2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.2.1 三角函数的概念

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.2.1 三角函数的概念，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．已知角α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))，则sin α－cs α＝( A )
A．－eq \f(\r(5),5)B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(3\r(5),5)D.－eq \f(3\r(5),5)
解析：由三角函数的定义得cs α＝－eq \f(\r(5),5)，sin α＝－eq \f(2\r(5),5)，因此sin α－cs α＝－eq \f(\r(5),5).
2．已知sin θcs θ<0，且|cs θ|＝cs θ，则角θ是( D )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D.第四象限角
解析：∵sin θcs θ<0，∴sin θ，cs θ一正一负，又|cs θ|＝cs θ，∴cs θ≥0，综上有sin θ<0，cs θ>0，即θ为第四象限角．
3．在△ABC中，若sin Acs Btan C<0，则△ABC是( C )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
解析：在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，
∵sin A>0，∴cs B•tan C<0，
∴B，C一个为锐角，另一个为钝角，∴△ABC为钝角三角形．
4．已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α＋eq \f(1,cs α)＝( D )
A．－eq \f(1,5)B．eq \f(37,15)
C．eq \f(37,20)D.eq \f(13,15)
解析：∵P(3，－4)，∴r＝5，∴sin α＝eq \f(－4,5)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5)，∴sin α＋eq \f(1,cs α)＝－eq \f(4,5)＋eq \f(5,3)＝eq \f(13,15)，故选D.
5．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq \f(2π,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为( A )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))
B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
解析：由题意知α＝eq \f(2π,3)，则eq \f(2π,3)的终边与单位圆的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，故选A．
二、多项选择题
6．已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，则sin α的值可以是( AC )
A．eq \f(\r(10),10)B．eq \f(3\r(10),10)
C．－eq \f(\r(10),10)D.－eq \f(3\r(10),10)
解析：因为角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，所以r＝eq \r((－3m)2＋m2)＝eq \r(10)|m|，所以sin α＝eq \f(m,\r(10)|m|).当m>0时，sin α＝eq \f(\r(10),10)；当m<0时，sin α＝－eq \f(\r(10),10).
7．函数y＝eq \f(2|sin α|,sin α)－eq \f(|cs α|,cs α)＋eq \f(tan α,|tan α|)的值可能为( ACD )
A．－4B．－2
C．0D.2
解析：由题知，函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α≠\f(kπ,2)，k∈Z))))，当角α是第一象限角时，sin α，cs α，tan α均为正值，y＝eq \f(2|sin α|,sin α)－eq \f(|cs α|,cs α)＋eq \f(tan α,|tan α|)＝2.当角α是第二象限角时，sin α>0，cs α<0，tan α<0，y＝eq \f(2|sin α|,sin α)－eq \f(|cs α|,cs α)＋eq \f(tan α,|tan α|)＝2.当角α是第三象限角时，sin α<0，cs α<0，tan α>0，y＝eq \f(2|sin α|,sin α)－eq \f(|cs α|,cs α)＋eq \f(tan α,|tan α|)＝0.当角α是第四象限角时，sin α<0，cs α>0，tan α<0，y＝eq \f(2|sin α|,sin α)－eq \f(|cs α|,cs α)＋eq \f(tan α,|tan α|)＝－4.故选ACD.
三、 填空题
8．已知角α终边上存在异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P的坐标为(rcs_α，rsin_α)．
解析：设P(x，y)，则sin α＝eq \f(y,r)(其中r＝eq \r(x2＋y2))，∴y＝rsin α.又cs α＝eq \f(x,r)，x＝rcs α，∴P(rcs α，rsin α)．
9．若点P在角eq \f(5π,6)的终边所在的直线上，且|OP|＝2(点O为坐标原点)，则点P的坐标为(eq \r(3)，－1)或(－eq \r(3)，1)．
解析：点P在角eq \f(5π,6)的终边所在的直线上，且|OP|＝2(点O为坐标原点)，设点P的坐标为(a，b)，则a2＋b2＝4，且taneq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),3)＝eq \f(b,a)，求得a＝eq \r(3)，b＝－1或a＝－eq \r(3)，b＝1，故点P的坐标为(eq \r(3)，－1)或(－eq \r(3)，1)．
10．sineq \f(13π,3)＋cseq \f(13π,3)－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)))的值为eq \f(\r(3)－1,2).
解析：sineq \f(13π,3)＋cseq \f(13π,3)－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,3)))－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(π,4)))＝sineq \f(π,3)＋cseq \f(π,3)－taneq \f(π,4)＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)－1＝eq \f(\r(3)－1,2).
四、解答题
11．已知角θ的终边经过点A(1，m)(m≠0)，且sin θ＝eq \f(m,2).
(1)求m的值；
(2)求sin θ，cs θ，tan θ的值．
解：(1)因为角θ的终边经过点A(1，m)(m≠0)，且sin θ＝eq \f(m,2)＝eq \f(m,\r(1＋m2))，所以m＝±eq \r(3).
(2)由题意可得r＝eq \r(1＋3)＝2，所以cs θ＝eq \f(1,r)＝eq \f(1,2)，sin θ＝eq \f(m,r)＝±eq \f(\r(3),2)，tan θ＝m＝±eq \r(3).
12．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cs θ的值；
(2)试判断cs(sin θ)•sin(cs θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|.
当a>0时，r＝5a，sin θ＋cs θ＝eq \f(3,5)－eq \f(4,5)＝－eq \f(1,5)；
当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cs θ＝－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)＝eq \f(1,5).
(2)当a>0时，sin θ＝eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，cs θ＝－eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
则cs(sin θ)•sin(cs θ)＝cseq \f(3,5)•sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))<0；
当a<0时，sin θ＝－eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，cs θ＝eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则cs(sin θ)•sin(cs θ)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))•sineq \f(4,5)>0.
综上，当a>0时，cs(sin θ)•sin(cs θ)的符号为负；
当a<0时，cs(sin θ)•sin(cs θ)的符号为正．
13．(多选题)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是( AD )
A．sin 2α>0B．cs 2α>0
C．cseq \f(α,2)>0D.taneq \f(α,2)>0
解析：由α是第一象限角，2kπ<α0，cs 2α的正负不确定；又因为kπ0，cseq \f(α,2)的正负不确定．
14．－300°角的终边与单位圆交于点P(m，n)，则m＋n＝eq \f(\r(3)＋1,2).
解析：由三角函数的定义知
m＝cs(－300°)＝cs(－360°＋60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).n＝sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2).
∴m＋n＝eq \f(\r(3)＋1,2).
15．已知角α满足sin α<0，且tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)试判断sineq \f(α,2)•cseq \f(α,2)•taneq \f(α,2)的符号．
解：(1)由sin α<0，知角α的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上．
又tan α>0，所以角α的终边在第三象限，故角α的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ＋π<α<2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).
(2)由2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq \f(π,2)当k＝2m，m∈Z时，角eq \f(α,2)的终边在第二象限，
此时sineq \f(α,2)>0，cseq \f(α,2)<0，taneq \f(α,2)<0，所以sineq \f(α,2)•cseq \f(α,2)•taneq \f(α,2)的符号为正．
当k＝2m＋1，m∈Z时，角eq \f(α,2)的终边在第四象限，此时sineq \f(α,2)<0，cseq \f(α,2)>0，taneq \f(α,2)<0，所以sineq \f(α,2)•cseq \f(α,2)•taneq \f(α,2)的符号为正．
综上，sineq \f(α,2)•cseq \f(α,2)•taneq \f(α,2)的符号为正．