R，当m>1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．
解：∵f(x)＝ex－m－x，
∴f(0)＝e－m－0＝e－m>0，
f(m)＝e0－m＝1－m.
又∵m>1，∴f(m)<0，
∴f(0)•f(m)<0.
∵函数f(x)的图象在区间(0，m)上是一条连续的曲线，
∴函数f(x)＝ex－m－x(m>1)在区间(0，m)内存在零点．
12．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，0解：函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，0的图象如图所示．
函数g(x)＝f(x)－k的零点个数，等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k的交点个数，
由图知，当k>1时，函数g(x)无零点；当k＝1或k≤eq \f(5,9)时，函数g(x)有一个零点；
当k∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)，1))时，函数g(x)有两个零点．
13．已知x0是函数f(x)＝2x－eq \f(1,x－3)的一个零点，若x1∈(3，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( B )
A．f(x1)>f(x2)
B．f(x1)C．f(x1)<0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：函数y＝2x在区间(3，＋∞)上单调递增，函数y＝－eq \f(1,x－3)在区间(3，＋∞)上单调递增，则函数f(x)＝2x－eq \f(1,x－3)在区间(3，＋∞)上单调递增，由于f(x0)＝0，x1∈(3，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则f(x1)<0，f(x2)>0，即f(x1)14．设函数f(x)＝2x＋lgax－8(a>1)的零点为x0，若x0≥3，则a的最小值为eq \r(3).
解析：因为f(x)＝2x＋lgax－8(a>1)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且x0≥3，所以8≥2×3＋lga3，即lga3≤2＝lgaa2，解得a2≥3，即a≥eq \r(3).
15．设k为实数，若函数f(x)＝x2－2x＋k在区间[－1，0]上有零点，求k的取值范围．
解：因为函数f(x)＝x2－2x＋k在区间[－1，0]上有零点，所以x2－2x＋k＝0在区间[－1，0]上有根，
即函数y＝x2＋k，y＝2x在区间[－1，0]上有交点，
在同一坐标系中作出函数y＝x2＋k，y＝2x(－1≤x≤0)的图象，如图所示：
由图象知：当y＝x2＋k的图象过点(0，1)时，k＝1，当y＝x2＋k的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))时，k＝－eq \f(1,2)，
所以k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))．