2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)2.2.2 基本不等式的应用

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)2.2.2 基本不等式的应用，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( B )
A.x＝eq \f(a＋b,2)B.x≤eq \f(a＋b,2)
C.x>eq \f(a＋b,2)D.x≥eq \f(a＋b,2)
解析：由题意A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，∴(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2.
又∵(1＋a)(1＋b)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋a＋1＋b,2)))eq \s\up12(2)，
∴1＋x≤eq \f(2＋a＋b,2)＝1＋eq \f(a＋b,2)，
∴x≤eq \f(a＋b,2).
2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( C )
A.6.5 mB.6.8 m
C.7 mD.7.2 m
解析：设两直角边分别为a，b直角三角形的框架的周长为C，则eq \f(1,2)ab＝2，∴ab＝4，此时三角形框架的周长为a＋b＋eq \r(a2＋b2)＝a＋b＋eq \r((a＋b)2－8)，a＋b≥2eq \r(ab)＝4，
∴C＝a＋b＋eq \r(a2＋b2)≥4＋2eq \r(2)≈6.83.故用7 m的铁丝最合适．
3．设计用32 m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2 m，则车厢的最大容积是( B )
A.(38－3eq \r(73))m3B.16 m3
C.4eq \r(2) m3D.14 m3
解析：设长方体车厢的长为x m，高为h m，则2x＋2×2h＋2xh＝32，即x＋2h＋xh＝16，∴16＝x＋2h＋xh≥2eq \r(2xh)＋xh，即xh＋2eq \r(2xh)－16≤0，解得00，∴c>eq \f(2\r(6),3)，∴c的取值范围是c>eq \f(2\r(6),3).故选B．
二、多项选择题
6．已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总收入y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是( BC )
A.车辆运营年数越多，收入越高
B.车辆在第6年时，总收入最高
C.车辆在前5年的平均收入最高
D.车辆每年都有收入
解析：由题意可知，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；eq \f(y,x)＝－x＋12－eq \f(25,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))＋12≤－2eq \r(25)＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误．
7．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若eq \f(mxy,m－1)≤x＋2y对任意的x>0，y>0恒成立，则实数m的可能取值为( ACD )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(17,16)
C.3D.2
解析：∵x>0，y>0，∴eq \f(mxy,m－1)≤x＋2y⇔eq \f(m,m－1)≤eq \f(x＋2y,xy)＝eq \f(1,y)＋eq \f(2,x)，即eq \f(m,m－1)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)＋\f(2,x)))eq \s\d7(min)，eq \f(1,y)＋eq \f(2,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)＋\f(2,x)))(2x＋y)＝5＋eq \f(2x,y)＋eq \f(2y,x)≥5＋2eq \r(\f(2x,y)•\f(2y,x))＝9，当且仅当eq \f(2x,y)＝eq \f(2y,x)，即x＝y＝eq \f(1,3)时，等号成立，即eq \f(m,m－1)≤9，eq \f(m,m－1)－9≤0⇔eq \f(9－8m,m－1)≤0，解得m≥eq \f(9,8)或m0，所以t＋eq \f(4,t)≥2eq \r(t•\f(4,t))＝4
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当t＝\f(4,t)，即t＝2时等号成立)).
所以C＝eq \f(20,t＋\f(4,t))≤eq \f(20,4)＝5，当且仅当t＝eq \f(4,t)，即t＝2时，C取得最大值．
9．若x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y－m≥0恒成立的实数m的最大值是9.
解析：由4x＋y＝xy，可得eq \f(4,y)＋eq \f(1,x)＝1，又x>0，y>0，
则x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,y)＋\f(1,x)))＝5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4x,y)＋\f(y,x)))≥5＋2eq \r(\f(4x,y)•\f(y,x))＝9(当且仅当y＝2x＝6时等号成立)，即x＋y的最小值为9，则由x＋y－m≥0恒成立，可得m≤9，则实数m的最大值是9.
10．已知a>0，b>0，a＋2b＝1，请写出使得“m0，
故eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(a＋2b)＝4＋eq \f(4b,a)＋eq \f(a,b)≥4＋2eq \r(\f(4b,a)•\f(a,b))＝8，
当且仅当a＝2b＝eq \f(1,2)时取等号，
故“m0，由x2－mxy＋y≥0恒成立得m≤eq \f(x,y)＋eq \f(1,x)恒成立，即求eq \f(x,y)＋eq \f(1,x)的最小值，
又eq \f(x,y)＋eq \f(1,x)＝eq \f(1－y,2y)＋eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y)＋eq \f(1,x)－eq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2y)＋\f(1,x)))(2x＋y)－eq \f(1,2)＝eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＋2≥2eq \r(\f(x,y)•\f(y,x))＋2＝4，
当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)＝\f(y,x)，,2x＋y＝1，))即x＝y＝eq \f(1,3)时等号成立，
∴eq \f(x,y)＋eq \f(1,x)的最小值为4，
∴m≤4，即实数m的最大值是4.
15．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域ABCD(如图所示)，按规划要求：在矩形ABDC内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2．设矩形ABCD的长为x m．
(1)设总造价为y元，求y与x的关系式．
(2)当x取何值时，总造价最低？并求出最低总造价．
解：(1)因为矩形ABCD的长为x m，所以宽为eq \f(200,x) m，则中间区域的长为(x－4) m，宽为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(200,x)－4)) m，可得4