2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．若sin 2α＝－eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( C )
A．－eq \f(2,3)B．－eq \f(1,3)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(2,3)
解析：cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))),2)＝
eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)＝eq \f(1＋sin 2α,2)＝eq \f(1－\f(1,3),2)＝eq \f(1,3).
2．若tan α＝3，则eq \f(sin 2α,cs2α)＝( D )
A．2B．3
C．4D．6
解析：eq \f(sin 2α,cs2α)＝eq \f(2sin αcs α,cs2α)＝2tan α＝6.
3．已知sin(15°＋α)＝eq \f(\r(2),3)，则sin(240°－2α)＝( D )
A．eq \f(2\r(14),9)B．－eq \f(2\r(14),9)
C．eq \f(5,9)D．－eq \f(5,9)
解析：由已知可得sin(240°－2α)＝sin[270°－(30°＋2α)]＝－cs(30°＋2α)＝2sin2(15°＋α)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3)))eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(5,9).
4．已知α是第二象限角，P(x，4)为其终边上一点，且cs α＝eq \f(x,5)，则tan 2α＝( D )
A．－eq \f(24,7)B．eq \f(12,7)
C．－eq \f(12,7)D．eq \f(24,7)
解析：因为α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，所以x<0，因为|OP|＝eq \r(x2＋16)，cs α＝eq \f(x,5)＝eq \f(x,\r(x2＋16))，所以x＝－3，所以tan α＝－eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))\s\up12(2))＝eq \f(24,7).
5．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝eq \f(\r(5)－1,2)的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则eq \f(m\r(4－m2),2cs227°－1)＝( C )
A．4B．eq \r(5)＋1
C．2D．eq \r(5)－1
解析：由题意可知2sin 18°＝m＝eq \f(\r(5)－1,2)，所以m2＝4sin218°，则eq \f(m\r(4－m2),2cs227°－1)＝
eq \f(2sin 18°\r(4－4sin218°),2cs227°－1)＝
eq \f(2sin 18°•2cs 18°,cs 54°)＝eq \f(2sin 36°,cs 54°)＝2.
二、多项选择题
6．下列各式中，值为eq \f(1,2)的是( ABD )
A．sineq \f(5π,6)B．2sin 15°cs 15°
C．2cs215°－1D．eq \f(\r(3),2)tan 210°
解析：对于A，sineq \f(5π,6)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，所以A正确；对于B，2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝eq \f(1,2)，所以B正确；对于C，2cs215°－1＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，所以C不正确；对于D，eq \f(\r(3),2)tan 210°＝eq \f(\r(3),2)tan(180°＋30°)＝eq \f(\r(3),2)tan 30°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(1,2)，所以D正确．故选ABD．
7．下列各式中，值为eq \r(3)的是( BCD )
A．cs 15°－eq \r(3)sin 15°
B．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,12)－cs2\f(5π,12)))
C．eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)
D．eq \f(cs 10°－2sin 20°,sin 10°)
解析：对于A，cs 15°－eq \r(3)sin 15°＝
2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 15°－\f(\r(3),2)sin 15°))＝
2(sin 30°cs 15°－cs 30°sin 15°)＝
2sin(30°－15°)＝2sin 15°＝2sin(45°－30°)＝2(sin 45°cs 30°－cs 45°sin 30°)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)－\f(\r(2),2)×\f(1,2)))＝eq \f(\r(6)－\r(2),2)，故A错误；对于B，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,12)－cs2\f(5π,12)))＝
2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋cs\f(π,6),2)－\f(1＋cs\f(5π,6),2)))＝
cseq \f(π,6)－cseq \f(5π,6)＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，故B正确；对于C，eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝eq \r(3)，故C正确；对于D，eq \f(cs 10°－2sin 20°,sin 10°)＝
eq \f(cs(30°－20°)－2sin 20°,sin 10°)＝
eq \f(\f(\r(3),2)cs 20°＋\f(1,2)sin 20°－2sin 20°,sin 10°)＝
eq \f(\f(\r(3),2)cs 20°－\f(3,2)sin 20°,sin 10°)＝
eq \f(\r(3)sin(20°＋150°),sin 10°)＝eq \f(\r(3)sin 10°,sin 10°)＝eq \r(3).故选BCD．
三、 填空题
8．已知α∈(0，π)，且eq \f(1－cs 2α,sin 2α)＝－2，则cs(π－α)＝eq \f(\r(5),5).
解析：∵eq \f(1－cs 2α,sin 2α)＝eq \f(2sin2α,2sin αcs α)＝tan α，
∴tan α＝－2，∵α∈(0，π)，sin α＝eq \f(2\r(5),5)，
cs α＝－eq \f(\r(5),5)，∴cs(π－α)＝－cs α＝eq \f(\r(5),5).
9．若tan α＝3，则sin 2α＝eq \f(3,5)，cs 2α＝－eq \f(4,5).
解析：因为tan α＝3，
所以sin 2α＝eq \f(2sin αcs α,1)＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝
eq \f(2tan α,1＋tan2α)＝eq \f(3,5)，cs 2α＝
eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq \f(4,5).
10．已知tan α＝2，tan(α＋β)＝3，则tan 2α＝－eq \f(4,3)，tan(α－β)＝eq \f(13,9).
解析：由题意tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(4,1－4)＝－eq \f(4,3)；tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan 2α－tan(α＋β),1＋tan 2α•tan(α＋β))＝eq \f(－\f(4,3)－3,1－4)＝eq \f(13,9).
四、解答题
11．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(2\r(7),7)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(1,2)，eq \f(π,2)<α<π，0<β(1)cseq \f(α＋β,2)的值；
(2)tan(α＋β)的值．
解：(1)因为eq \f(π,2)<α<π，0<β所以eq \f(π,4)<α－eq \f(β,2)<π，－eq \f(π,4)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β)))＝eq \f(\r(3),2)，所以
cseq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝－eq \f(2\r(7),7)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(21),7)×eq \f(1,2)＝－eq \f(\r(21),14).
(2)因为eq \f(π,4)cseq \f(α＋β,2)＝－eq \f(\r(21),14)，
所以sineq \f(α＋β,2)＝eq \r(1－cs2\f(α＋β,2))＝eq \f(5\r(7),14)，
所以taneq \f(α＋β,2)＝eq \f(sin\f(α＋β,2),cs\f(α＋β,2))＝－eq \f(5\r(3),3)，
所以tan(α＋β)＝eq \f(2tan\f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5\r(3),3))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq \f(5\r(3),11).
12．已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5).
(1)求eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\f(\r(2),2)sin(θ＋π),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＋cs(－π＋θ))的值；
(2)求eq \f(1＋sin 2θ－cs 2θ,1＋tan θ)的值．
解：由sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，①
两边平方并化简得2sin θcs θ＝－eq \f(24,25)＜0，
∵θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cs θ＜0，
sin θ－cs θ＝eq \r((sin θ－cs θ)2)＝
eq \r(1＋\f(24,25))＝eq \f(7,5)，②
由①②得sin θ＝eq \f(4,5)，cs θ＝－eq \f(3,5).
(1)eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\f(\r(2),2)sin(θ＋π),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＋cs(－π＋θ))＝
eq \f(\f(\r(2),2)(cs θ－sin θ)＋\f(\r(2),2)sin θ,－(sin θ＋cs θ))＝
eq \f(\f(\r(2),2)cs θ,－(sin θ＋cs θ))＝eq \f(3\r(2),2).
(2)eq \f(1＋sin 2θ－cs 2θ,1＋tan θ)＝
eq \f(2sin θcs θ＋2sin2θ,1＋\f(sin θ,cs θ))＝
eq \f(2sin θcs θ(sin θ＋cs θ),sin θ＋cs θ)＝
2sin θcs θ＝－eq \f(24,25).
13．(多选题)已知cs α＝－eq \f(4\r(3),7)，cs(α＋β)＝eq \f(3\r(3),14)，且0<α<β<π，则( AD )
A．tan 2α＝－eq \f(8\r(3),47)
B．tan 2α＝－eq \f(4\r(3),47)
C．β＝eq \f(π,3)
D．β＝eq \f(2π,3)
解析：因为cs α＝－eq \f(4\r(3),7)，0<α<π，所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(1,7)，且eq \f(π,2)<α<π，因为tan α＝－eq \f(\r(3),12)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(8\r(3),47)，因为0<α<β<π，所以π<α＋β<2π，因为cs(α＋β)＝eq \f(3\r(3),14)，所以sin(α＋β)＝－eq \r(1－cs2(α＋β))＝－eq \f(13,14).因为β＝(α＋β)－α，所以cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α＝eq \f(3\r(3),14)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4\r(3),7)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,14)))×eq \f(1,7)＝－eq \f(1,2)，故β＝eq \f(2π,3).故选AD．
14．已知锐角θ满足2cs 2θ＝1＋sin 2θ，则sin 2θ－cs2θ＝－eq \f(3,10).
解析：∵2cs 2θ＝1＋sin 2θ，
∴2(cs2θ－sin2θ)＝(cs θ＋sin θ)2，即2(cs θ－sin θ)(cs θ＋sin θ)＝(cs θ＋sin θ)2，又∵θ为锐角，∴cs θ＋sin θ>0，
∴2(cs θ－sin θ)＝cs θ＋sin θ，即cs θ＝3sin θ，∴tan θ＝eq \f(1,3)，故有sin 2θ－cs2θ＝eq \f(2sin θcsθ－cs2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(2tan θ－1,tan2θ＋1)＝eq \f(\f(2,3)－1,\f(1,9)＋1)＝－eq \f(3,10).
15．已知4sin 2α＋3cs 2α＝0，eq \f(π,4)<α(1)求cs 2α的值；
(2)若cs β＝eq \f(2\r(5),5)，求cs(α－β)的值．
解：(1)∵4sin 2α＋3cs 2α＝0，
∴tan 2α＝－eq \f(3,4).
∵eq \f(π,4)<α∴tan 2α＝－eq \f(3,4)＝eq \f(\r(1－cs22α),cs 2α)，且cs 2α<0，求得cs22α＝eq \f(16,25)，
∴cs 2α＝－eq \f(4,5).
(2)由已知可得，
tan 2α＝－eq \f(3,4)＝eq \f(2tan α,1－tan2α)，
解得tan α＝3或tan α＝－eq \f(1,3)，
∵eq \f(π,4)<α∴tan α＝3＝eq \f(sin α,cs α)，
又sin2α＋cs2α＝1，得sin α＝eq \f(3\r(10),10)，cs α＝eq \f(\r(10),10)，
∵cs β＝eq \f(2\r(5),5)，－eq \f(π,2)<β<0，
∴sin β＝－eq \r(1－cs2β)＝－eq \f(\r(5),5)，
tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝－eq \f(1,2)，
∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin α·sin β＝eq \f(\r(10),10)×eq \f(2\r(5),5)＋eq \f(3\r(10),10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＝－eq \f(\r(2),10).