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2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)1.5.1 全称量词与存在量词
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这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)1.5.1 全称量词与存在量词，共4页。试卷主要包含了下列四个命题中的真命题为，已知命题，命题p，给出下列命题，给出下列三个命题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四个命题中的真命题为( D )
A.∃x∈Z，1<4x<3
B.∃x∈Z，4x＋1＝0
C.∀x∈R，x2－1＝0
D.∀x∈R，x2－2x＋2≥0
解析：由1<4x<3，得eq \f(1,4)2．已知命题：“∃x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是( B )
A.a<4B.a≤4
C.a>4D.a≥4
解析：“∃x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4，故选B．
3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( C )
A.每个二次函数的图象都开口向下
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D.存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
解析：B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象开口向上，是假命题；对于任意a，b∈R，a－b≤0⇒a≤b，故C为真命题．
4．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( B )
A.a≥4B.a≥5
C.a≤4D.a≤5
解析：因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5，故选B．
5．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( B )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使eq \f(1,x)>2
解析：对于A，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；对于B，当x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；对于C，由于eq \r(3)＋(－eq \r(3))＝0，知C为假命题；对于D，对∀x<0，都有eq \f(1,x)<0，知D为假命题．
二、多项选择题
6．命题p：存在实数x∈M，使得数据1，2，3，6，x由小到大排在第三位的数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合M可以为( ACD )
A.{3，4，5}B.{x|x>2}
C.{x|x≥3}D.{x|3≤x≤6}
解析：因为已知数据中1<2<3，所以x≥3即可，故选ACD．
7．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( AC )
A．奇数都不能被2整除
B．有的实数是无限不循环小数
C．角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等
D．对任意实数x，方程x2＋1＝0都成立
解析：对于A，奇数都不能被2整除，是全称量词命题，也是真命题；对于B，有的实数是无限不循环小数，是存在量词命题；对于C，角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，是全称量词命题，也是真命题；对于D，对任意实数x，方程x2＋1＝0都成立，是全称量词命题，是假命题．故选AC．
三、 填空题
8．给出下列命题：
(1)∀x∈R，x2>0；
(2)∃x∈R，x＋1≤0；
(3)∃a，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q.其中真命题的个数为2.
解析：(1)当x＝0时，x2＝0，是假命题；(2)存在x＝－2，使得x＋1≤0，是真命题；(3)当a＝2－eq \r(2)，b＝3＋eq \r(2)时，a＋b＝5，是真命题．
9．“∀x∈R，都有k≤x2＋1恒成立”是真命题，则实数k的取值范围是k≤1.
解析：因为x2＋1≥1，即x2＋1的最小值为1，要使“k≤x2＋1恒成立”，只需k≤(x2＋1)min，即k≤1.
10．给出下列三个命题：
①∀x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1.其中全称量词命题是①②.(填序号)
解析：对于①，含有“∀”表示“任意”，是全称量词；对于②，省略了量词“所有的”，仍是全称量词命题；对于③，“∃”表示存在，不是全称量词．
四、解答题
11．指出下列命题中的存在量词或全称量词，并判断真假．
(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(2)对任意的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一实数解．
解：(1)“至少”为存在量词；
∵99，990等整数都能被11和9整除，∴原命题为真命题．
(2)“任意”为全称量词；
当a＝b＝0时，方程ax＋b＝0有无数解，
∴原命题为假命题．
12．指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题．
(1)所有实数x都能使|x|＋1>0成立；
(2)存在整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(3)存在实数m，使得m与m的倒数之和等于1.
解：(1)“所有”是全称量词；
∀x∈R，|x|＋1>0.
(2)“存在”是存在量词；
∃x，y∈Z，3x－2y＝10.
(3)“存在” 是存在量词；
∃m∈R，m＋eq \f(1,m)＝1.
13．(多选题)已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁UB，则下列关系一定正确的是( AB )
A.∃x∈U，x∉A且x∈B
B.∀x∈A，x∉B
C.∀x∈U，x∈A或x∈B
D.∃x∈U，x∈A且x∈B
解析：全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁UB，则A，B，U的关系用Venn图表示如图．
观察图形知，∃x∈U，x∉A且x∈B，A正确；因A∩B＝∅，必有∀x∈A，x∉B，B正确；若A ∁UB，则(∁UA)∩(∁UB)≠∅，此时∃x∈U，x∈[(∁UA)∩(∁UB)]，即x∉A且x∉B，C不正确；因A∩B＝∅，则不存在x∈U满足x∈A且x∈B，D不正确．故选AB．
14．命题“任意x∈R，存在m∈Z，m解析：由于任意x∈R，x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)，因此只需m15．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.
(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．
解：(1)因为命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，
又B≠∅，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))
解得2≤m≤3.
(2)因为B≠∅，所以m＋1≤2m－1，得m≥2.
又命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅，
又B≠∅，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1≤2m－1，,m＋1≤5，,2m－1≥－2，))
解得2≤m≤4，
故实数m的取值范围为2≤m≤4.
1．下列四个命题中的真命题为( D )
A.∃x∈Z，1<4x<3
B.∃x∈Z，4x＋1＝0
C.∀x∈R，x2－1＝0
D.∀x∈R，x2－2x＋2≥0
解析：由1<4x<3，得eq \f(1,4)
A.a<4B.a≤4
C.a>4D.a≥4
解析：“∃x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4，故选B．
3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( C )
A.每个二次函数的图象都开口向下
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D.存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
解析：B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象开口向上，是假命题；对于任意a，b∈R，a－b≤0⇒a≤b，故C为真命题．
4．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( B )
A.a≥4B.a≥5
C.a≤4D.a≤5
解析：因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5，故选B．
5．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( B )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使eq \f(1,x)>2
解析：对于A，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；对于B，当x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；对于C，由于eq \r(3)＋(－eq \r(3))＝0，知C为假命题；对于D，对∀x<0，都有eq \f(1,x)<0，知D为假命题．
二、多项选择题
6．命题p：存在实数x∈M，使得数据1，2，3，6，x由小到大排在第三位的数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合M可以为( ACD )
A.{3，4，5}B.{x|x>2}
C.{x|x≥3}D.{x|3≤x≤6}
解析：因为已知数据中1<2<3，所以x≥3即可，故选ACD．
7．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( AC )
A．奇数都不能被2整除
B．有的实数是无限不循环小数
C．角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等
D．对任意实数x，方程x2＋1＝0都成立
解析：对于A，奇数都不能被2整除，是全称量词命题，也是真命题；对于B，有的实数是无限不循环小数，是存在量词命题；对于C，角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，是全称量词命题，也是真命题；对于D，对任意实数x，方程x2＋1＝0都成立，是全称量词命题，是假命题．故选AC．
三、 填空题
8．给出下列命题：
(1)∀x∈R，x2>0；
(2)∃x∈R，x＋1≤0；
(3)∃a，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q.其中真命题的个数为2.
解析：(1)当x＝0时，x2＝0，是假命题；(2)存在x＝－2，使得x＋1≤0，是真命题；(3)当a＝2－eq \r(2)，b＝3＋eq \r(2)时，a＋b＝5，是真命题．
9．“∀x∈R，都有k≤x2＋1恒成立”是真命题，则实数k的取值范围是k≤1.
解析：因为x2＋1≥1，即x2＋1的最小值为1，要使“k≤x2＋1恒成立”，只需k≤(x2＋1)min，即k≤1.
10．给出下列三个命题：
①∀x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1.其中全称量词命题是①②.(填序号)
解析：对于①，含有“∀”表示“任意”，是全称量词；对于②，省略了量词“所有的”，仍是全称量词命题；对于③，“∃”表示存在，不是全称量词．
四、解答题
11．指出下列命题中的存在量词或全称量词，并判断真假．
(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(2)对任意的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一实数解．
解：(1)“至少”为存在量词；
∵99，990等整数都能被11和9整除，∴原命题为真命题．
(2)“任意”为全称量词；
当a＝b＝0时，方程ax＋b＝0有无数解，
∴原命题为假命题．
12．指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题．
(1)所有实数x都能使|x|＋1>0成立；
(2)存在整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(3)存在实数m，使得m与m的倒数之和等于1.
解：(1)“所有”是全称量词；
∀x∈R，|x|＋1>0.
(2)“存在”是存在量词；
∃x，y∈Z，3x－2y＝10.
(3)“存在” 是存在量词；
∃m∈R，m＋eq \f(1,m)＝1.
13．(多选题)已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁UB，则下列关系一定正确的是( AB )
A.∃x∈U，x∉A且x∈B
B.∀x∈A，x∉B
C.∀x∈U，x∈A或x∈B
D.∃x∈U，x∈A且x∈B
解析：全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁UB，则A，B，U的关系用Venn图表示如图．
观察图形知，∃x∈U，x∉A且x∈B，A正确；因A∩B＝∅，必有∀x∈A，x∉B，B正确；若A ∁UB，则(∁UA)∩(∁UB)≠∅，此时∃x∈U，x∈[(∁UA)∩(∁UB)]，即x∉A且x∉B，C不正确；因A∩B＝∅，则不存在x∈U满足x∈A且x∈B，D不正确．故选AB．
14．命题“任意x∈R，存在m∈Z，m
(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．
解：(1)因为命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，
又B≠∅，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))
解得2≤m≤3.
(2)因为B≠∅，所以m＋1≤2m－1，得m≥2.
又命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅，
又B≠∅，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1≤2m－1，,m＋1≤5，,2m－1≥－2，))
解得2≤m≤4，
故实数m的取值范围为2≤m≤4.
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