2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.4.3 正切函数的性质与图象

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.4.3 正切函数的性质与图象，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是( D )
A．y＝|x|B．y＝tan x
C．y＝ln xD．y＝x3
解析：y＝|x|为偶函数，在定义域上不是增函数，故A不正确；y＝tan x为奇函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上单调递增，但在定义域上不是增函数，故B不正确；y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，故C不正确；f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以y＝x3是奇函数，因为y＝x3是R上的增函数，故D正确．故选D．
2．函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))的一个对称中心是( C )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))
解析：令3x－eq \f(π,4)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ,6)＋eq \f(π,12)，k∈Z，所以函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))图象的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,6)＋\f(π,12)，0))，k∈Z，令k＝－2，得函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))，故选C．
3．已知函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，下列说法正确的有( C )
①函数f(x)的最小正周期为eq \f(π,2)；
②定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，x≠\f(kπ,2)＋\f(π,8)，k∈Z))))；
③f(x)图象的所有对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)＋\f(π,8)，0))，k∈Z；
④函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,8)，\f(kπ,2)＋\f(3π,8)))，k∈Z.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，可得f(x)的最小正周期为T＝eq \f(π,2)，所以①正确；令2x－eq \f(π,4)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得x≠eq \f(3π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，即函数f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(3π,8)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))，所以②错误；令2x－eq \f(π,4)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，解得x＝eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,4)，k∈Z，所以函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)＋\f(π,8)，0))，k∈Z对称，所以③正确；令kπ－eq \f(π,2)<2x－eq \f(π,4)4．函数f(x)＝2x•tan x(－1≤x≤1)的图象大致是( B )
解析：∵f(x)定义域[－1，1]关于原点对称，且f(－x)＝2(－x)•tan(－x)＝2x•tan x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故A，C不符合题意；在区间(0，1)上，x>0，tan x>0，则有f(x)>0，故D不符合题意，B正确．故选B．
5．已知函数f(x)＝|tan x|，则下列结论不正确的是( C )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))
B．2π是f(x)的一个周期
C．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称
D．f(x)的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
解析：画出函数f(x)＝|tan x|的图象，易得f(x)的周期为T＝kπ，且是偶函数，定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，故A，B，D正确；点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))不是函数f(x)＝|tan x|的对称中心，C错误．故选C．
二、多项选择题
6．关于函数f(x)＝tan 2x的说法中正确的是( AB )
A．定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,4)，\f(kπ,2)＋\f(π,4)))，k∈Z
B．图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称
C．图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称
D．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增
解析：因为函数f(x)＝tan 2x，由kπ－eq \f(π,2)<2x7．下列函数中，同时满足：①在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上是增函数；②为奇函数；③周期为π的函数有( AD )
A．y＝tan xB．y＝cs x
C．y＝taneq \f(x,2)D．y＝sin 2x
解析：因为y＝tan x的周期为π，且是奇函数，又y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调递增函数，可知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上是增函数，故A正确；因为y＝cs x是偶函数，故B不满足；因为y＝taneq \f(x,2)是周期为2π的周期函数，故C不满足；因为y＝sin 2x是奇函数，且周期T＝eq \f(2π,2)＝π，令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq \f(π,2)＋2kπ，所以－eq \f(π,4)＋kπ≤x≤eq \f(π,4)＋kπ，所以函数y＝sin 2x的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))，k∈Z，所以函数y＝sin 2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上是增函数，故D正确．故选AD．
三、 填空题
8．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))的值域为(0，＋∞)．
解析：设z＝x＋eq \f(π,6)，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，可得z∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，因为正切函数y＝tan z在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为(0，＋∞)，即函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的值域为(0，＋∞)．
9．函数y＝eq \r(1＋tan x)的定义域是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z.
解析：由函数y＝eq \r(1＋tan x)，则1＋tan x≥0，即tan x≥－1，解得kπ－eq \f(π,4)≤x10．在区间[0，2π]上，函数y＝eq \r(tan x)＋eq \r(－cs x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))).
解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tan x≥0，,－cs x≥0，))且x∈[0，2π]，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tan x≥0，,cs x≤0，))且x∈[0，2π]，所以
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x<\f(π,2)或π≤x<\f(3π,2)，,\f(π,2)≤x≤\f(3π,2)，))得π≤x四、解答题
11．写出使下列不等式成立的角x的集合：
(1)1－tan x≥0；
(2)eq \f(\r(3),3)≤tan x<1.
解：(1)根据题意，由1－tan x≥0，得tan x≤1，结合正切函数图象性质，易知解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z.
(2)根据题意，结合正切函数图象性质，易知eq \f(\r(3),3)≤tan x<1的解集为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z.
12．设函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－\f(π,3))).
(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
解：(1)f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－\f(π,3)))，T＝eq \f(π,\f(1,3))＝3π，令eq \f(x,3)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，解得x＝π＋eq \f(3,2)kπ，k∈Z，故对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(3,2)kπ，0))(k∈Z)．
(2)令eq \f(x,3)－eq \f(π,3)＝0，解得x＝π，令eq \f(x,3)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,4)，解得x＝eq \f(7π,4)，
令eq \f(x,3)－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,4)，解得x＝eq \f(π,4)，
令eq \f(x,3)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，解得x＝eq \f(5π,2)，
令eq \f(x,3)－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,2)，解得x＝－eq \f(π,2)，
所以函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－\f(π,3)))的图象与x轴的一个交点坐标为(π，0)，图象上的点有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，1))、eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，－1))两点，在这个eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(5π,2)))周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为x＝－eq \f(π,2)和x＝eq \f(5π,2)，从而得到函数f(x)在一个周期eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(5π,2)))内的简图(如图)．
13．函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))))的图象的对称轴方程为( A )
A．x＝eq \f(π,3)＋eq \f(kπ,4)(k∈Z)
B．x＝eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,4)(k∈Z)
C．x＝eq \f(π,3)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)
D．x＝eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)
解析：由函数y＝|tan x|的对称轴为x＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，令2x－eq \f(2π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,4)＋eq \f(π,3)(k∈Z)，所以函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))))图象的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,4)＋eq \f(π,3)(k∈Z)．故选A．
14．函数f(x)＝－2tan2x＋5tan x－2，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域为[－9，1]．
解析：因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，所以tan x∈[－1，1]，f(x)＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan x－\f(5,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(9,8)，则当tan x＝1时，f(x)max＝1，当tan x＝－1时，f(x)min＝－9，所以函数f(x)的值域为[－9，1]．
15．已知函数f(x)＝|1－tan x|＋|1＋tan x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；
(2)求函数f(x)的最小值．
解：(1)f(x)是偶函数，证明如下：
因为函数f(x)＝|1－tan x|＋|1＋tan x|，所以f(x)的定义域为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，
所以f(x)的定义域关于原点对称，
又f(－x)＝|1－tan(－x)|＋|1＋tan(－x)|＝|1＋tan x|＋|1－tan x|，即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)因为函数f(x)＝|1－tan x|＋|1＋tan x|，去绝对值有
f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2tan x，tan x<－1，,2，－1≤tan x≤1，,2tan x，tan x>1，))
所以当－1≤tan x≤1时，f(x)取得最小值2.
所以函数f(x)的最小值为2.