2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.6 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(2)

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.6 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(2)，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．将函数y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( B )
A．y＝cs 2x
B．y＝1＋cs 2x
C．y＝1＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))
D．y＝cs 2x－1
解析：将函数y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，得到函数y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，即y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x的图象，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝1＋cs 2x.
2．把函数y＝cs 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( A )
解析：把函数y＝cs 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cs x＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cs(x＋1)的图象．
3．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是( D )
解析：当a＝0时，f(x)＝1，C符合；当0<|a|<1时，T>2π，且最小值为正数，A符合；当|a|>1时，T<2π，且最小值为负数，B符合，排除A，B，C，对于D，a>1，∴T<2π，而由图象知T>2π，矛盾，故选D．
4．把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( B )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))，x∈R
B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))，x∈R
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，x∈R
D．y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，x∈R
解析：将y＝sin x图象上的所有的点向左平移eq \f(π,3)个单位长度得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))的图象，把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到的图象所表示的函数是y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3))).
5．将函数f(x)＝sin x的图象上各点横坐标变为原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，再将所得图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( D )
A．g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))
B．g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(2π,3)))
C．g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
D．g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))
解析：将f(x)＝sin x图象上各点横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得y＝sin 2x的图象，再向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得g(x)＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))的图象．
二、多项选择题
6．下列四种变换方式，其中能将y＝sin x的图象变为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象的是( AB )
A．向左平移eq \f(π,4)个单位长度，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)
B．将图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,8)个单位长度
C．将图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,4)个单位长度
D．向左平移eq \f(π,8)个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)
解析：y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，得函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，可得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象，故A正确；将y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，可得y＝sin 2x的图象，再向左平移eq \f(π,8)个单位长度，可得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象，故B正确，C，D错误．
7．已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，则下列结论正确的是( AD )
A．把曲线C1向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得到曲线C2
B．把曲线C1向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到曲线C2
C．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
D．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
解析：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，所以将曲线C1：y＝cs x向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得到曲线y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，或将曲线C1：y＝cs x上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得到曲线y＝cs 2x，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
三、 填空题
8．将函数f(x)＝eq \r(3)cs 2x的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移eq \f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)的图象，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－2eq \r(3).
解析：将函数f(x)＝eq \r(3)cs 2x的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得图象对应的解析式为y＝2eq \r(3)cs 2x，则g(x)＝2eq \r(3)cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝2eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，故geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝2eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,3)＋\f(π,3)))＝－2eq \r(3).
9．将函数y＝eq \f(1,2)sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，则所得图象的函数解析式为y＝eq \f(1,4)sin_x.
解析：把y＝eq \f(1,2)sin 2x图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得y＝eq \f(1,2)sin x的图象，再将各点的纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，得y＝eq \f(1,4)sin x的图象．
10．用“五点法”画y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，－2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，0)).
解析：用“五点法”画y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))在一个周期内的简图时，分别令2x＋eq \f(π,3)＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，当2x＋eq \f(π,3)＝2π时，可得x＝eq \f(5π,6)，
此时feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)))＝0，所以五个点分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，－2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，0)).
四、解答题
11．将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝Asin x的图象，试求ω和φ的值．
解：将函数y＝Asin x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象，再将每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象，即为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，
所以f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，
所以ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6).
12．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，x∈R.
(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)由“五点法”，列表如下：
描点，作图如下：
(2)由y＝sin x的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)，且f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，则－eq \f(π,2)＋2kπ<2x－eq \f(π,3)13．已知函数f(x)＝sin x，函数g(x)的图象可以由函数f(x)的图象先向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,ω)(ω>0)得到．若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点，则ω的取值范围是( D )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(31,6)，\f(37,6)))B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(31,6)，\f(37,6)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,6)，\f(31,6)))D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(25,6)，\f(31,6)))
解析：将函数f(x)＝sin x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,ω)(ω>0)，得到g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))的图象．若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点，则ωx－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，ωπ－\f(π,6)))，所以4π<ωπ－eq \f(π,6)≤5π，得eq \f(25,6)<ω≤eq \f(31,6).故ω的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(25,6)，\f(31,6))).
14．下列函数中：①y＝－sin 2x；②y＝cs 2x；③y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，其图象仅通过向左(或向右)平移就能与函数f(x)＝sin 2x的图象重合的是①②.(填上符合要求的函数对应的序号)
解析：y＝－sin 2x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度，可得到y＝－sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝sin 2x的图象，故①符合要求；y＝cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度，可得到y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋\f(π,2)))＝sin 2x的图象，故②符合要求；对于③，y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象，无论向左还是向右平移，纵坐标不变，故不符合条件．
15．某同学用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
(1)根据上表数据，直接写出函数f(x)的解析式，并求函数的最小正周期和f(x)在[0，2π]上的单调递减区间；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，0))上的最大值和最小值．
解：(1)根据题表数据，易得
f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，
令eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得kπ＋eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(7π,12)，k∈Z，
又x∈[0，2π]，所以eq \f(π,12)≤x≤eq \f(7π,12)或eq \f(13π,12)≤x≤eq \f(19π,12)，即f(x)在[0，2π]上的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13π,12)，\f(19π,12))).
(2)由于－eq \f(2π,3)≤x≤0，
所以－π≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,3)，
所以－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))≤eq \f(\r(3),2)，
所以－2≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))≤eq \r(3)，
当2x＋eq \f(π,3)＝－eq \f(π,2)，即x＝－eq \f(5π,12)时，函数f(x)取最小值，为－2；
当2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)，即x＝0时，函数取最大值，为eq \r(3).
A
B
C
D
E
2x－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,6)
eq \f(5π,12)
eq \f(2π,3)
eq \f(11π,12)
eq \f(7π,6)
f(x)
0
2
0
－2
0
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,12)
eq \f(7π,12)
Asin(ωx＋φ)
0
0
－2