2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.5.2 简单的三角恒等变换(2)

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.5.2 简单的三角恒等变换(2)，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．计算：eq \r(3)cs 15°－4sin215°cs 15°＝( D )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),2)
C．1D．eq \r(2)
解析：eq \r(3)cs 15°－4sin215°cs 15°＝
eq \r(3)cs 15°－2sin 15°•sin 30°＝eq \r(3)cs 15°－sin 15°＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 15°－\f(\r(3),2)cs 15°))＝－2sin(－45°)＝eq \r(2).
2．若eq \r(3)sin α－cs α＝eq \f(\r(10),5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝( D )
A．eq \f(\r(10),5)B．－eq \f(\r(10),5)
C．eq \f(\r(10),10)D．－eq \f(\r(10),10)
解析：∵eq \r(3)sin α－cs α＝
2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin α－\f(1,2)cs α))＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(10),5)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(10),10).
3．计算：eq \f(sin 8°＋\r(3)cs 8°,\r(2)cs 22°)＝( A )
A．eq \r(2)B．1
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(1,2)
解析：eq \f(sin 8°＋\r(3)cs 8°,\r(2)cs 22°)＝
eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 8°＋\f(\r(3),2)cs 8°)),\r(2)cs 22°)＝
eq \f(2sin(8°＋60°),\r(2)cs 22°)＝eq \f(2sin 68°,\r(2)cs 22°)＝eq \r(2).
4．函数f(x)＝sin x＋cs x的一个对称中心是( D )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))
解析：因为f(x)＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心特征可知，对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，四个选项中只有当x＝－eq \f(π,4)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝0，即函数f(x)的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0)).
5．若eq \r(3)sin x＋cs x＝4－m，则实数m的取值范围是( A )
A．[2，6]B．[－6，6]
C．(2，6)D．[2，4]
解析：∵eq \r(3)sin x＋cs x＝4－m，
∴eq \f(\r(3),2)sin x＋eq \f(1,2)cs x＝eq \f(4－m,2)，
∴sineq \f(π,3)sin x＋cseq \f(π,3)cs x＝
eq \f(4－m,2)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝eq \f(4－m,2).
∵－1≤cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))≤1，∴－1≤eq \f(4－m,2)≤1，∴2≤m≤6.
二、多项选择题
6．已知函数f(x)＝sin xcs x＋sin2x，则下列说法正确的是( BCD )
A．f(x)的最大值为2
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)关于直线x＝－eq \f(π,8)对称
D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增
解析：∵f(x)＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(1－cs 2x,2)＝eq \f(1,2)(sin 2x－cs 2x)＋eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋eq \f(1,2)，∴f(x)max＝eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2)＋1,2)，最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π．当x＝－eq \f(π,8)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＝－1，∴直线x＝－eq \f(π,8)为对称轴．当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增，综上有B，C，D正确，A不正确．
7．已知函数f(x)＝4cs x•sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋eq \r(3)＋1的图象为C，则下列结论正确的是( CD )
A．图象C关于直线x＝eq \f(π,6)对称
B．函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))上单调递减
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,12)))为偶函数
D．若方程f(x)－m＝0在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))上有两个实根，则m∈[eq \r(3)＋1，3)
解析：依题意，f(x)＝4cs xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x－,\f(\r(3),2)cs x))＋eq \r(3)＋1＝sin 2x－
eq \r(3)(2cs2x－1)＋1＝sin 2x－
eq \r(3)cs 2x＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，对于A，因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)－\f(π,3)))＋1＝1，所以图象C不关于直线x＝eq \f(π,6)对称，A错误；对于B，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))时，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，而正弦函数y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，因此函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))上单调递增，B错误；对于C，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,12)))＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,12)))－\f(π,3)))＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＋1＝2cs 2x＋1，函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,12)))为偶函数，C正确；对于D，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))，则当2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,2)))时，f(x)是递增的，函数值从0递增到3，当2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3)))时，f(x)是递减的，函数值从3递减到eq \r(3)＋1，方程f(x)－m＝0在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))上有两个实根，即函数y＝f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))上的图象与直线y＝m有两个公共点，所以m∈[eq \r(3)＋1，3)，D正确．故选CD．
三、 填空题
8．已知函数f(x)＝sin 2x＋2eq \r(3)cs2x，则函数f(x)的最小正周期是π．
解析：f(x)＝sin 2x＋2eq \r(3)cs2x＝
sin 2x＋eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)＝
2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋eq \r(3)，故T＝eq \f(2π,2)＝π．
9．设φ>0，函数f(x)＝sin(2x＋φ)－eq \r(3)cs(2x
＋φ)为偶函数，则φ的最小值为eq \f(5π,6).
解析：f(x)＝sin(2x＋φ)－eq \r(3)cs(2x＋φ)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin(2x＋φ)－\f(\r(3),2)cs(2x＋φ)))＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin(2x＋φ)·cs\f(π,3)－cs(2x＋φ)sin\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ－\f(π,3)))，∵f(x)为偶函数，所以φ－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝kπ＋eq \f(5π,6)，又∵φ>0，∴当k＝0时，φ的最小值为eq \f(5π,6).
10．如图所示，某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，则割出的长方形桌面的最大面积为eq \f(\r(2)－1,2)_m2.
解析：如图，连接OC，
设∠COB＝θ，
则0°